Триъгълници: видове и свойства

• Геометрията е дял от математиката, който изучава форми, размери, относителни позиции на фигури и свойства на пространството

Триъгълници

• Триъгълникът е основна геометрична фигура, многоъгълник с три страни и три ъгъла.
• Сумата от ъглите във всеки триъгълник е винаги 180 градуса.

Видове триъгълници според дължината на страните

• Равностранен: Има три страни с еднаква дължина и всички ъгли са 60 градуса.
• Равнобедрен: Има две страни с еднаква дължина, а ъглите срещу тях са равни.
• Разностранен: Има три страни с различна дължина и всички ъгли са различни.

Видове триъгълници според големината на ъглите

• Правоъгълен: Един от ъглите е прав (90 градуса).
  • Страната срещу правия ъгъл е хипотенуза, а другите две страни са катети.
• Остроъгълен: Всичките три ъгъла са остри (по-малки от 90 градуса).
• Тъпоъгълен: Един от ъглите е тъп (по-голям от 90 градуса).

Основни линии в триъгълника

• Височина: Перпендикулярна отсечка от връх към срещуположната страна (или нейното продължение).
  • Триъгълникът има три височини.
• Медиана: Отсечка от връх до средата на срещуположната страна.
  • Триъгълникът има три медиани, които се пресичат в медицентър.
• Ъглополовяща: Отсечка, която разделя ъгъла на две равни части и стига до срещуположната страна.
  • Триъгълникът има три ъглополовящи, които се пресичат в център на вписаната окръжност.
• Симетрала: Права, перпендикулярна на страна и минаваща през нейната среда.
  • Трите симетрали на страните се пресичат в център на описаната окръжност.

Лице на триъгълник

• Лицето на триъгълник може да се изчисли по няколко начина:
  • Чрез основа и височина: S = (1/2) * b * h, където b е основата, а h е височината към нея.
  • Херонова формула: S = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)), където a, b, c са страните, а s е полупериметърът (s = (a + b + c) / 2).
  • Чрез две страни и ъгъл между тях: S = (1/2) * a * b * sin(C), където a и b са две страни, а C е ъгълът между тях.

Питагорова теорема

• Важи само за правоъгълни триъгълници.
• a^2 + b^2 = c^2, където a и b са катетите, а c е хипотенузата.

Синусова теорема

• a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), където a, b, c са страните, а A, B, C са ъглите срещу тях.

Косинусова теорема

• c^2 = a^2 + b^2 - 2 * a * b * cos(C), където a, b, c са страните, а C е ъгълът срещу страна c.
• Може да се използва за намиране на страна или ъгъл, ако са известни другите две страни и ъгълът между тях, или трите страни.

Свойства на триъгълниците

• Във всеки триъгълник срещу по-голяма страна лежи по-голям ъгъл и обратно.
• Сумата от дължините на кои да е две страни на триъгълник е винаги по-голяма от дължината на третата страна (неравенство на триъгълника).
• Външен ъгъл на триъгълника е равен на сумата от двата вътрешни несъседни ъгъла.

Подобни триъгълници

• Два триъгълника са подобни, ако съответните им ъгли са равни и съответните страни са пропорционални.
• Признаци за подобие на триъгълници:
  • Първи признак (ъгъл-ъгъл): Ако два ъгъла от единия триъгълник са съответно равни на два ъгъла от другия триъгълник, то триъгълниците са подобни.
  • Втори признак (страна-ъгъл-страна): Ако две страни от единия триъгълник са пропорционални на две страни от другия триъгълник и ъглите, заключени между тези страни, са равни, то триъгълниците са подобни.
  • Трети признак (страна-страна-страна): Ако трите страни на единия триъгълник са пропорционални на трите страни на другия триъгълник, то триъгълниците са подобни.
• Отношението на лицата на два подобни триъгълника е равно на квадрата на коефициента на подобие.

Съседни триъгълници

• Два триъгълника са съседни, ако имат обща страна.