Vecteurs dans l'espace vectoriel

Vecteurs

• Un vecteur dans $\mathbb{R}^n$ est une liste ordonnée de $n$ nombres réels, appelés composantes.

Définitions de base

• Représentation d'un vecteur $\vec{v}$ dans $\mathbb{R}^n$: $\vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \ v_2 \ \vdots \ v_n \end{bmatrix}$, où $v_1, v_2,..., v_n \in \mathbb{R}$.
• Égalité de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans $\mathbb{R}^n$: $\vec{u} = \vec{v}$ si et seulement si $u_i = v_i$ pour tout $i = 1, 2,..., n$.
• Addition vectorielle de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans $\mathbb{R}^n$: $\vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \ u_2 + v_2 \ \vdots \ u_n + v_n \end{bmatrix}$.
• Multiplication scalaire d'un vecteur $\vec{u}$ dans $\mathbb{R}^n$ par un scalaire $c \in \mathbb{R}$: $c\vec{u} = \begin{bmatrix} cu_1 \ cu_2 \ \vdots \ cu_n \end{bmatrix}$.

Propriétés des opérations vectorielles

• Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ dans $\mathbb{R}^n$ et scalaires $c$, $d$ dans $\mathbb{R}$, différentes propriétés s'appliquent.
• Commutativité: $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$.
• Associativité: $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$.
• Élément neutre: $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$ où $\vec{0}$ est le vecteur nul.
• Inverse additive: $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$.
• Distributivité scalaire: $c(\vec{u} + \vec{v}) = c\vec{u} + c\vec{v}$.
• Distributivité scalaire: $(c + d)\vec{u} = c\vec{u} + d\vec{u}$.
• Associativité scalaire: $c(d\vec{u}) = (cd)\vec{u}$.
• Élément neutre scalaire: $1\vec{u} = \vec{u}$.

Combinaisons linéaires

• Une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{v_1}, \vec{v_2},..., \vec{v_k}$ dans $\mathbb{R}^n$ est un vecteur de la forme $c_1\vec{v_1} + c_2\vec{v_2} +... + c_k\vec{v_k}$, où $c_1, c_2,..., c_k$ sont des scalaires.

Indépendance linéaire

• Les vecteurs $\vec{v_1}, \vec{v_2},..., \vec{v_k}$ dans $\mathbb{R}^n$ sont linéairement indépendants si l'équation $c_1\vec{v_1} + c_2\vec{v_2} +... + c_k\vec{v_k} = \vec{0}$ a seulement la solution triviale $c_1 = c_2 =... = c_k = 0$.
• Si une solution non triviale existe, les vecteurs sont linéairement dépendants.