Vectores y Geometría Lineal

Álgebra Lineal y Análisis Multivariado para la Ciencia de Datos: Vectores y Geometría Lineal

Vectores

• Un vector se define como una entidad matemática con magnitud y dirección.
• Se representa como una lista ordenada de números, conocidos como componentes o coordenadas.
• La representación matemática de un vector v es una matriz columna, donde $v_i$ es la i-ésima componente y n es la dimensión vectorial. $$ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \ v_2 \ \vdots \ v_n \end{bmatrix} $$

Operaciones con Vectores

Adición

• La suma de dos vectores u y v de la misma dimensión se realiza sumando sus componentes correspondientes. $$ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \ u_2 + v_2 \ \vdots \ u_n + v_n \end{bmatrix} $$

Multiplicación por un escalar

• La multiplicación de un vector v por un escalar c se realiza multiplicando cada componente del vector por el escalar. $$ c\mathbf{v} = \begin{bmatrix} cv_1 \ cv_2 \ \vdots \ cv_n \end{bmatrix} $$

Producto escalar

• El producto escalar de dos vectores u y v se define como la suma de los productos de sus componentes correspondientes. $$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n $$
• El producto escalar también puede expresarse en términos de las magnitudes de los vectores y el coseno del ángulo θ entre ellos. $$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = ||\mathbf{u}|| \cdot ||\mathbf{v}|| \cdot \cos(\theta) $$

Magnitud de un vector

• La magnitud (o norma) de un vector v se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. $$ ||\mathbf{v}|| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2} $$

Propiedades de Vectores

• La adición de vectores es conmutativa: $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$.
• La adición de vectores es asociativa: $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$.
• La multiplicación escalar es distributiva con respecto a la adición vectorial: $c(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c\mathbf{u} + c\mathbf{v}$.
• La multiplicación escalar es distributiva con respecto a la adición escalar: $(c + d)\mathbf{v} = c\mathbf{v} + d\mathbf{v}$.

Espacios Vectoriales

Definición

• Un espacio vectorial V es un conjunto de objetos, llamados vectores, donde se definen dos operaciones: adición de vectores y multiplicación por un escalar.
• Estas operaciones deben satisfacer un conjunto de axiomas.

Axiomas de Espacios Vectoriales

• Para todo $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$, $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in V$ (cerradura bajo la adición).
• Para todo $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$, $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$ (conmutatividad de la adición).
• Para todo $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$, $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$ (asociatividad de la adición).
• Existe un vector $\mathbf{0} \in V$ tal que para todo $\mathbf{v} \in V$, $\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}$ (existencia de un elemento neutro para la adición).
• Para todo $\mathbf{v} \in V$, existe un vector $-\mathbf{v} \in V$ tal que $\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}$ (existencia de un inverso aditivo).
• Para todo $\mathbf{v} \in V$ y todo escalar $c$, $c\mathbf{v} \in V$ (cerradura bajo la multiplicación por un escalar).
• Para todo escalar $c$ y todos vectores $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$, $c(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c\mathbf{u} + c\mathbf{v}$ (distributividad de la multiplicación escalar con respecto a la adición vectorial).
• Para todos escalares $c, d$ y todo vector $\mathbf{v} \in V$, $(c + d)\mathbf{v} = c\mathbf{v} + d\mathbf{v}$ (distributividad de la multiplicación escalar con respecto a la adición escalar).
• Para todos escalares $c, d$ y todo vector $\mathbf{v} \in V$, $c(d\mathbf{v}) = (cd)\mathbf{v}$ (asociatividad de la multiplicación escalar).
• Para todo vector $\mathbf{v} \in V$, $1\mathbf{v} = \mathbf{v}$ (identidad multiplicativa).

Ejemplos de Espacios Vectoriales

• $\mathbb{R}^n$: Conjunto de n-tuplas de números reales.
• $\mathbb{C}^n$: Conjunto de n-tuplas de números complejos.
• Matrices de tamaño $m \times n$ con elementos reales.
• Polinomios con coeficientes reales.
• Funciones continuas definidas en un intervalo $[a, b]$.

Subespacios Vectoriales

Definición

• Un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio vectorial si W es en sí mismo un espacio vectorial bajo las operaciones definidas en V.

Teorema para Identificar Subespacios

• Un subconjunto W de V es un subespacio si y solo si:
  • $\mathbf{0} \in W$ (el vector cero está en W).
  • Para todo $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W$, $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W$ (cerradura bajo la adición).
  • Para todo $\mathbf{v} \in W$ y todo escalar $c$, $c\mathbf{v} \in W$ (cerradura bajo la multiplicación por un escalar).

Ejemplos de Subespacios Vectoriales

• El conjunto ${\mathbf{0}}$ es un subespacio de cualquier espacio vectorial.
• El conjunto V es un subespacio de sí mismo.
• En $\mathbb{R}^2$, el conjunto de vectores de la forma $(x, 0)$ donde $x \in \mathbb{R}$ es un subespacio.

