BPE 13 Investition

Vecteurs

• Tout vecteur peut être exprimé par ses composantes : $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j}$.
• $A_x$ est égal à $A\cos\theta$.
• $A_y$ est égal à $A\sin\theta$.
• $\theta$ se calcule avec la formule $\arctan(\frac{A_y}{A_x})$.

Addition de vecteurs

• Si $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$, alors $R_x = A_x + B_x$ et $R_y = A_y + B_y$.
• L'amplitude de $\vec{R}$ est $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$.
• Son angle est $\theta = \arctan(\frac{R_y}{R_x})$.

Algèbre Linéaire avec Applications

• Steven J. Leon est l'auteur.
• C'est une neuvième édition globale.

Chapitres

• Le chapitre 1 couvre les matrices et équations linéaires avec des sujets comme les systèmes d'équations, les matrices, les formes d'échelon de ligne, l'arithmétique matricielle, et MATLAB.
• Le chapitre 2 traite des déterminants, y compris leur définition, propriétés, déterminants des produits matriciels, expansion de cofacteurs, et leurs applications.
• Le chapitre 3 aborde les espaces vectoriels, sous-espaces, combinaisons linéaires, indépendance linéaire, bases, dimensions, changements de base et MATLAB.
• Le chapitre 4 explore les transformations linéaires, la matrice d'une transformation linéaire, les changements de base, les transformations de $\mathbb{R}^n$ à $\mathbb{R}^m$, et leurs applications aux graphiques informatiques.
• Le chapitre 5 concerne l'orthogonalité, le produit scalaire dans $\mathbb{R}^n$, les espaces orthogonaux, le processus de Gram-Schmidt, l'ajustement des moindres carrés, et l'utilisation de MATLAB.
• Le chapitre 6 traite des valeurs propres, de la diagonalisation, des transformations linéaires continues, de la forme normale de Jordan et des méthodes itératives.
• Le chapitre 7 explore les formes bilinéaires et quadratiques, en mettant l'accent sur les formes quadratiques définies positives.
• Le chapitre 8 est consacré à la programmation linéaire, y compris la méthode du simplexe, la théorie de la dualité et la méthode du transport.
• Le chapitre 9 couvre les opérations et manipulations matricielles dans MATLAB, ainsi que des fonctions de ligne et la programmation MATLAB.
• L'annexe A fournit des concepts mathématiques de base pour référence.

Résumé de la création d'une entreprise de snacks santé

• Le plan d'affaires évalue la viabilité d'une entreprise de production et de commercialisation de snacks santé à base de fruits déshydratés, de noix et de graines à Cuenca, en Équateur.
• Il existe une demande croissante d'aliments sains et pratiques sur le marché équatorien, tirée par une sensibilisation accrue à l'importance d'une alimentation équilibrée.

Marché Ciblé

• Le marché cible se compose de personnes âgées de 18 à 55 ans, résidant à Cuenca, avec un niveau socio-économique moyen-supérieur, soucieuses de leur santé et de leur bien-être.
• Ces consommateurs recherchent des collations saines et pratiques à consommer à tout moment et en tout lieu.

Avantage Concurrenciel

• L'avantage concurrentiel réside dans une combinaison de produits fabriqués avec des ingrédients naturels de haute qualité provenant de producteurs locaux.
• L'avantage concurrentiel tient aussi à une variété de saveurs et de présentations adaptées aux goûts du consommateur équatorien, et une marque attrayante et différenciée qui transmet les valeurs de la santé, du bien-être et du développement durable.

Canaux de Distribution

• Les canaux de distribution comprennent la vente directe via une boutique en ligne et les réseaux sociaux.
• Les canaux de distribution incluent la distribution aux magasins de produits naturels, aux gymnases et aux centres sportifs, en plus d'alliances stratégiques avec les supermarchés et les magasins de proximité.

Investissement Initial

• Un investissement initial de 50 000 $ US est requis pour couvrir les coûts d'aménagement d'une usine de production, d'achat de matériel et de machines, et de fonds de roulement.

