Valores y vectores propios

VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS

• Un valor propio (λ) de una matriz A satisface la ecuación Ax = λx.
• Un vector propio es un vector x que se asocia con el valor propio λ y satisface la misma ecuación.

TRANSFORMACIONES LINEALES

• La multiplicación de un vector por una matriz transforma el vector original en otro vector.
• La transformación puede incluir escalado y/o rotación.
• Para ciertos vectores, la transformación Ax solo escala el vector, que puede estirarse, comprimirse o invertirse.
• Los vectores propios son aquellos que solo se escalan durante la transformación.

ECUACIÓN CARACTERÍSTICA

• La forma de la ecuación de valores propios es Ax = λx.
• Se transforma en (A − λI)x = 0, donde I es la matriz identidad con las mismas dimensiones que A.
• Si (A − λI) tiene inverso, la solución trivial es x = 0; una solución no trivial ocurre cuando A − λI es singular, es decir, det(A − λI) = 0.
• La ecuación característica conduce a un polinomio para calcular λ.

MÉTODO DE POTENCIA

• Método iterativo utilizado para encontrar el valor propio más grande de una matriz A.
• Matriz A de tamaño n × n tiene n valores propios reales.
• Los valores propios se ordenan como |λ1| > |λ2| ≥ ... ≥ |λn|.
• Se requiere que |λ1| sea mayor que |λ2| para asegurar independencia lineal.

PROCESO ITERATIVO DEL MÉTODO DE POTENCIA

• En la primera iteración, se forma un nuevo vector x1.
• En la segunda iteración, se aplica A a x1 y se reestructura para encontrar la relación Ax1 = λ1x2.

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE POTENCIA

• El valor propio λ1 es el más grande; para un gran número de iteraciones, se puede despreciar λi < 1.
• La normalización se realiza para que el elemento más grande en el vector resultante se convierta en 1.
• Los criterios de parada incluyen: diferencia entre valores propios menor a una tolerancia especificada y un vector residual pequeño.

MÉTODO DE INVERSA POTENCIA

• Los valores propios de la matriz inversa son los recíprocos de los valores propios de A.
• El método de Inversa Potencia busca el valor propio más pequeño utilizando el método de potencia aplicado a A−1.

MÉTODO DE POTENCIA DESPLAZADA

• Se utiliza para encontrar todos los valores propios y vectores propios, desplazando la matriz por el mayor valor propio.
• Aumenta la carga de trabajo y es ineficiente, aunque repitiendo el proceso se pueden encontrar todos los valores propios.

MÉTODO QR

• Método preferido para encontrar valores propios, no encuentra vectores propios simultáneamente.
• La descomposición QR se expresa como Ak = QkRk, donde Ak+1 = RkQk.
• Convergencia a una matriz triangular superior; los valores diagonales son los valores propios de la matriz.

EIGENVALORES Y EIGENVECTORES EN PYTHON

• Los métodos presentados son complejos de ejecutar, pero Python ofrece la función eig en numpy.linalg para resolver problemas de eigenvalores y vectores propios de manera eficiente.

VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS

• Un valor propio (λ) de una matriz A satisface la ecuación Ax = λx.
• Un vector propio es un vector x que se asocia con el valor propio λ y satisface la misma ecuación.

TRANSFORMACIONES LINEALES

• La multiplicación de un vector por una matriz transforma el vector original en otro vector.
• La transformación puede incluir escalado y/o rotación.
• Para ciertos vectores, la transformación Ax solo escala el vector, que puede estirarse, comprimirse o invertirse.
• Los vectores propios son aquellos que solo se escalan durante la transformación.

ECUACIÓN CARACTERÍSTICA

• La forma de la ecuación de valores propios es Ax = λx.
• Se transforma en (A − λI)x = 0, donde I es la matriz identidad con las mismas dimensiones que A.
• Si (A − λI) tiene inverso, la solución trivial es x = 0; una solución no trivial ocurre cuando A − λI es singular, es decir, det(A − λI) = 0.
• La ecuación característica conduce a un polinomio para calcular λ.

MÉTODO DE POTENCIA

• Método iterativo utilizado para encontrar el valor propio más grande de una matriz A.
• Matriz A de tamaño n × n tiene n valores propios reales.
• Los valores propios se ordenan como |λ1| > |λ2| ≥ ... ≥ |λn|.
• Se requiere que |λ1| sea mayor que |λ2| para asegurar independencia lineal.

PROCESO ITERATIVO DEL MÉTODO DE POTENCIA

• En la primera iteración, se forma un nuevo vector x1.
• En la segunda iteración, se aplica A a x1 y se reestructura para encontrar la relación Ax1 = λ1x2.

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE POTENCIA

• El valor propio λ1 es el más grande; para un gran número de iteraciones, se puede despreciar λi < 1.
• La normalización se realiza para que el elemento más grande en el vector resultante se convierta en 1.
• Los criterios de parada incluyen: diferencia entre valores propios menor a una tolerancia especificada y un vector residual pequeño.

MÉTODO DE INVERSA POTENCIA

• Los valores propios de la matriz inversa son los recíprocos de los valores propios de A.
• El método de Inversa Potencia busca el valor propio más pequeño utilizando el método de potencia aplicado a A−1.

MÉTODO DE POTENCIA DESPLAZADA

• Se utiliza para encontrar todos los valores propios y vectores propios, desplazando la matriz por el mayor valor propio.
• Aumenta la carga de trabajo y es ineficiente, aunque repitiendo el proceso se pueden encontrar todos los valores propios.

MÉTODO QR

• Método preferido para encontrar valores propios, no encuentra vectores propios simultáneamente.
• La descomposición QR se expresa como Ak = QkRk, donde Ak+1 = RkQk.
• Convergencia a una matriz triangular superior; los valores diagonales son los valores propios de la matriz.

EIGENVALORES Y EIGENVECTORES EN PYTHON

• Los métodos presentados son complejos de ejecutar, pero Python ofrece la función eig en numpy.linalg para resolver problemas de eigenvalores y vectores propios de manera eficiente.