Combinación Lineal, Envolvente Lineal e Independencia Lineal

Combinación Lineal

• Dados vectores $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k$ en un espacio vectorial V, una combinación lineal es una expresión de la forma $c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \dots + c_k\mathbf{v}_k$, donde $c_i$ son escalares.

Envolvente Lineal (Span)

• El span de un conjunto de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de esos vectores. $$ \text{span}{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k} = {c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \dots + c_k\mathbf{v}_k \mid c_1, c_2, \dots, c_k \text{ son des escalares}} $$

Independencia Lineal

• Vectores $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k$ son linealmente independientes si la ecuación $c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \dots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0}$ implica que todos los $c_i$ son cero.
• Si los vectores no son linealmente independientes, son linealmente dependientes.

Base y Dimensión

• Una base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan el espacio.
• La dimensión del espacio es el número de vectores en una base.

Transformaciones Lineales

Definición

• Una transformación lineal $T: V \rightarrow W$ entre espacios vectoriales satisface:
  • $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$ para todos los vectores $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$.
  • $T(c\mathbf{v}) = cT(\mathbf{v})$ para todo vector $\mathbf{v} \in V$ y escalar $c$.

Propiedades

• Preserva el vector nulo: $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$.
• Preserva las combinaciones lineales: $T(c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \dots + c_k\mathbf{v}_k) = c_1T(\mathbf{v}_1) + c_2T(\mathbf{v}_2) + \dots + c_kT(\mathbf{v}_k)$.

Matriz de Transformación Lineal

• Una transformación lineal puede ser representada por una matriz A tal que $T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$.

Valores Propios y Vectores Propios

Definición

• Un vector propio $\mathbf{v}$ de una matriz A cumple $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$, donde $\lambda$ es el valor propio.

Cálculo de Valores Propios

• Se resuelve la ecuación característica $\text{det}(A - \lambda I) = 0$, donde I es la matriz identidad.

Cálculo de Vectores Propios

• Para cada valor propio $\lambda$, se resuelve $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$.

Diagonalización

• Una matriz A es diagonalizable si existe P invertible y D diagonal tal que $A = PDP^{-1}$.
• Las columnas de P son los vectores propios, y los elementos de D son los valores propios.

Docker: Plataforma para Aplicaciones

¿Qué es Docker?

• Docker es una plataforma para desarrollar, enviar y ejecutar aplicaciones de forma estandarizada.
• Permite empaquetar aplicaciones con sus dependencias en contenedores.

Razones para Usar Docker

• Ejecución de software en cualquier lugar.
• Implementación y escalamiento rápido.
• Mayor densidad y fácil actualización.
• Aislamiento de aplicaciones.

Contenedores vs. Máquinas Virtuales

Arquitectura de Docker

• Componentes principales: Docker Client, Docker Host, Docker Registry.
• Docker Client: Interfaz para interactuar con Docker.
• Docker Host: Entorno para ejecutar contenedores.
  • Docker Daemon (dockerd): Gestiona contenedores, imágenes, redes y volúmenes.
  • Images: Plantillas de solo lectura para crear contenedores.
  • Containers: Instancias ejecutables de las imágenes.
  • Networks: Aísla los contenedores.
  • Volumes: Persisten la data generada por un contenedor.
• Docker Registry: Repositorio para almacenar imágenes de Docker (público o privado).

Comandos Básicos de Docker

Images

• docker pull : Descarga una imagen desde un registro.
• docker images: Lista las imágenes disponibles localmente.
• docker rmi : Elimina una imagen local.

Containers

• docker run : Crea y ejecuta un contenedor.
• docker ps: Lista los contenedores en ejecución.
• docker ps -a: Lista todos los contenedores.
• docker stop : Detiene un contenedor.
• docker start : Inicia un contenedor detenido.
• docker restart : Reinicia un contenedor.
• docker rm : Elimina un contenedor detenido.
• docker exec -it : Ejecuta un comando dentro de un contenedor (shell interactiva).
• docker logs : Muestra los logs de un contenedor.

Dockerfile

Definición

• Un Dockerfile es un archivo de texto que contiene instrucciones para construir una imagen de Docker.

Instrucciones Comunes

• FROM: Define la imagen base.
• RUN: Ejecuta comandos durante la construcción.
• COPY: Copia archivos desde el host al contenedor.
• EXPOSE: Especifica los puertos que el contenedor expondrá.
• CMD: Especifica el comando que se ejecutará al iniciar el contenedor.

Construcción de la Imagen

• docker build -t .: Construye una imagen basada en el Dockerfile en el directorio actual.

Docker Compose

Definición

• Herramienta para definir y ejecutar aplicaciones multi-contenedor.
• Se configura en un archivo docker-compose.yml.

Comandos

• docker-compose up: Construye, (re)crea, inicia y adjunta contenedores.
• docker-compose down: Detiene y elimina los contenedores, redes y volúmenes.

Docker Hub

• Un registro de imágenes de Docker (público por defecto).
• Permite subir y compartir imágenes con otros.