Türev Dersi

Türev

• Türev, bir fonksiyonun değişim hızını ölçen bir kavramdır. Bir fonksiyonun x noktasındaki türevi, x noktasında fonksiyonun grafiğinin eğimine eşittir.
• Türev, limit kavramına dayanır. Bir fonksiyonun x noktasındaki türevi, x noktasındaki limit olarak tanımlanır.
• Farklılaştırabildiğimiz fonksiyonlar analitik fonksiyonlardır.
• Türevin notasyonu: f'(x), df/dx veya dy/dx
• Sabit fonksiyonun türevi sıfırdır. (örn: c'nin türevi 0'dır)
• xⁿ tipindeki bir kuvvet fonksiyonunun türevi n*x^n-1'dir. (örn: x³ fonksiyonunun türevi 3x²'dir)
• Toplam/Fark kuralı: (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)
• Çarpım kuralı: (f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
• Bölme kuralı: (f(x) / g(x))' = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] / [g(x)]²
• Zincir kuralı: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)
• Trigonometrik fonksiyonların türevleri:
  • sin(x)' = cos(x)
  • cos(x)' = -sin(x)
  • tan(x)' = sec²(x)
  • cot(x)' = -csc²(x)
  • sec(x)' = sec(x) * tan(x)
  • csc(x)' = -csc(x) * cot(x)
• Üstel fonksiyonların türevi: e^x' = e^x
• Logaritmik fonksiyonların türevi: ln(x)' = 1/x

Integral

• Integral, bir fonksiyonun alanını bulmak için kullanılan bir işlemdir. Belirli bir aralıktaki bir fonksiyonun integrali, fonksiyonun grafiği ile x-ekseni arasında kalan alana eşittir.
• Belirsiz integral, bir fonksiyonun türevinin tersi olan fonksiyondur.
• Belirli integral, belirli bir aralıktaki fonksiyonun integrali anlamına gelir.
• Integral notasyonları: ∫ f(x) dx, ∫_a^b f(x) dx
• Sabit katsayıların integrali: ∫ c dx = cx + C
• Kuvvet fonksiyonlarının integrali: ∫ xⁿ dx = (xⁿ⁺¹) / (n+1) + C (n ≠ -1)
• Toplam/Fark kuralı: ∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
• Çarpım kuralı ve bölme kuralı integraller için doğrudan geçerli değildir.
• Trigonometrik fonksiyonların integralleri:
  • ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
  • ∫ cos(x) dx = sin(x) + C
• Üstel fonksiyonların integrali: ∫ e^x dx = e^x + C
• Logaritmik fonksiyonların integrali: ∫ 1/x dx = ln|x| + C
• Uygulamalar:
  • Alan Hesabı
  • Hacim Hesabı
  • Ortalama Değer Bulma
  • İstatistikler

Türev ve Integral Kuralları

• Türev ve integral, birbirlerinin ters işlemleridir.
• Türev, değişim hızını ölçerken, integral, toplamı/birikimi ifade eder.
• Türev kuralları; sabit katsayı, kuvvet fonksiyonları, toplam/fark, çarpım, bölme, zincir kuralı gibi özel kuralları kapsar.
• Integral kuralları; sabit katsayı, kuvvet fonksiyonları, toplam/fark gibi özel kuralları kapsar.
• Türev ve integral kurallarının anlaşılarak uygulanması, çok çeşitli matematiksel problemlerin çözümünde önemli rol oynar.
• Uygulamalar arasında fizik, mühendislik, ekonomi ve diğer bilim dalları bulunur.