Unión de Conjuntos en Teoría de Conjuntos
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Unión de Conjuntos en Teoría de Conjuntos

Aprende sobre la unión de conjuntos en teoría de conjuntos, incluyendo la definición y el teorema de la unión de clases.

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@SweetheartSanAntonio

Questions and Answers

¿Cuál es la condición para que un elemento x pertenezca a la unión de A y B?

x ∈ A ∨ x ∈ B

¿Cuál es el resultado de la unión de dos clases A y B?

A ∪ B = {x: x ∈ A ∨ x ∈ B}

¿Qué propiedad se cumple para la unión de dos clases A y B?

A ∪ B = B ∪ A

¿Cuál es la definición de la intersección de dos clases A y B?

<p>A ∩ B = {x: x ∈ A ∧ x ∈ B}</p> Signup and view all the answers

¿Qué tipo de conjuntos son A y B si no tienen elementos en común?

<p>Conjuntos disjuntos</p> Signup and view all the answers

¿Qué propiedad se cumple para la intersección de dos clases A y B?

<p>A ∩ B = B ∩ A</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la relación entre las clases A y B si A es subclase de B?

<p>Todo elemento que pertenece a A también pertenece a B</p> Signup and view all the answers

¿Cuál de las siguientes propiedades se cumple para la relación de subclase?

<p>Es transitiva</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es el nombre de la clase que se obtiene mediante el axioma de construcción de clases?

<p>Clase de todos los conjuntos x tales que 𝒜(x) es verdadera</p> Signup and view all the answers

¿Qué proposición se utiliza para definir la clase universal?

<p>x = x</p> Signup and view all the answers

¿Qué relación se cumple entre las clases A y B si 𝐴 ⊆ 𝐵 y 𝐵 ⊆ 𝐴?

<p>A = B</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es el nombre de la clase que contiene todos los conjuntos x tales que 𝑥 = 𝑥?

<p>Clase universal</p> Signup and view all the answers

¿Qué propiedad se cumple para la clase vacía?

<p>La clase vacía no tiene elementos</p> Signup and view all the answers

¿Qué relación existe entre la clase vacía y cualquier clase?

<p>La clase vacía es una subclase de cualquier clase</p> Signup and view all the answers

¿Qué condición debe cumplir un conjunto x para pertenecer a la clase vacía?

<p>𝑥 ≠ 𝑥</p> Signup and view all the answers

¿Qué axioma se utiliza para asegurar la existencia de la clase vacía?

<p>Axioma de construcción de clases</p> Signup and view all the answers

Study Notes

Unión de Conjuntos

  • La unión de dos conjuntos A y B se representa como 𝐴 ∪ 𝐵 y se define como la clase de todos los elementos que pertenecen a A o a B.
  • 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵
  • Teorema: 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵 y 𝐵 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵
  • Teorema: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 (propiedad conmutativa)

Intersección de Conjuntos

  • La intersección de dos conjuntos A y B se representa como 𝐴 ∩ 𝐵 y se define como la clase de todos los elementos que pertenecen a A y a B.
  • 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
  • Teorema: 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐴 y 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐵
  • Teorema: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 (propiedad conmutativa)

Conjuntos Disjuntos

  • Dos conjuntos se conocen como disjuntos si no tienen elementos en común.

Diferencia de Conjuntos

  • La diferencia entre dos conjuntos A y B se representa como 𝐴 − 𝐵 y se define como la clase de todos los elementos que pertenecen a A pero no a B.
  • 𝐴 − 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}

Complemento de un Conjunto

  • El complemento de un conjunto A se representa como 𝐴′ y se define como la clase de todos los elementos que no pertenecen a A.
  • 𝐴 ′ = {𝑥: 𝑥 ∉ 𝐴}
  • Teorema: (𝐴 ′ ) ′ = 𝐴 (doble complemento)

Subclase y Propiedades

  • Una clase A es subclase de B si ∀x ∈ A, x ∈ B, se representa como A ⊆ B.
  • A ⊆ B significa que todo conjunto que pertenece a A, también pertenece a B.

Propiedades de Subclase

  • Reflexiva: A ⊆ A.
  • Transitiva: si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.
  • Antisimétrica: si A ⊆ B y B ⊆ A, entonces A = B.
  • A = B si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A.

Axioma de Construcción de Clases

  • Si ℜ(x) es una proposición en la que aparece x, existe una clase C tal que x ∈ C ⇔ ℜ(x) es verdadera para todo conjunto x.
  • La clase C se representa como {x: ℜ(x)}.

Clases Relevantes

Clase Universal

  • La clase universal, 𝒰, es la clase de todos los conjuntos x tales que x = x.
  • 𝒰 = {x: x = x}.
  • Todo conjunto pertenece a la clase universal 𝒰.

Clase Vacía

  • La clase vacía, ∅, es la clase de todos los conjuntos x tales que x ≠ x.
  • ∅ = {x: x ≠ x}.
  • La clase vacía no tiene elementos.
  • La clase vacía es subclase de toda clase, ∅ ⊆ A.

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