वर्णनात्मक सांख्यिकी का परिचय

वर्णनात्मक सांख्यिकी

• यह एक ऐसा विषय है जो सूचनात्मक तरीके से डेटा को एकत्रित, व्यवस्थित, सारांशित और प्रस्तुत करता है।
• इसका मुख्य उद्देश्य व्यापक आबादी के लिए अनुमान या सामान्यीकरण किए बिना डेटा सेट की मुख्य विशेषताओं का वर्णन करना है।
• यह समझने और व्याख्या को आसान बनाने के लिए तालिकाओं, ग्राफ़ और सारांश उपायों जैसे टूल का उपयोग करके उपलब्ध डेटा का वर्णन करने तक ही सीमित है।

यह किस लिए है?

• डेटा को स्पष्ट और संक्षिप्त रूप में सारांशित और प्रस्तुत करने के लिए उपयोगी है।
• डेटा में पैटर्न और रुझानों की पहचान करने हेतु।
• विभिन्न डेटा सेट की तुलना करने के लिए।
• अनुमानित विश्लेषण के लिए एक आधार प्रदान करने के लिए।

वर्णनात्मक आँकड़ों के प्रकार

• वर्णनात्मक आँकड़ों को दो मुख्य श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है:

केंद्रीय प्रवृत्ति के उपाय

• डेटा सेट के विशिष्ट या केंद्रीय मान को इंगित करता है।
• सबसे आम माध्य (Mean), माध्यिका (Median) और बहुलक (Mode) हैं।

फैलाव के उपाय

• केंद्रीय प्रवृत्ति माप के चारों ओर डेटा की परिवर्तनशीलता या फैलाव को इंगित करता है।
• सबसे आम विचरण (Variance), मानक विचलन (Standard Deviation) और श्रेणी (Range) हैं।

उदाहरण

• एक कक्षा के छात्रों की औसत आयु की गणना करना।
• लोगों के समूह में हर रंग की आँखों की आवृत्ति का निर्धारण करना।
• किसी शहर में आय के वितरण को दर्शाने वाला बार ग्राफ़ बनाना।
• एक टीम के बास्केटबॉल खिलाड़ियों की ऊंचाई के मानक विचलन की गणना करना।

सीमाएं

• यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि वर्णनात्मक आँकड़े केवल उपलब्ध डेटा का वर्णन करते हैं।
• व्यापक आबादी के लिए अनुमान या सामान्यीकरण की अनुमति नहीं है।
• इसके लिए, अनुमानित आँकड़ों का उपयोग करना आवश्यक है।

प्रमुख अवधारणाएँ

आबादी

• एक अध्ययन में रुचि रखने वाले व्यक्तियों, वस्तुओं या घटनाओं का कुल समूह।

नमूना

• आबादी का उपसमुच्चय जिसे विश्लेषण के लिए चुना जाता है।

चर

• एक विशेषता या विशेषता जिसे नमूने में प्रत्येक व्यक्ति या वस्तु में मापा या देखा जाता है।
  • गुणात्मक: गुणों या श्रेणियों का वर्णन (उदाहरण: आंखों का रंग, लिंग)।
  • मात्रात्मक: संख्यात्मक रूप से मापा जाता है (उदाहरण: आयु, ऊंचाई)।
    • असतत: पूर्णांक मान लेते हैं (उदाहरण: बच्चों की संख्या)।
    • निरंतर: एक सीमा के अंदर कोई भी मान ले सकते हैं (उदाहरण: ऊंचाई, वजन)।

आवृत्ति वितरण

• एक तालिका या ग्राफ़ जो डेटा सेट में किसी चर के प्रत्येक मान या श्रेणी की आवृत्ति दिखाता है।

रेखांकन

• डेटा के दृश्य प्रतिनिधित्व जो इसकी समझ और व्याख्या को सुविधाजनक बनाते हैं।
  • बार ग्राफ: एक गुणात्मक चर की प्रत्येक श्रेणी की आवृत्ति दिखाता है।
  • हिस्टोग्राम: एक सतत मात्रात्मक चर के वितरण को दिखाता है।
  • स्कैटर प्लॉट: दो मात्रात्मक चर के बीच संबंध दिखाता है।

सेंट्रल टेंडेंसी के उपाय

मतलब

• डेटा सेट का अंकगणितीय माध्य।
• सभी मानों को जोड़कर और मानों की कुल संख्या से विभाजित करके गणना करें।

माध्यिका

• मान जो छोटे से बड़े क्रम में व्यवस्थित डेटा सेट के केंद्र में स्थित है।
• यदि डेटा की संख्या सम है, तो माध्यिका दो केंद्रीय मानों का औसत है।

फैशन

• मान जो डेटा सेट में सबसे अधिक बार दिखाई देता है।
• डेटा सेट में एक फैशन (एकल), दो फैशन (द्विघात) या दो से अधिक फैशन (बहुविध) हो सकते हैं।

फैलाव के उपाय

रेंज

• डेटा सेट के अधिकतम और न्यूनतम मान के बीच अंतर।

विचरण

• माध्य के चारों ओर डेटा के फैलाव का माप।
• प्रत्येक मान और माध्य के बीच अंतर के वर्गों के औसत के रूप में गणना की जाती है।

मानक विचलन

• विचरण का वर्गमूल।
• फैलाव का एक माप है जिसे विचरण की तुलना में व्याख्या करना आसान है, क्योंकि इसे मूल डेटा के समान इकाइयों में व्यक्त किया जाता है।

व्यावहारिक उदाहरण

डेटा

• 10 छात्रों की निम्नलिखित आयुएँ हैं: 18, 20, 22, 19, 21, 20, 18, 23, 20, 19

गणना

1. माध्य: (18 + 20 + 22 + 19 + 21 + 20 + 18 + 23 + 20 + 19) / 10 = 20
2. माध्यिका: डेटा को व्यवस्थित करें: 18, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 21, 22, 23। माध्यिका दो केंद्रीय मानों का औसत है: (20 + 20) / 2 = 20
3. बहुलक: जो मान सबसे अधिक दोहराया जाता है वह 20 है (3 बार दिखाई देता है)।
4. श्रेणी: 23 - 18 = 5
5. विचरण: $S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{X})^2}{n-1}$ $S^2 = \frac{(18-20)^2 + (20-20)^2 + (22-20)^2 + (19-20)^2 + (21-20)^2 + (20-20)^2 + (18-20)^2 + (23-20)^2 + (20-20)^2 + (19-20)^2}{10-1}$ $S^2 = \frac{4 + 0 + 4 + 1 + 1 + 0 + 4 + 9 + 0 + 1}{9} = 2.67$
6. मानक विचलन: $S = \sqrt{2.67} = 1.63$

व्याख्या

• छात्रों की औसत आयु 20 वर्ष है, औसत के आसपास ±1.63 वर्षों का फैलाव है।
• सबसे अधिक दोहराई जाने वाली आयु 20 वर्ष है।