Vectores: Propiedades y Operaciones Fundamentales

Vectores

• Un vector se define por su dirección, sentido y norma (longitud).

Operaciones con Vectores

• Multiplicación por un escalar: $\lambda \cdot \vec{v}$ mantiene la dirección de $\vec{v}$, el mismo sentido si $\lambda > 0$, sentido opuesto si $\lambda < 0$, y su norma es $|\lambda| \cdot |\vec{v}|$.
• Adición vectorial: $\vec{v} + \vec{w} = \vec{w} + \vec{v}$ (conmutativa) y $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$ (asociativa).
• Combinación lineal: $\vec{v} = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 +... + \lambda_n \vec{v}_n$.

Representaciones de Vectores

• Coordenadas cartesianas (2D): $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \ v_y \end{pmatrix}$, la suma es $\vec{v} + \vec{w} = \begin{pmatrix} v_x + w_x \ v_y + w_y \end{pmatrix}$, y la multiplicación por un escalar es $\lambda \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} \lambda v_x \ \lambda v_y \end{pmatrix}$.
• Coordenadas polares (2D): $\vec{v} = (r, \theta)$, donde $r = |\vec{v}|$ y $\theta$ es el ángulo respecto al eje x; $v_x = r \cos(\theta)$ y $v_y = r \sin(\theta)$.
• Coordenadas cartesianas (3D): $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \ v_y \ v_z \end{pmatrix}$, la suma es $\vec{v} + \vec{w} = \begin{pmatrix} v_x + w_x \ v_y + w_y \ v_z + w_z \end{pmatrix}$, y la multiplicación por un escalar es $\lambda \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} \lambda v_x \ \lambda v_y \ \lambda v_z \end{pmatrix}$.
• Coordenadas cilíndricas (3D): $\vec{v} = (r, \theta, z)$, donde $r$ es la distancia al eje z, $\theta$ es el ángulo respecto al eje x, y $z$ es la altura; $v_x = r \cos(\theta)$, $v_y = r \sin(\theta)$ y $v_z = z$.
• Coordenadas esféricas (3D): $\vec{v} = (\rho, \theta, \phi)$, donde $\rho = |\vec{v}|$, $\theta$ es el ángulo respecto al eje x, y $\phi$ es el ángulo respecto al eje z; $v_x = \rho \sin(\phi) \cos(\theta)$, $v_y = \rho \sin(\phi) \sin(\theta)$, $v_z = \rho \cos(\phi)$.

Producto Escalar

• $\vec{v} \cdot \vec{w} = |\vec{v}| \cdot |\vec{w}| \cdot \cos(\theta)$.
• $\vec{v} \cdot \vec{w} = v_x w_x + v_y w_y + v_z w_z$.

Producto Vectorial

• $\vec{v} \times \vec{w} = \begin{pmatrix} v_y w_z - v_z w_y \ v_z w_x - v_x w_z \ v_x w_y - v_y w_x \end{pmatrix}$.
• La norma del producto vectorial es $|\vec{v} \times \vec{w}| = |\vec{v}| \cdot |\vec{w}| \cdot \sin(\theta)$.
• El producto vectorial es ortogonal a ambos vectores, $\vec{v}$ y $\vec{w}$.
• La dirección del producto vectorial se determina con la regla de la mano derecha.

Producto Mixto

• $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} = \begin{vmatrix} u_x & v_x & w_x \ u_y & v_y & w_y \ u_z & v_z & w_z \end{vmatrix}$.

Representaciones de la Recta (2D)

• Forma paramétrica: $\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \ y_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} v_x \ v_y \end{pmatrix}$, donde $(x_0, y_0)$ es un punto en la recta y $(v_x, v_y)$ es el vector director.
• Forma cartesiana: $ax + by = c$.
• Forma normal (Hesse): $x \cdot \cos(\theta) + y \cdot \sin(\theta) = d$, donde $d$ es la distancia al origen y $\theta$ es el ángulo de la normal al eje x.

Rectas en 3D

• Forma paramétrica: $\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \ y_0 \ z_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} v_x \ v_y \ v_z \end{pmatrix}$, donde $(x_0, y_0, z_0)$ es un punto en la recta y $(v_x, v_y, v_z)$ es el vector director.

Representaciones del Plano

• Forma paramétrica: $\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \ y_0 \ z_0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} v_{1x} \ v_{1y} \ v_{1z} \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} v_{2x} \ v_{2y} \ v_{2z} \end{pmatrix}$, donde $(x_0, y_0, z_0)$ es un punto en el plano y $\vec{v_1}, \vec{v_2}$ son dos vectores directores linealmente independientes.
• Forma cartesiana: $ax + by + cz = d$, donde $(a, b, c)$ es un vector normal al plano.
• Forma normal (Hesse): $x \cdot \cos(\alpha) + y \cdot \cos(\beta) + z \cdot \cos(\gamma) = p$, donde $p$ es la distancia al origen y $\alpha, \beta, \gamma$ son los ángulos de la normal a los ejes x, y, z respectivamente.