Vectores: Fundamentos y Operaciones

Vectores

• Son segmentos de recta orientados caracterizados por magnitud, dirección y sentido.

Representación de vectores

• $\overrightarrow{A}$ y $\vec{A}$ son notaciones comunes.
• A denota representación en negrita.

Componentes de un vector

• Módulo o magnitud: La longitud del vector.
• Dirección: El ángulo con respecto a la horizontal.
• Sentido: La orientación que indica la punta de la flecha.

Tipos de vectores

• Colineales: Se ubican en la misma línea de acción.
• Concurrentes: Sus líneas de acción se cruzan en un punto.
• Coplanares: Reposen en el mismo plano.
• Iguales: Comparten magnitud, dirección y sentido.
• Opuestos: Tienen la misma magnitud y dirección, pero en sentidos contrarios.

Operaciones con vectores

Suma de vectores

Métodos gráficos

• Triángulo: Conecta vectores uno tras otro, el vector resultante va desde el origen del primero hasta el final del último.
• Paralelogramo: Vectores con origen común, se dibuja un paralelogramo y la resultante es la diagonal desde el origen.

Métodos analíticos

• Vectores colineales: Suma algebraica de las magnitudes.
  • Mismo sentido: Suma de las magnitudes.
  • Sentido opuesto: Resta de las magnitudes.
• Vectores concurrentes:
  • Componentes rectangulares: Descomponer en ejes x e y, sumar componentes y usar el teorema de Pitágoras para la magnitud resultante y la función tangente inversa para la dirección.
    • $$\vec{R} = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$$ (Magnitud resultante)
    • $$tan\theta = \frac{R_y}{R_x}$$ (Dirección)
  • Ley de Cosenos: Para la magnitud de la resultante de dos vectores.
    • $$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2ABcos\theta}$$
  • Ley de Senos: Para calcular los ángulos con respecto a la resultante.
    • $$\frac{A}{sen\alpha} = \frac{B}{sen\beta} = \frac{R}{sen\theta}$$

Resta de vectores

• Suma el vector opuesto del vector sustraendo al vector minuendo.
  • $$\vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})$$

Producto de un vector por un escalar

• Resulta en un nuevo vector con la misma dirección.
• El módulo se multiplica por el escalar.
  • Si $k > 0$, la dirección y el sentido de $\vec{B}$ son los mismos que los de $\vec{A}$.
  • Si $k < 0$, $\vec{B}$ tiene la misma dirección pero sentido opuesto que $\vec{A}$.
  • $$k\vec{A} = \vec{B}$$

Vectores unitarios

• Vector de magnitud 1, indica dirección y sentido.

Vectores unitarios cartesianos

• En dirección de los ejes cartesianos: $\hat{i}$ (eje x), $\hat{j}$ (eje y), $\hat{k}$ (eje z).

Representación en componentes cartesianas

• $$\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$$

Producto escalar (producto punto)

• Escalar igual al producto de las magnitudes por el coseno del ángulo entre los vectores.
  • $$\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|cos\theta$$

Propiedades del producto escalar

• Conmutativa: $\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$
• Distributiva: $\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C}$
• Perpendiculares: $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$
• Paralelos: $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|$

En componentes cartesianas

• $$\vec{A} \cdot \vec{B} = (A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}) \cdot (B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k})$$
• $$\vec{A} \cdot \vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z$$

Producto vectorial (producto cruz)

• Vector perpendicular al plano de los vectores originales.
• Su magnitud es el producto de las magnitudes por el seno del ángulo entre los vectores.
• La dirección se determina por la regla de la mano derecha.
  • $$|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}||\vec{B}|sen\theta$$

Propiedades del producto vectorial

• No conmutativa: $\vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A}$
• Distributiva: $\vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C}$
• Paralelos: $\vec{A} \times \vec{B} = \vec{0}$

En componentes cartesianas

• $$\vec{A} \times \vec{B} = (A_yB_z - A_zB_y)\hat{i} + (A_zB_x - A_xB_z)\hat{j} + (A_xB_y - A_yB_x)\hat{k}$$

• $$\vec{A} \times \vec{B} = (A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}) \times (B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k})$$

• También se calcula mediante el determinante:

  $$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ A_x & A_y & A_z \ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}$$