Vecteurs dans $\mathbb{R}^{n}$

Algèbre Linéaire et Géométrie Vectorielle

Vecteurs dans $\mathbb{R}^{n}$

• Les scalaires sont des nombres réels représentés par $\mathbb{R}$.
• Un vecteur $v$ dans $\mathbb{R}^{n}$ est une liste ordonnée de $n$ nombres réels.
• $v = \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ \vdots \ v_n \end{pmatrix}$ représente un vecteur où $v_1, v_2, ..., v_n$ sont ses composantes.
• Notation : $v \in \mathbb{R}^{n}$.

Opérations Vectorielles

• Addition vectorielle : Pour $u, v \in \mathbb{R}^{n}$, leur somme est $u + v = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \ u_2 + v_2 \ \vdots \ u_n + v_n \end{pmatrix}$.
• Multiplication scalaire : Pour $v \in \mathbb{R}^{n}$ et $c \in \mathbb{R}$, $cv = \begin{pmatrix} cv_1 \ cv_2 \ \vdots \ cv_n \end{pmatrix}$.

Propriétés des Opérations Vectorielles

• Commutativité : $u + v = v + u$.
• Associativité : $(u + v) + w = u + (v + w)$.
• Élément neutre : $u + 0 = u$.
• Inverse additif : $u + (-u) = 0$.
• Distributivité par rapport à l'addition vectorielle : $a(u + v) = au + av$.
• Distributivité par rapport à l'addition scalaire : $(a + b)u = au + bu$.
• Associativité de la multiplication scalaire : $a(bu) = (ab)u$.
• Élément neutre multiplicatif : $1u = u$.

Combinaisons Linéaires

• Un vecteur $v$ est une combinaison linéaire de $v_1, v_2, ..., v_k$ si $v = c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_kv_k$, où $c_1, c_2, ..., c_k$ sont des scalaires.

Espace Vectoriel

Définition Axiomatique

• Un espace vectoriel $V$ est un ensemble non vide avec deux opérations :
  • Addition : $V \times V \rightarrow V$, $(u, v) \mapsto u + v$.
  • Multiplication scalaire : $\mathbb{R} \times V \rightarrow V$, $(c, v) \mapsto cv$.
• Axiomes :
  • Commutativité : $u + v = v + u$.
  • Associativité : $(u + v) + w = u + (v + w)$.
  • Élément neutre : $\exists 0 \in V$ tel que $u + 0 = u$.
  • Inverse additif : $\forall u \in V, \exists -u \in V$ tel que $u + (-u) = 0$.
  • Distributivité par rapport à l'addition vectorielle : $a(u + v) = au + av$.
  • Distributivité par rapport à l'addition scalaire : $(a + b)u = au + bu$.
  • Associativité de la multiplication scalaire : $a(bu) = (ab)u$.
  • Élément neutre multiplicatif : $1u = u$.

Exemples d'Espaces Vectoriels

• $\mathbb{R}^{n}$ avec addition et multiplication scalaire usuelles.
• $M_{m,n}(\mathbb{R})$, l'ensemble des matrices $m \times n$ avec addition matricielle et multiplication scalaire.
• $C([a, b])$, l'ensemble des fonctions réelles continues sur $[a, b]$ avec addition de fonctions et multiplication par un scalaire.
• $\mathbb{R}[x]$, l'ensemble des polynômes à coefficients réels avec addition de polynômes et multiplication par un scalaire.

Sous-Espaces Vectoriels

• Un sous-ensemble $W$ de $V$ est un sous-espace vectoriel si $W$ est lui-même un espace vectoriel avec les opérations de $V$.
• Théorème : $W$ est un sous-espace vectoriel de $V$ si et seulement si :
  • $0 \in W$.
  • Fermé sous l'addition vectorielle (si $u, v \in W$, alors $u + v \in W$).
  • Fermé sous la multiplication scalaire (si $u \in W$ et $c \in \mathbb{R}$, alors $cu \in W$).

Enveloppe Linéaire

• $\text{span}(v_1, v_2, ..., v_k) = {c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_kv_k \mid c_1, c_2, ..., c_k \in \mathbb{R}}$ est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles
• L'enveloppe linéaire est un sous-espace vectoriel.

Indépendance Linéaire

Définition

• ${v_1, v_2, ..., v_k}$ est linéairement indépendant si $c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_kv_k = 0$ implique $c_1 = c_2 = ... = c_k = 0$.
• Si l'ensemble n'est pas linéairement indépendant, il est linéairement dépendant : il existe $c_1, c_2, ..., c_k$, au moins un non nul, tels que $c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_kv_k = 0$.

Bases et Dimension

• Base : Ensemble de vecteurs linéairement indépendants qui engendrent $V$.
• Dimension : Nombre de vecteurs dans une base de $V$, notée $\dim(V)$.
• Exemples :
  • Base canonique de $\mathbb{R}^{n}$ est ${(1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1)}$, et $\dim(\mathbb{R}^{n}) = n$.
  • $\mathbb{R}[x]$ est de dimension infinie.

Produit Scalaire et Normes

Produit Scalaire

• Pour $u = (u_1, u_2, ..., u_n)$ et $v = (v_1, v_2, ..., v_n)$, $u \cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + ... + u_nv_n$.
• Propriétés :
  • Commutativité : $u \cdot v = v \cdot u$.
  • Distributivité : $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$.
  • Associativité : $(cu) \cdot v = c(u \cdot v)$.
  • Positivité : $u \cdot u \geq 0$, et $u \cdot u = 0$ si et seulement si $u = 0$.

Normes

• $|v| = \sqrt{v \cdot v} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2}$.
• Propriétés :
  • Positivité : $|v| \geq 0$, et $|v| = 0$ si et seulement si $v = 0$.
  • Homogénéité : $|cv| = |c||v|$.
  • Inégalité triangulaire : $|u + v| \leq |u| + |v|$.

Orthogonalité

• $u$ et $v$ sont orthogonaux si $u \cdot v = 0$, noté $u \perp v$.
• Théorème de Pythagore : Si $u \perp v$, alors $|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2$.

Bases Orthogonales et Orthonormales

• Base orthogonale : Tous les vecteurs sont mutuellement orthogonaux ($v_i \cdot v_j = 0$ pour $i \neq j$).
• Base orthonormale : Base orthogonale où chaque vecteur a une norme de 1 ($v_i \cdot v_j = 0$ pour $i \neq j$ et $|v_i| = 1$).
• Procédé de Gram-Schmidt : Algorithme pour transformer une base en une base orthogonale, puis orthonormale.