Ukuran Dispersi dalam Statistik

Menjelaskan Data: Pengukuran Dispersi

• Pengukuran dispersi penting untuk memahami sebaran data, bukan hanya nilai tengahnya.
• Dispersi dapat digunakan untuk membandingkan sebaran pada dua distribusi data atau lebih.

Pengukuran Dispersi yang Dibahas

• Rentang (Range)
• Deviasi Rata-rata (Mean Deviation)
• Varians dan Standar Deviasi
• Koefisien Variasi
• Kemencengan (Skewness)
• Kurtosis (Peakedness)
• Kuartil, Desil, dan Persentil

Rentang (Range)

• Rentang adalah selisih antara nilai terbesar dan terkecil dalam dataset.
• Rumus rentang adalah: Rentang = H - L (H adalah nilai tertinggi, L adalah nilai terendah).
• Perhitungan rentang hanya menggunakan dua nilai.
• Nilai ekstrim sangat mempengaruhi rentang.
• Rentang mudah dihitung dan dipahami.

Deviasi Rata-rata (Mean Deviation)

• Deviasi Rata-rata adalah nilai rata-rata aritmatik dari nilai absolut deviasi terhadap nilai rata-rata aritmatik.
• Semua nilai digunakan dalam perhitungan deviasi rata-rata.
• Deviasi rata-rata tidak terlalu dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrem.
• Nilai absolut sulit untuk dimanipulasi.
• Rumus untuk Mean Deviation: MD = Σ|X-X̄| / n
• Mean Deviation juga disebut Mean Absolute Deviation (MAD).

Varians

• Varians adalah rata-rata aritmatik/hitung dari kuadrat deviasi rata-rata.
• Standar Deviasi adalah akar kuadrat dari varians.
• Varians populasi adalah rata-rata aritmetik/hitung dari kuadrat deviasi terhadap rata-rata populasi.
• Semua nilai digunakan dalam perhitungan varians populasi.
• Nilai-nilai ekstrim lebih cenderung memengaruhi varians daripada deviasi rata-rata.

Rumus Varians

• Rumus varians populasi adalah σ² = Σ(X - μ)² / N
• Rumus varians sampel adalah s² = Σ(X - X̄)² / (n - 1)
• Jumlah deviasi dibagi oleh (n-1) bukan n dalam rumus varians sampel.
• Pembagian dengan (n-1) menghasilkan estimator yang tidak bias terhadap varians populasi.

Varians untuk Data yang Dikelompokkan dan Tidak Dikelompokkan

• Varians memiliki rumus yang berbeda untuk data yang dikelompokkan (grouped data) dan data yang tidak dikelompokkan (ungrouped data).
• Rumus untuk varians sampel dan populasi juga berbeda.

Contoh Soal Varians dan Standar Deviasi

• Usia anggota keluarga digunakan sebagai contoh untuk menghitung varians populasi.
• Data upah per jam digunakan sebagai contoh untuk menghitung varians sampel.

Interpretasi Standar Deviasi: Teorema Chebyshev

• Untuk setiap kelompok pengamatan (sampel maupun populasi), proporsi minimum nilai yang terletak dalam standar deviasi rata-rata 'k' sekurang-kurangnya adalah 1 - 1/k².
• Nilai k² adalah konstanta yang lebih besar dari 1.

Interpretasi Standar Deviasi: Aturan Empiris

• Untuk distribusi yang simetris dan berbentuk lonceng:
  • Sekitar 68% observasi berada dalam plus atau minus 1 standar deviasi dari rata-rata.
  • Sekitar 95% observasi berada dalam plus atau minus 2 standar deviasi dari rata-rata.
  • Hampir semua observasi berada dalam plus dan minus 3 standar deviasi dari rata-rata.

Kegunaan Dispersi

• Dispersi digunakan sebagai salah satu ukuran risiko.
• Dispersi penting dalam keputusan investasi, selain informasi rata-rata expected return.

