Unión de Conjuntos en Teoría de Conjuntos

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¿Cuál es la condición para que un elemento x pertenezca a la unión de A y B?

x ∈ A ∨ x ∈ B

¿Cuál es el resultado de la unión de dos clases A y B?

A ∪ B = {x: x ∈ A ∨ x ∈ B}

¿Qué propiedad se cumple para la unión de dos clases A y B?

A ∪ B = B ∪ A

¿Cuál es la definición de la intersección de dos clases A y B?

A ∩ B = {x: x ∈ A ∧ x ∈ B}

¿Qué tipo de conjuntos son A y B si no tienen elementos en común?

Conjuntos disjuntos

¿Qué propiedad se cumple para la intersección de dos clases A y B?

A ∩ B = B ∩ A

¿Cuál es la relación entre las clases A y B si A es subclase de B?

Todo elemento que pertenece a A también pertenece a B

¿Cuál de las siguientes propiedades se cumple para la relación de subclase?

Es transitiva

¿Cuál es el nombre de la clase que se obtiene mediante el axioma de construcción de clases?

Clase de todos los conjuntos x tales que 𝒜(x) es verdadera

¿Qué proposición se utiliza para definir la clase universal?

x = x

¿Qué relación se cumple entre las clases A y B si 𝐴 ⊆ 𝐵 y 𝐵 ⊆ 𝐴?

A = B

¿Cuál es el nombre de la clase que contiene todos los conjuntos x tales que 𝑥 = 𝑥?

Clase universal

¿Qué propiedad se cumple para la clase vacía?

La clase vacía no tiene elementos

¿Qué relación existe entre la clase vacía y cualquier clase?

La clase vacía es una subclase de cualquier clase

¿Qué condición debe cumplir un conjunto x para pertenecer a la clase vacía?

𝑥 ≠ 𝑥

¿Qué axioma se utiliza para asegurar la existencia de la clase vacía?

Axioma de construcción de clases

Study Notes

Unión de Conjuntos

  • La unión de dos conjuntos A y B se representa como 𝐴 ∪ 𝐵 y se define como la clase de todos los elementos que pertenecen a A o a B.
  • 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵
  • Teorema: 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵 y 𝐵 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵
  • Teorema: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 (propiedad conmutativa)

Intersección de Conjuntos

  • La intersección de dos conjuntos A y B se representa como 𝐴 ∩ 𝐵 y se define como la clase de todos los elementos que pertenecen a A y a B.
  • 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
  • Teorema: 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐴 y 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐵
  • Teorema: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 (propiedad conmutativa)

Conjuntos Disjuntos

  • Dos conjuntos se conocen como disjuntos si no tienen elementos en común.

Diferencia de Conjuntos

  • La diferencia entre dos conjuntos A y B se representa como 𝐴 − 𝐵 y se define como la clase de todos los elementos que pertenecen a A pero no a B.
  • 𝐴 − 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}

Complemento de un Conjunto

  • El complemento de un conjunto A se representa como 𝐴′ y se define como la clase de todos los elementos que no pertenecen a A.
  • 𝐴 ′ = {𝑥: 𝑥 ∉ 𝐴}
  • Teorema: (𝐴 ′ ) ′ = 𝐴 (doble complemento)

Subclase y Propiedades

  • Una clase A es subclase de B si ∀x ∈ A, x ∈ B, se representa como A ⊆ B.
  • A ⊆ B significa que todo conjunto que pertenece a A, también pertenece a B.

Propiedades de Subclase

  • Reflexiva: A ⊆ A.
  • Transitiva: si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.
  • Antisimétrica: si A ⊆ B y B ⊆ A, entonces A = B.
  • A = B si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A.

Axioma de Construcción de Clases

  • Si ℜ(x) es una proposición en la que aparece x, existe una clase C tal que x ∈ C ⇔ ℜ(x) es verdadera para todo conjunto x.
  • La clase C se representa como {x: ℜ(x)}.

Clases Relevantes

Clase Universal

  • La clase universal, 𝒰, es la clase de todos los conjuntos x tales que x = x.
  • 𝒰 = {x: x = x}.
  • Todo conjunto pertenece a la clase universal 𝒰.

Clase Vacía

  • La clase vacía, ∅, es la clase de todos los conjuntos x tales que x ≠ x.
  • ∅ = {x: x ≠ x}.
  • La clase vacía no tiene elementos.
  • La clase vacía es subclase de toda clase, ∅ ⊆ A.

Aprende sobre la unión de conjuntos en teoría de conjuntos, incluyendo la definición y el teorema de la unión de clases.

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