वास्तविक विश्लेषण और मीट्रिक स्पेस

- रियल एनालिसिस गणित की वह शाखा है जो वास्तविक संख्याओं और वास्तविक चरों के फलनों से संबंधित है।
- यह सीमा, निरंतरता, विभेदन, एकीकरण और अनुक्रमों की अवधारणाओं का कठोरता से अध्ययन करता है।
- मीट्रिक स्पेस एक सेट है जिसमें इसके तत्वों के बीच दूरी (जिसे मीट्रिक कहा जाता है) की धारणा होती है।
- यह सामान्य यूक्लिडियन दूरी से परे दूरी के विचार को सामान्यीकृत करता है।

### वास्तविक संख्याएँ
- वास्तविक संख्याओं में परिमेय (जैसे, भिन्न) और अपरिमेय संख्याएँ (जैसे, √2, π) दोनों शामिल हैं।
- उन्हें एक सतत संख्या रेखा पर बिंदुओं के रूप में माना जा सकता है।
- वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को ℝ द्वारा दर्शाया गया है।
- वास्तविक संख्याएँ बीजगणितीय गुणों जैसे कि क्रमविनिमेयता, साहचर्यता, वितरणशीलता और योगात्मक और गुणात्मक पहचान और व्युत्क्रम के अस्तित्व को संतुष्ट करती हैं।
- वे क्रम गुणों को भी संतुष्ट करते हैं: किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, या तो a < b, a > b, या a = b।
- पूर्णता एक महत्वपूर्ण गुण है: वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक गैर-रिक्त समुच्चय जो ऊपर से परिबद्ध है, उसकी एक न्यूनतम ऊपरी सीमा (सर्वोच्च) होती है।

### अनुक्रम
- अनुक्रम संख्याओं की एक क्रमित सूची है, जिसे अक्सर प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित किया जाता है।
- इसे {an} के रूप में दर्शाया गया है, जहाँ n एक प्राकृतिक संख्या है।
- अभिसरण: एक अनुक्रम {an} एक सीमा L में अभिसरित होता है यदि, प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक प्राकृतिक संख्या N मौजूद है जैसे कि सभी n > N के लिए |an - L| < ε।
- एक अनुक्रम को कॉची कहा जाता है यदि इसके पद एक-दूसरे के मनमाने ढंग से करीब होते जाते हैं जब n अनंत की ओर प्रवृत्त होता है।
- प्रत्येक अभिसारी अनुक्रम कॉची होता है, लेकिन सामान्य तौर पर, बातचीत सत्य नहीं होती है जब तक कि स्थान पूर्ण न हो।
- एकदिष्ट अनुक्रम: एक अनुक्रम एकदिष्ट होता है यदि वह या तो बढ़ रहा है या घट रहा है।
- एक परिबद्ध एकदिष्ट अनुक्रम अभिसरित होता है।

### सीमाएँ और निरंतरता
- फलन की सीमा: एक फलन f(x) की सीमा जब x एक मान c तक पहुँचता है, L होता है, जिसे lim (x→c) f(x) = L के रूप में लिखा जाता है, यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 मौजूद है जैसे कि |f(x) - L| < ε जब भी 0 < |x - c| < δ।
- निरंतरता: एक फलन f(x) एक बिंदु c पर निरंतर होता है यदि lim (x→c) f(x) = f(c)।
- एक फलन एक अंतराल पर निरंतर होता है यदि वह अंतराल में प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है।
- एकसमान निरंतरता: एक फलन f(x) एक अंतराल पर एकसमान रूप से निरंतर होता है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 मौजूद है जैसे कि |f(x) - f(y)| < ε जब भी |x - y| < δ अंतराल में सभी x, y के लिए।
- एक बंद और परिबद्ध अंतराल पर निरंतर एक फलन उस अंतराल पर एकसमान रूप से निरंतर होता है।

### विभेदन
- एक बिंदु x पर एक फलन f(x) का व्युत्पन्न f'(x) = lim (h→0) [f(x + h) - f(x)] / h के रूप में परिभाषित किया गया है, बशर्ते यह सीमा मौजूद हो।
- विभेदन नियम: योग नियम, गुणन नियम, भागफल नियम, श्रृंखला नियम।
- माध्य मान प्रमेय: यदि f(x) [a, b] पर निरंतर है और (a, b) पर अवकलनीय है, तो (a, b) में एक ऐसा बिंदु c मौजूद है जैसे कि f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)।
- रोल प्रमेय: यदि f(a) = f(b) और f(x) माध्य मान प्रमेय की शर्तों को पूरा करता है, तो (a, b) में एक ऐसा बिंदु c मौजूद है जैसे कि f'(c) = 0।