Koefisien Variasi

• Koefisien Variasi adalah rasio dari standar deviasi terhadap rata-rata aritmatik, dinyatakan dalam persentase.
• Rumus: CV = (s / X̄) * 100%
• CV adalah singkatan dari Coefficient of Variation.
• Kegunaan: membandingkan dua atau lebih distribusi.
• Distribusi dengan satuan/unit yang berbeda dapat dibandingkan.
• Perbandingan juga berguna jika data memiliki satuan yang sama, tetapi memiliki rata-rata yang sangat jauh berbeda.

Skewness (Kemencengan/Asimetris)

• Skewness mengukur kurangnya simetri pada distribusi.
• Koefisien skewness berkisar dari -3,00 (asimetris negatif) sampai 3,00 (asimetris positif).
• Nilai 0 menunjukkan distribusi yang simetris.

Jenis-Jenis Skewness

• Simetris: Sk = 0
• Positif: Sk = +
• Negatif: Sk = -

Range Nilai Skewness

• Croxton & Cowden -> -3 ≤ Sk ≤ 3

Rumus Skewness

• Modifikasi Pearson: sk = 3(X̄ - median) / S

Kurtosis (Peakedness)

• Kurtosis mengukur ketinggian distribusi frekuensi.
• Jenis Kurtosis:
  • Platykurtic: relatif datar dan menyebar.
  • Mesokurtic: normal.
  • Leptokurtic: tinggi dan tipis.

Tingkat Kurtosis

• α4 = 3 → normal/mesokurtic
• α4 > 3 → leptokurtic
• α4 < 3 → platykurtic

Kuartil, Desil, dan Persentil

• Fraktil: nilai data yang membagi seperangkat data yang terurut menjadi beberapa bagian yang sama.
• Kuartil: membagi sekelompok observasi/pengamatan yang sudah diurutkan dari kecil ke besar menjadi 4 bagian yang sama. (Q1: 25%, Q2: 50%, Q3: 75%)
• Desil: membagi sekelompok observasi/pengamatan yang sudah diurutkan dari kecil ke besar menjadi 10 bagian yang sama.
• Persentil: membagi sekelompok observasi/pengamatan yang sudah diurutkan dari kecil ke besar menjadi 100 bagian yang sama.

Rumus Lokasi Persentil

• Lp = (n+1) * P / 100
• Lp: Lokasi persentil yang dicari
• n: jumlah pengamatan
• P: Persentil yang dicari

Data yang Dikelompokkan

• Untuk data yang dikelompokkan:
  • Susun Distribusi Frekuensi Kumulatif
  • Tentukan Lokasi Persentil: Lp = n. P / 100

Rumus Menentukan Persentil Data yang Dikelompokkan

• Persentil: P = L + (n. P/100 - CF) / fp * i
• Pi = Persentil ke-i
• L = Batas bawah kelas persentil
• n = Jumlah frekuensi
• CF = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Persentil
• f = Frekuensi kelas persentil
• i = Interval kelas

Jangkauan (Rentang) Interkuartil

• Rentang interkuartil: jarak antara kuartil ketiga (Q3) dan kuartil pertama (Q1).
• Rentang ini mencakup nilai tengah 50 persen dari pengamatan.
• Rumus: Rentang Interkuartil = Q3 - Q1

Outlier

• Outlier: nilai yang tidak konsisten dengan keseluruhan data.
• Yakni data yang lebih besar dari 1,5 jangkauan interkuartil (Q3-Q1) dan lebih kecil dari Q1 atau lebih besar dari Q3.
• Outlier Kecil: x < Q1 – 1.5 (Q3-Q1)
• Outlier Besar: x > Q3 + 1.5 (Q3-Q1)

Box Plot

• Box plot : tampilan grafis, didasarkan pada kuartil.
• Berguna untuk menggambarkan set data.
• Data Yang diperlukan Untuk Menyusun Sebuah Box Plot:
  • Nilai Minimum
  • Kuartil Pertama
  • Median
  • Kuartil Ketiga
  • Nilai Maksimum