Unión de Conjuntos en Teoría de Conjuntos

Unión de Conjuntos

• La unión de dos conjuntos A y B se representa como 𝐴 ∪ 𝐵 y se define como la clase de todos los elementos que pertenecen a A o a B.
• 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵
• Teorema: 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵 y 𝐵 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵
• Teorema: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 (propiedad conmutativa)

Intersección de Conjuntos

• La intersección de dos conjuntos A y B se representa como 𝐴 ∩ 𝐵 y se define como la clase de todos los elementos que pertenecen a A y a B.
• 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
• Teorema: 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐴 y 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐵
• Teorema: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 (propiedad conmutativa)

Conjuntos Disjuntos

• Dos conjuntos se conocen como disjuntos si no tienen elementos en común.

Diferencia de Conjuntos

• La diferencia entre dos conjuntos A y B se representa como 𝐴 − 𝐵 y se define como la clase de todos los elementos que pertenecen a A pero no a B.
• 𝐴 − 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}

Complemento de un Conjunto

• El complemento de un conjunto A se representa como 𝐴′ y se define como la clase de todos los elementos que no pertenecen a A.
• 𝐴 ′ = {𝑥: 𝑥 ∉ 𝐴}
• Teorema: (𝐴 ′ ) ′ = 𝐴 (doble complemento)

Subclase y Propiedades

• Una clase A es subclase de B si ∀x ∈ A, x ∈ B, se representa como A ⊆ B.
• A ⊆ B significa que todo conjunto que pertenece a A, también pertenece a B.

Propiedades de Subclase

• Reflexiva: A ⊆ A.
• Transitiva: si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.
• Antisimétrica: si A ⊆ B y B ⊆ A, entonces A = B.
• A = B si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A.

Axioma de Construcción de Clases

• Si ℜ(x) es una proposición en la que aparece x, existe una clase C tal que x ∈ C ⇔ ℜ(x) es verdadera para todo conjunto x.
• La clase C se representa como {x: ℜ(x)}.

Clases Relevantes

Clase Universal

• La clase universal, 𝒰, es la clase de todos los conjuntos x tales que x = x.
• 𝒰 = {x: x = x}.
• Todo conjunto pertenece a la clase universal 𝒰.

Clase Vacía

• La clase vacía, ∅, es la clase de todos los conjuntos x tales que x ≠ x.
• ∅ = {x: x ≠ x}.
• La clase vacía no tiene elementos.
• La clase vacía es subclase de toda clase, ∅ ⊆ A.