Variables Aléatoires

Random Variables

Definition: A random variable is a variable whose possible values are determined by chance, and each value has a probability associated with it.

Types of Random Variables:

• Discrete Random Variables: Take on distinct, separate values (e.g., heads or tails, number of defective items).
• Continuous Random Variables: Take on any value within a certain range or interval (e.g., height, weight).

Properties of Random Variables:

• Probability Distribution: Describes the probability of each possible value or range of values.
• Expected Value (mean): The long-run average value of the random variable.
• Variance: Measures the spread or dispersion of the random variable.
• Standard Deviation: The square root of the variance.

Notable Random Variables:

• Bernoulli Random Variable: Models binary outcomes (e.g., success or failure).
• Binomial Random Variable: Models the number of successes in a fixed number of trials.
• Poisson Random Variable: Models the number of events occurring in a fixed interval.

Stochastic Processes

Definition: A stochastic process is a sequence of random variables, where each variable represents a random event or outcome at a specific point in time or space.

Types of Stochastic Processes:

• Discrete-Time Stochastic Process: Random variables are defined at discrete points in time.
• Continuous-Time Stochastic Process: Random variables are defined at every point in time.

Properties of Stochastic Processes:

• Stationarity: The probability distribution of the process remains the same over time.
• Markov Property: The future state of the process depends only on the current state, not on past states.
• Ergodicity: The process converges to a stationary distribution over time.

Notable Stochastic Processes:

• Random Walk: A sequence of random steps, where each step is determined by chance.
• Markov Chain: A sequence of random states, where each state is determined by the previous state.
• Poisson Process: A sequence of random events, where each event occurs at a constant rate.

Variables Aléatoires

• Une variable aléatoire est une variable dont les valeurs possibles sont déterminées par le hasard et chaque valeur a une probabilité associée.
• Les variables aléatoires peuvent être discrètes ou continues.

Types de Variables Aléatoires

• Variables Aléatoires Discrètes : prennent des valeurs distinctes et séparées (par exemple, pile ou face, nombre d'objets défectueux).
• Variables Aléatoires Continues : prennent des valeurs dans un intervalle ou une plage de valeurs (par exemple, taille, poids).

Propriétés des Variables Aléatoires

• Distribution de Probabilité : décrit la probabilité de chaque valeur ou plage de valeurs possible.
• Valeur Espérée (moyenne) : la valeur moyenne à long terme de la variable aléatoire.
• Variance : mesure l'écart ou la dispersion de la variable aléatoire.
• Écart Type : la racine carrée de la variance.

Variables Aléatoires Notables

• Variable Aléatoire de Bernoulli : modèle les événements binaires (par exemple, succès ou échec).
• Variable Aléatoire Binomiale : modèle le nombre de succès dans un nombre fixe d'essais.
• Variable Aléatoire de Poisson : modèle le nombre d'événements se produisant dans un intervalle de temps fixe.

Processus Stochastiques

• ** Définition** : un processus stochastique est une séquence de variables aléatoires, où chaque variable représente un événement ou un résultat aléatoire à un point spécifique dans le temps ou l'espace.

Types de Processus Stochastiques

• Processus Stochastique à Temps Discret : les variables aléatoires sont définies aux points discrets dans le temps.
• Processus Stochastique à Temps Continu : les variables aléatoires sont définies à chaque point dans le temps.

Propriétés des Processus Stochastiques

• Stationnarité : la distribution de probabilité du processus reste la même dans le temps.
• Propriété de Markov : l'état futur du processus dépend uniquement de l'état actuel, et non des états précédents.
• Ergodicité : le processus converge vers une distribution stationnaire dans le temps.

Processus Stochastiques Notables

• Marche Aléatoire : une séquence de pas aléatoires, où chaque pas est déterminé par le hasard.
• Chaîne de Markov : une séquence d'états aléatoires, où chaque état est déterminé par l'état précédent.
• Processus de Poisson : une séquence d'événements aléatoires, où chaque événement se produit à un taux constant.

Théorème de Bayes

Définition

• Le théorème de Bayes est une formule mathématique qui décrit comment mettre à jour la probabilité d'une hypothèse (H) en fonction de nouvelles données (D).

Formule

• P(H|D) = P(D|H) × P(H) / P(D)

Composants

• P(H|D) : probabilité a posteriori (probabilité de l'hypothèse étant données les données)
• P(D|H) : vraisemblance (probabilité des données étant données l'hypothèse)
• P(H) : probabilité a priori (probabilité de l'hypothèse avant de considérer les données)
• P(D) : constante de normalisation (probabilité des données)

Interprétation

• Le théorème de Bayes nous permet de mettre à jour notre croyance dans une hypothèse en fonction de nouvelles preuves.La probabilité a posteriori (P(H|D)) est la probabilité mise à jour de l'hypothèse après avoir considéré les données.

Applications

• Diagnostic médical : mise à jour de la probabilité d'une maladie en fonction d'un résultat de test nouveau
• Apprentissage automatique : mise à jour de la probabilité de classification en fonction de nouvelles données
• Finance : mise à jour de la probabilité de performance d'une action en fonction de nouvelles données du marché

Concepts clés

• Probabilité conditionnelle : probabilité d'un événement étant données que l'autre événement a eu lieu
• Indépendance : deux événements sont indépendants si la probabilité de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre
• Probabilités a priori et a posteriori : probabilité d'une hypothèse avant et après avoir considéré les nouvelles données

Exemples

• Un test médical est 90% efficace pour détecter une maladie.Si 10% de la population a la maladie, quelle est la probabilité qu'une personne ait la maladie étant données un résultat de test positif ?
• Une société a 20% de chances que son action augmente en valeur.Si le prix de l'action augmente de 10% aujourd'hui, quelle est la probabilité mise à jour que l'action augmentera en valeur demain ?