Vektoren und ihre Operationen

Addition: Vektoren werden komponentenweise addiert.
- Beispiel: ( \mathbf{a} = (a_1, a_2), \mathbf{b} = (b_1, b_2) ) => ( \mathbf{a} + \mathbf{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2) )
Subtraktion: Komponentenweise Subtraktion.
- Beispiel: ( \mathbf{a} - \mathbf{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2) )
Skalare Multiplikation: Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.
- Beispiel: ( k \cdot \mathbf{a} = (k \cdot a_1, k \cdot a_2) )
Skalarprodukt (Dot Product): Produziert einen Skalarwert.
- Formel: ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 )
- Eigenschaften: Kommutativ, distributiv, und nicht-negativ.
Kreuzprodukt (Cross Product): Nur in 3D definiert; erzeugt einen Vektor.
- Formel: ( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1) )

Physik: Beschreiben von Kräften, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen.
- Beispiel: Vektoren können zur Darstellung von Bewegungen in verschiedenen Richtungen verwendet werden.
Ingenieurwesen: Analyse von Strukturen und mechanischen Systemen.
- Beispiel: Vektoren helfen bei der Berechnung von Spannungen und Kräften in Bauwerken.
Computergrafik: Darstellung von Punkten, Linien und Oberflächen in 3D-Räumen.
- Beispiel: Transformationen wie Translation, Rotation und Skalierung werden mit Vektoren durchgeführt.
Navigation: Bestimmung von Richtungen und Positionen.
- Beispiel: Vektoren werden verwendet, um Routen und Entfernungen zwischen Punkten zu berechnen.

Vektoren als Punkte: Vektoren können als Punkte im Raum interpretiert werden.
- Beispiel: Der Vektor ( \mathbf{a} = (x, y) ) entspricht dem Punkt ( (x, y) ) im 2D-Raum.
Geraden und Ebenen: Beschreibung von geometrischen Objekten.
- Gerade: ( \mathbf{r}(t) = \mathbf{a} + t \cdot \mathbf{b} ) (Vektor ( \mathbf{b} ) gibt die Richtung an)
- Ebene: ( \mathbf{r}(s, t) = \mathbf{a} + s \cdot \mathbf{b} + t \cdot \mathbf{c} )
Abstand: Berechnung von Abständen zwischen Punkten und Linien.
- Abstand Punkt zu Linie: Orthogonale Projektion des Punktes auf die Linie.
Winkel zwischen Vektoren: Bestimmung von Winkeln durch das Skalarprodukt.
- Formel: ( \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} )
Vektorielle Basis: Darstellung von Vektoren in Bezug auf eine Basis.
- Beispiel: Jede Richtung kann durch eine Kombination der Basisvektoren beschrieben werden.

Addition von Vektoren: Komponentensummation, z.B. ( \mathbf{a} + \mathbf{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2) ).
Subtraktion von Vektoren: Komponentenweise Differenz, z.B. ( \mathbf{a} - \mathbf{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2) ).
Skalare Multiplikation: Vektor wird mit einem Skalar multipliziert, z.B. ( k \cdot \mathbf{a} = (k \cdot a_1, k \cdot a_2) ).
Skalarprodukt: Produziert einen Skalarwert, z.B. ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 ). Eigenschaften: Kommutativ, distributiv, nicht-negativ.
Kreuzprodukt: Nur in 3 Dimensionen definiert, erzeugt einen neuen Vektor. Berechnung: ( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1) ).

Physik: Essenziell zur Beschreibung von Kräften, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen; ermöglichen die Darstellung von Bewegungen in Richtungen.
Ingenieurwesen: Cruciale Rolle in der Analyse von Strukturen und mechanischen Systemen; wichtig zur Berechnung von Spannungen und Kräften in Bauwerken.
Computergrafik: Grundlegend für die Darstellung von 3D-Punkten, Linien und Oberflächen; Transformationen wie Translation, Rotation und Skalierung basieren auf Vektoroperationen.
Navigation: Unverzichtbar zur Bestimmung von Richtungen und Positionen; ermöglichen die Berechnung von Routen und Distanzen zwischen Punkten.

Vektoren als Punkte: Vektoren können als Punkte im Raum verstanden werden; z.B. ( \mathbf{a} = (x, y) ) entspricht dem Punkt ( (x, y) ) im 2D-Raum.
Geraden und Ebenen: Beschreibung geometrischer Objekte. Gerade: ( \mathbf{r}(t) = \mathbf{a} + t \cdot \mathbf{b} ); Ebene: ( \mathbf{r}(s, t) = \mathbf{a} + s \cdot \mathbf{b} + t \cdot \mathbf{c} ).
Abstandsmessung: Berechnung der Abstände zwischen Punkten und Linien erfolgt durch orthogonale Projektion.
Winkel zwischen Vektoren: Ermittlung der Winkel basiert auf dem Skalarprodukt; Formel für den Kosinus: ( \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} ).
Vektorielle Basis: Vektoren können relativ zu einer gewählten Basis dargestellt werden; jede Richtung ist durch eine Kombination der Basisvektoren beschreibbar.