طرق حل المعادلات من الدرجة الثانية

طرق حل المعادلات من الدرجة الثانية

• المعادلة من الدرجة الثانية هي معادلة جبرية من الشكل ax² + bx + c = 0، حيث a، b، و c هي ثوابت حقيقية، و a ≠ 0.
• توجد عدة طرق لحل المعادلات من الدرجة الثانية، وتختلف الطريقة الأنسب حسب خصائص المعادلة.

طريقة التحليل

• إذا كانت المعادلة قابلة للتحليل، يمكن حلها بسهولة من خلال تحليلها إلى عوامل.
• مثال: x² + 5x + 6 = 0
• نحلل العبارة إلى عوامل: (x + 2)(x + 3) = 0
• الآن نحل المعادلة:
  • x + 2 = 0 ، وبالتالي x = -2
  • x + 3 = 0 ، وبالتالي x = -3
• هذه الطريقة مفيدة فقط للمعادلات القابلة للتحليل.

طريقة الإكمال التام للتربيع

• هذه الطريقة تُستخدم لحل أي معادلة من الدرجة الثانية.
• نقوم بترتيب المعادلة لتصبح ax² + bx = -c
• نقسم المعادلة على a
• نضيف (b/2a)² إلى كلا طرفي المعادلة لإكمال التربيع.
• نضع الجانب الأيسر من المعادلة في صورة مربع كامل.
• ثم نحل المعادلة باستخدام الجذر التربيعي.
• مثال: x² + 6x - 7 = 0
  • نحرك الحد الثابت إلى الطرف الأيمن: x² + 6x = 7
  • نقسم المعادلة على 1 (ليس ضروريا هنا)
  • نضيف (6/2)² = 9 إلى كلا الطرفين: x² + 6x + 9 = 7 + 9
  • نحول الجانب الأيسر إلى مربع كامل: (x + 3)² = 16
  • نجذّر كلا الطرفين: x + 3 = ±4
  • نحصل على حلّين: x = 1 ، أو x = -7

طريقة الصيغة التربيعية (القانون العام)

• هذه الطريقة هي الأسلوب الأكثر شيوعاً لحل أي معادلة من الدرجة الثانية.
• الصيغة التربيعية هي: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
• نحصل على قيمتي x من خلال البديل بالقيم a، b، و c من المعادلة.
• من خلال استخدام هذه الطريقة، لا نحتاج إلى تحليل المعادلة.
• تُهمل هذه الصيغة حالة عدم وجود حلول حقيقية، حيث يتم التعامل معها باستخدام الجذر التربيعي للعدد السالب.

حالة وجود حل وحيد

• إذا كان المميز (b² - 4ac) يساوي صفرًا، فهناك حل وحيد للمعادلة.

حالة عدم وجود حلول حقيقية

• إذا كان المميز (b² - 4ac) أقل من صفر، فهذا يعني أنه لا يوجد حلول حقيقية للمعادلة.

ملاحظات هامة:

• يُعرّف المميز (Δ) بـ (b² - 4ac).
• يُستخدم المميز لتحديد طبيعة جذور المعادلة:
  • إذا كان Δ > 0، فهناك حلان حقيقيان مختلفان.
  • إذا كان Δ = 0، فهناك حل واحد حقيقي (جذر مكرر).
  • إذا كان Δ < 0، فهناك حلين مركّبان غير حقيقيين.