Vectores en el Plano

Vectores en el Plano

Componentes De Un Vector

• Un vector v en el plano se puede descomponer en dos componentes:
  • Componente horizontal (x): vₓ
  • Componente vertical (y): vᵧ
• Las componentes se pueden encontrar utilizando trigonometría:
  • vₓ = |v| * cos(θ)
  • vᵧ = |v| * sin(θ)

Magnitud Y Dirección

• La magnitud (módulo) de un vector v se representa como |v| y se calcula como:
  • |v| = √(vₓ² + vᵧ²)
• La dirección de un vector se mide en grados o radianes y se representa como θ
• La dirección se puede calcular utilizando la tangente:
  • θ = arctan(vᵧ / vₓ)

Suma De Vectores

• La suma de dos vectores u y v se representa como u + v
• La suma se realiza componentes por componentes:
  • (uₓ + vₓ, uᵧ + vᵧ)
• La suma de vectores sigue las propiedades de conmutatividad y asociatividad

Producto Escalar

• El producto escalar de dos vectores u y v se representa como u · v
• El producto escalar se calcula como:
  • u · v = uₓ * vₓ + uᵧ * vᵧ
• El producto escalar tiene aplicaciones en física, como el cálculo de la proyección de un vector sobre otro

Vectores Unitarios

• Un vector unitario u tiene una magnitud de 1 (|u| = 1)
• Los vectores unitarios se utilizan para representar direcciones en el plano
• Cualquier vector v se puede expresar como un múltiplo de un vector unitario u:
  • v = |v| * u

Vectores en el Plano

Componentes de un Vector

• Un vector en el plano se descompone en dos componentes: horizontal (x) y vertical (y)
• Las componentes se encuentran utilizando trigonometría: vₓ = |v| * cos(θ) y vᵧ = |v| * sin(θ)

Magnitud y Dirección

• La magnitud de un vector se representa como |v| y se calcula como: |v| = √(vₓ² + vᵧ²)
• La dirección se mide en grados o radianes y se representa como θ
• La dirección se calcula utilizando la tangente: θ = arctan(vᵧ / vₓ)

Suma de Vectores

• La suma de dos vectores se representa como u + v
• La suma se realiza componentes por componentes: (uₓ + vₓ, uᵧ + vᵧ)
• La suma de vectores sigue las propiedades de conmutatividad y asociatividad

Producto Escalar

• El producto escalar de dos vectores se representa como u · v
• El producto escalar se calcula como: u · v = uₓ * vₓ + uᵧ * vᵧ
• El producto escalar se utiliza en física para calcular la proyección de un vector sobre otro

Vectores Unitarios

• Un vector unitario tiene una magnitud de 1 (|u| = 1)
• Los vectores unitarios se utilizan para representar direcciones en el plano
• Cualquier vector se puede expresar como un múltiplo de un vector unitario: v = |v| * u

Definición y Conceptos Básicos

• Una función es una relación entre dos conjuntos, donde a cada elemento del primer conjunto (dominio) le corresponde exactamente un elemento del segundo conjunto (codominio).
• La notación matemática de una función se escribe como f: A → B, donde A es el dominio y B es el codominio.
• f(x) denota la imagen de x bajo f, y el conjunto de todas las imágenes se llama rango o imagen de la función.

Tipos de Funciones

• Inyectiva (uno a uno): différent elementos del dominio tienen diferentes imágenes en el codominio.
• Sobreyectiva (sobre): cada elemento del codominio es la imagen de al menos un elemento del dominio.
• Biyectiva: una función es biyectiva si es tanto inyectiva como sobreyectiva, estableciendo una correspondencia uno a uno entre el dominio y el codominio.

Representación

• Las funciones pueden representarse de varias maneras: analítica (mediante una fórmula matemática), gráfica (en un sistema de coordenadas), tabular (a través de una tabla que lista pares ordenados) y diagrama de flechas (indicando la correspondencia entre los elementos del dominio y el codominio).

Funciones Compuestas y Inversas

• Composición de funciones: si f: A → B y g: B → C, la función compuesta g ∘ f: A → C se define como (g ∘ f)(x) = g(f(x)).
• Función inversa: una función f tiene una inversa f^(-1) si f es biyectiva, y f^(-1)(y) = x si f(x) = y.

Propiedades Importantes

• Continuidad: una función es continua si no tiene saltos ni interrupciones en su dominio.
• Derivabilidad: una función es derivable si su derivada existe en cada punto de su dominio.
• Integrabilidad: una función es integrable si su integral existe en un intervalo dado.

Aplicaciones

• Física: describen leyes físicas como la velocidad y la aceleración.
• Economía: modelan fenómenos económicos como el costo, ingreso y utilidad.
• Ingeniería: utilizadas en el diseño y análisis de sistemas y señales.
• Ciencias de la Computación: en algoritmos y estructuras de datos.

Ejemplos de Funciones Comunes

• Lineales: f(x) = mx + b.
• Cuadráticas: f(x) = ax^2 + bx + c.
• Polinomiales: f(x) = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + … + a_0.
• Exponenciales: f(x) = a^x.
• Logarítmicas: f(x) = log_a(x).
• Trigonométricas: f(x) = sin(x), cos(x), tan(x).

Funciones Especiales

• Delta de Dirac: utilizada en teoría de señales y física.
• Función Heaviside: usada en teoría de control y ecuaciones diferenciales.