वास्तविक संख्याएँ और बहुपद

ज़रूर, मैं आपकी मदद कर सकता हूँ। यहाँ अपडेटेड स्टडी नोट्स दिए गए हैं:

वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

• वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याएँ शामिल हैं।
• परिमेय संख्याओं को p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है।
• अपरिमेय संख्याओं को एक साधारण भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
• परिमेय संख्याओं के उदाहरण 2, -3, 1/2, 0.75 हैं।
• अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण √2, π (पाई), e हैं।
• परिमेय संख्या का दशमलव निरूपण या तो सांत होता है या अशांत आवर्ती होता है।
• अपरिमेय संख्या का दशमलव निरूपण अशांत और अनावर्ती होता है।
• यूक्लिड का विभाजन लेम्मा बताता है कि किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए, अद्वितीय पूर्णांक q और r इस प्रकार मौजूद हैं कि a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b।
• यूक्लिड का विभाजन एल्गोरिथ्म दो दिए गए धनात्मक पूर्णांकों का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने की एक तकनीक है।
• अंकगणित का मौलिक प्रमेय बताता है कि प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त (कारकीकृत) किया जा सकता है, और यह गुणनखंडन अद्वितीय होता है, उस क्रम को छोड़कर जिसमें अभाज्य गुणनखंड आते हैं।
• HCF (महत्तम समापवर्तक) सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक है जो दो या दो से अधिक पूर्णांकों को बिना शेष छोड़े विभाजित करता है।
• LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जो दो या दो से अधिक पूर्णांकों से विभाज्य है।
• HCF और LCM के बीच संबंध: HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b

बहुपद (Polynomials)

• बहुपद एक ऐसा व्यंजक है जिसमें चर और गुणांक होते हैं, जिसमें केवल जोड़, घटाव, गुणा और चर के गैर-नकारात्मक पूर्णांक घातांकों के संचालन शामिल होते हैं।
• एक चर x में बहुपद p(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ के रूप का एक बीजीय व्यंजक होता है, जहाँ aₙ, aₙ₋₁, ..., a₁, a₀ स्थिरांक हैं और n एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है।
• बहुपद की घात बहुपद में चर की उच्चतम घात होती है।
• रैखिक बहुपद घात 1 का बहुपद होता है (जैसे, ax + b)।
• द्विघात बहुपद घात 2 का बहुपद होता है (जैसे, ax² + bx + c)।
• त्रिघात बहुपद घात 3 का बहुपद होता है (जैसे, ax³ + bx² + cx + d)।
• बहुपद p(x) के शून्य x के वे मान होते हैं जिनके लिए p(x) = 0 होता है।
• ज्यामितीय रूप से, बहुपद के शून्य x-निर्देशांक होते हैं उन बिंदुओं के जहाँ बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को काटता है।
• द्विघात बहुपद ax² + bx + c के लिए, शून्यों का योग -b/a होता है और शून्यों का गुणनफल c/a होता है।
• बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म: यदि p(x) और g(x) दो बहुपद हैं जहाँ g(x) ≠ 0 है, तो हम बहुपद q(x) और r(x) ज्ञात कर सकते हैं जैसे कि p(x) = g(x) * q(x) + r(x), जहाँ r(x) = 0 या r(x) की घात < g(x) की घात।
• p(x) भाज्य है, g(x) भाजक है, q(x) भागफल है, और r(x) शेषफल है।

दो चरों में रैखिक समीकरणों का युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)

• दो चरों में एक रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 के रूप का एक समीकरण होता है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं, और a और b दोनों शून्य नहीं हैं।
• दो चरों में रैखिक समीकरणों का एक युग्म एक तल में दो रेखाओं का प्रतिनिधित्व करता है।
• रैखिक समीकरणों के एक युग्म का हल चरों के मूल्यों का वह समुच्चय होता है जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है।
• रैखिक समीकरणों के एक युग्म का अद्वितीय हल, अनंत रूप से कई हल या कोई हल नहीं हो सकता है।
• यदि रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो समीकरणों के युग्म का अद्वितीय हल होता है (संगत)।
• यदि रेखाएँ समानांतर हैं, तो समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं होता है (असंगत)।
• यदि रेखाएँ संपाती हैं, तो समीकरणों के युग्म के अनंत रूप से कई हल होते हैं (आश्रित और संगत)।
• रैखिक समीकरणों के एक युग्म को हल करने के लिए बीजीय विधियाँ: प्रतिस्थापन, विलोपन, क्रॉस-गुणा।
• ग्राफिकल विधि में रेखाओं को एक ग्राफ पर प्लॉट करना और प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना शामिल है।
• यदि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, तो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं और एक अद्वितीय हल होता है।
• यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं और कोई हल नहीं होता है।
• यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, तो रेखाएँ संपाती होती हैं और अनंत रूप से कई हल होते हैं।

द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)

• द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0 है।
• द्विघात समीकरण के हल को इसके मूल कहा जाता है।
• एक द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल, दो समान वास्तविक मूल (एक दोहराया मूल), या कोई वास्तविक मूल नहीं हो सकते हैं।
• द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ: गुणनखंडन, वर्ग पूरा करना, द्विघात सूत्र।
• द्विघात सूत्र: एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए, मूल x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a द्वारा दिए गए हैं।
• एक द्विघात समीकरण का विविक्तकर (D) D = b² - 4ac द्वारा दिया गया है।
• यदि D > 0, तो समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।
• यदि D = 0, तो समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं (एक दोहराया मूल)।
• यदि D < 0, तो समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होता है (मूल जटिल होते हैं)।
• द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूलों का योग -b/a है।
• द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूलों का गुणनफल c/a है।
• यदि α और β एक द्विघात समीकरण के मूल हैं, तो समीकरण को x² - (α + β)x + αβ = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।

वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याएँ शामिल हैं। परिमेय संख्याओं को भिन्न p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका में कहा गया है कि किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए, अद्वितीय पूर्णांक q और r इस प्रकार मौजूद हैं कि a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b।