### एकीकरण
- रीमैन इंटीग्रल: एक अंतराल [a, b] पर एक फलन f(x) का रीमैन इंटीग्रल रीमैन योगों की सीमा है क्योंकि अंतराल का विभाजन महीन होता जाता है।
- कलन का मौलिक प्रमेय: यह विभेदन और एकीकरण से संबंधित है।
- भाग 1: यदि F(x) = ∫ (a से x) f(t) dt, तो F'(x) = f(x)।
- भाग 2: ∫ (a से b) f'(x) dx = f(b) - f(a)।
- एकीकरण तकनीक: प्रतिस्थापन, भागों द्वारा एकीकरण।

### मीट्रिक स्पेस
- एक मीट्रिक स्पेस X एक फलन d: X × X → ℝ के साथ एक सेट है जैसे कि X में सभी x, y, z के लिए:
    - d(x, y) ≥ 0 (गैर-ऋणात्मकता)
    - d(x, y) = 0 यदि और केवल यदि x = y (अविभेद्य की पहचान)
    - d(x, y) = d(y, x) (समरूपता)
    - d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (त्रिकोण असमानता)
- मीट्रिक स्पेस के उदाहरण:
    - d(x, y) = |x - y| के साथ वास्तविक संख्याएँ
    - d(x, y) = √(∑(xi - yi)2) के साथ यूक्लिडियन स्पेस ℝn
    - असतत मीट्रिक स्पेस: d(x, y) = 0 यदि x = y, और d(x, y) = 1 यदि x ≠ y
- खुले सेट: एक मीट्रिक स्पेस X में एक सेट U खुला होता है यदि U में प्रत्येक x के लिए, एक r > 0 मौजूद है जैसे कि खुला बॉल B(x, r) = {y in X : d(x, y) < r} U में निहित है।
- बंद सेट: एक मीट्रिक स्पेस X में एक सेट F बंद होता है यदि उसका पूरक X \ F खुला होता है।
- मीट्रिक स्पेस में अभिसरण: एक मीट्रिक स्पेस X में एक अनुक्रम {xn} X में एक सीमा x में अभिसरित होता है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक प्राकृतिक संख्या N मौजूद है जैसे कि सभी n > N के लिए d(xn, x) < ε।
- मीट्रिक स्पेस में कॉची अनुक्रम: एक मीट्रिक स्पेस X में एक अनुक्रम {xn} कॉची होता है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक प्राकृतिक संख्या N मौजूद है जैसे कि सभी m, n > N के लिए d(xm, xn) < ε।
- पूर्णता: एक मीट्रिक स्पेस X पूर्ण होता है यदि X में प्रत्येक कॉची अनुक्रम X में एक सीमा में अभिसरित होता है।
- पूर्ण मीट्रिक स्पेस के उदाहरण: ℝ, ℝn।
- सघनता: एक मीट्रिक स्पेस X का एक उपसमुच्चय K सघन होता है यदि K के प्रत्येक खुले आवरण में एक परिमित उप-आवरण होता है।
- हेइन-बोरेल प्रमेय: ℝn का एक उपसमुच्चय सघन होता है यदि और केवल यदि वह बंद और परिबद्ध है।
- मीट्रिक स्पेस के बीच निरंतर फलन: मीट्रिक स्पेस X और Y के बीच एक फलन f: X → Y X में एक बिंदु x पर निरंतर होता है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 मौजूद है जैसे कि जब भी dX(x, y) < δ हो, तो dY(f(x), f(y)) < ε हो।
- मीट्रिक स्पेस के बीच एकसमान निरंतरता: मीट्रिक स्पेस X और Y के बीच एक फलन f: X → Y एकसमान रूप से निरंतर होता है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 मौजूद है जैसे कि सभी x, y in X के लिए जब भी dX(x, y) < δ हो, तो dY(f(x), f(y)) < ε हो।