Vedenie tepla: Fourierov zákon

Úvod

• Prenos tepla je výmena tepelnej energie z objektu s vyššou teplotou do objektu s nižšou teplotou.
• Prenos tepla prebieha tromi rôznymi spôsobmi: vedením, prúdením a žiarením.

Vedenie tepla (Conduction)

• Vedenie, nazývané aj difúzia, je prenos energie z energetickejšej častice na menej energetickú časticu v dôsledku interakcie medzi nimi.
• Príklady: tepelné straty cez stenu alebo odvod tepla z elektronických súčiastok na doske s plošnými spojmi.

Fourierov zákon vedenia tepla

• $\dot{Q} = -kA\frac{dT}{dx}$
  • $\dot{Q}$: rýchlosť prenosu tepla (W).
  • $k$: tepelná vodivosť materiálu (W/m.K).
  • A: plocha kolmá na smer prenosu tepla ($m^2$).
  • $\frac{dT}{dx}$: teplotný gradient v smere toku tepla (K/m).
• Tepelná vodivosť je miera schopnosti materiálu viesť teplo.
  • Materiály s vysokou tepelnou vodivosťou sa nazývajú vodiče tepla, napr. meď, hliník a železo.
  • Materiály s nízkou tepelnou vodivosťou sa nazývajú izolanty, napr. guma, plast a drevo.
• Tepelná vodivosť niektorých materiálov pri izbovej teplote (300 K):
  • Diamant: 2300 W/mK
  • Striebro: 429 W/mK
  • Meď: 401 W/mK
  • Zlato: 317 W/mK
  • Hliník: 237 W/mK
  • Železo: 80,2 W/mK
  • Betón: 1,4 W/mK
  • Sklo: 0,78 W/mK
  • Drevo: 0,17 W/mK
  • Vzduch: 0,026 W/mK
  • Polyuretán: 0,026 W/mK

Príklad 1

• Zadné okno automobilu sa odhmlieva prechodom teplého vzduchu cez jeho vnútorný povrch.
• Teplý vzduch má teplotu $T_i = 40^\circ C$ a koeficient prestupu tepla prúdením je $h=30 W/m^2 \cdot K$.
• Aká je vnútorná a vonkajšia povrchová teplota skla, ak je vonkajšia teplota $T_o = -10^\circ C$?
• Predpoklady:
  • Ustalene podmienky
  • Jednorozmerné vedenie cez sklo
  • Konštantné vlastnosti
• Vlastnosti:
  • $k_{glass} = 1.4 W/m \cdot K$
• Analýza:
  • Teplo prechádza cez konvekčný odpor vzduchu vo vnútri vozidla, odpor vedenia skla a konvekčný odpor vzduchu mimo vozidla.
  • $\frac{T_i - T_o}{R_{tot}} = \frac{T_i - T_1}{R_{conv,i}} = \frac{T_1 - T_2}{R_{cond}} = \frac{T_2 - T_o}{R_{conv,o}}$
• Kde:
  • $R_{conv,i} = \frac{1}{h_i A} = \frac{1}{(30 W/m^2 \cdot K) \cdot A} = \frac{0.033}{A} K/W$
  • $R_{cond} = \frac{L}{kA} = \frac{0.004 m}{(1.4 W/m \cdot K) \cdot A} = \frac{0.00286}{A} K/W$
  • $R_{conv,o} = \frac{1}{h_o A} = \frac{1}{(70 W/m^2 \cdot K) \cdot A} = \frac{0.0143}{A} K/W$
  • $T_i - T_1 = \frac{R_{conv,i}}{R_{conv,i} + R_{cond} + R_{conv,o}}(T_i - T_o)$
  • $40 - T_1 = \frac{0.033}{0.033 + 0.00286 + 0.0143} (40 - (-10))$
  • $T_1 = 13.4^\circ C$
  • $T_2 - T_o = \frac{R_{conv,o}}{R_{conv,i} + R_{cond} + R_{conv,o}}(T_i - T_o)$
  • $T_2 - (-10) = \frac{0.0143}{0.033 + 0.00286 + 0.0143} (40 - (-10))$
  • $T_2 = 4.9^\circ C$