Mouvement de projectile

• Le mouvement de projectile est la trajectoire courbe qu'un objet suit lorsqu'il est lancé ou projeté près de la surface de la Terre.
• Le mouvement de projectile est un mouvement bidimensionnel où la force gravitationnelle agit, ce qui équivaut à une chute libre avec une vélocité horizontale initiale.

Concepts clés du mouvement de projectile

• La trajectoire est la trajectoire courbe d'un projectile.
• La portée est la distance horizontale parcourue par un projectile.
• La hauteur maximale est le point le plus élevé qu'atteint un projectile au-dessus de son point de lancement.
• La gravité affecte le mouvement vertical d'un projectile, le faisant accélérer vers le bas à un taux d'environ 9,8 m/s².
• Les mouvements horizontal et vertical d'un projectile sont indépendants l'un de l'autre, où le mouvement horizontal est uniforme (vélocité constante), tandis que le mouvement vertical est affecté par la gravité (accélération constante).
• La vélocité initiale d'un projectile peut être divisée en composantes horizontale ($v_x$) et verticale ($v_y$).
• Les composants initiaux de vélocité sont calculés comme : $v_x = v_0 \cos(\theta)$ et $v_y = v_0 \sin(\theta)$, où $v_0$ est la vélocité initiale et $\theta$ est l'angle de lancement.

Équations du Mouvement Projectile

• Vélocité horizontale constante : $v_x = v_0 \cos(\theta)$.
• Distance horizontale (portée) : $x = v_x t = v_0 \cos(\theta) t$.
• Vélocité verticale au temps $t$ : $v_y = v_0 \sin(\theta) - gt$.
• Position verticale au temps $t$ : $y = v_0 \sin(\theta) t - \frac{1}{2}gt^2$.
• Hauteur maximale $H$ : $H = \frac{(v_0 \sin(\theta))^2}{2g}$.
• Temps de vol $T$ : $T = \frac{2 v_0 \sin(\theta)}{g}$.
• $g$ est l'accélération due à la gravité (environ 9,8 m/s²) et $t$ est le temps de vol.

Résolution des problèmes de mouvement de projectile

• Les phases générales incluent la lecture et la compréhension du problème, le dessin d'un schéma, la décomposition de la vélocité initiale en composantes horizontales et verticales, l'application d'équations appropriées et la vérification de la réponse.

Théorie Algorithmique des Jeux

Coopératif

• Permet aux joueurs de conclure des accords contraignants.

Non coopératif

• Les joueurs ne peuvent pas conclure d'accords contraignants.

Théorie Traditionnelle des Jeux

• Principalement des résultats d'existence.
• Ne traite pas de la façon de calculer la solution.
• Suppose que les joueurs ont une puissance de calcul illimitée.

Informatique

• Efficacité des algorithmes.
• Conception d'algorithmes efficaces.

Routage Égoïste

• Modèle où un réseau de n nœuds et m arêtes, où chaque arête e a une fonction de coût $c_e(x)$ où x est la fraction de flux sur l'arête.
• Les fonctions de coût sont non négatives et non décroissantes.
• Un grand nombre de joueurs, chacun contrôlant une petite fraction du flux, veulent se rendre de la source à la destination le moins cher possible.
• Une fonction objective est définie où si $f_e$ est la quantité de flux sur l'arête e, alors le coût total est : $Cost(f) = \sum_{e\in E} f_e c_e(f_e)$.
• Un flux est à l'équilibre de Nash si aucun joueur ne peut améliorer unilatéralement son coût.

Prix de l'Anarchie

• Le prix de l'anarchie est le rapport entre le coût d'un équilibre de Nash et le coût d'un flux optimal.
• Formule : $PoA = \frac{\text{Coût de l'équilibre de Nash}}{\text{Coût du flux optimal}}$.

Paradoxe de Braess

• L'ajout de capacité à un réseau peut parfois en augmenter le coût global.
• La théorie Algorithmique des Jeux se situe à l'intersection de la Théorie des Jeux et de l'Informatique.
• Le routage égoïste étudie l'inefficacité des équilibres de Nash par rapport aux flux optimaux, et le prix de l'anarchie quantifie ce rapport.