Velocidad y funciones vectoriales

• La velocidad implica el desplazamiento de un objeto en una cantidad de tiempo determinada.
• Considera la rapidez, pero como magnitud vectorial, necesita dirección y sentido.
• Velocidad y rapidez no son lo mismo.
• Galileo Galilei formuló científicamente el concepto de velocidad.
• Estudió el movimiento de los cuerpos en un plano inclinado.
• Dividió la distancia recorrida de un objeto por el tiempo empleado.
• Definió la velocidad como la variación de la distancia recorrida por unidad de tiempo.

Funciones vectoriales de una variable real

• Una función vectorial r tiene un dominio en los números reales y un rango en un conjunto de vectores.
• Definición formal:
  • r: ℝ → ℝⁿ
  • t ↦ r(t) = ⟨f₁(t), f₂(t), ..., fₙ(t)⟩
  • Donde fᵢ: ℝ → ℝ son funciones reales de variable real.

Ejemplo de función vectorial

• Ejemplo:
  • r: ℝ → ℝ³
  • t ↦ r(t) = ⟨cos(t), sen(t), t⟩
  • Es una función vectorial de una variable real.

Límite de una función vectorial

• Si r(t) = ⟨f₁(t), f₂(t), ..., fₙ(t)⟩ y L = ⟨L₁, L₂, ..., Lₙ⟩, entonces:
  • lim (t→a) r(t) = L si y sólo si lim (t→a) fᵢ(t) = Lᵢ para cada i = 1, 2, ..., n.

Continuidad de una función vectorial

• Una función vectorial r es continua en a si y sólo si:
  • lim (t→a) r(t) = r(a)

Derivada de una función vectorial

• Si r(t) = ⟨f₁(t), f₂(t), ..., fₙ(t)⟩, la derivada de r es:
  • r'(t) = ⟨f'₁(t), f'₂(t), ..., f'ₙ(t)⟩, si existen las derivadas de las funciones componentes.
• La derivada de r también se puede expresar como:
  • r'(t) = lim (h→0) [r(t+h) - r(t)] / h

Ejemplo de derivada

• Si r(t) = ⟨t², cos(t), sen(t)⟩, entonces r'(t) = ⟨2t, -sen(t), cos(t)⟩.

Integrales de funciones vectoriales

• La integral indefinida de r(t) = ⟨f₁(t), f₂(t), ..., fₙ(t)⟩ es:
  • ∫ r(t) dt = ⟨∫ f₁(t) dt, ∫ f₂(t) dt, ..., ∫ fₙ(t) dt⟩
• La integral definida de r de a a b es:
  • ∫ₐᵇ r(t) dt = ⟨∫ₐᵇ f₁(t) dt, ∫ₐᵇ f₂(t) dt, ..., ∫ₐᵇ fₙ(t) dt⟩