Тригонометриялық теңдеулер және косинус теоремасы

Study Notes

Тригонометриялық теңдеулер – бұл тригонометриялық функциялардың (sin, cos, tan) аргументтері бар теңдеулер.
Негізгі әдістер:
- Графикалық әдіс: Функциялардың графиктерін сызу және қиылысу нүктелерін анықтау.
- Алгебралық әдіс: Теңдеуді белгілі бір стандартты түрге келтіру.
- Тиімді формулалар: Теңдеуді жеңілдету үшін формулаларды (мысалы, қосу мен айырма формулаларын) қолдану.
Негізгі шешімдер:
- sin(x) = a шешімі: ( x = \arcsin(a) + 2k\pi ) немесе ( x = \pi - \arcsin(a) + 2k\pi )
- cos(x) = a шешімі: ( x = \arccos(a) + 2k\pi ) немесе ( x = -\arccos(a) + 2k\pi )
- tan(x) = a шешімі: ( x = \arctan(a) + k\pi )

Косинус теоремасы: ( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) )
- Мұндағы ( c ) – қарсы жатқан қабырға, ( a ) және ( b ) – қалған қабырғалар, ( C ) – ( c ) қабырғасының қарсы бұрышы.
Мақсаты: Үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштары арасындағы байланысты анықтау.
Қолданылуы:
- Үшбұрыш қабатында қабырғаларды табу.
- Үшбұрыштың бұрышын есептеу.

Синус теоремасы: ( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} )
- Мұндағы ( a, b, c ) – қабырғалар, ( A, B, C ) – қарсы бұрыштар.
Мақсаты: Үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштары арасындағы қатынасты көрсету.
Қолданылуы:
- Үшбұрыштың қабырғаларын не бұрыштарын табу.
- Кез келген үшбұрышты шешу үшін кеңінен қолданылады, әсіресе өткір және ақылсыз үшбұрыштарда.

Тригонометриялық теңдеулер – тригонометриялық функциялардың (sin, cos, tan) аргументтері бар теңдеулер.
Графикалық әдіс – функциялардың графиктерін сызу, қиылысу нүктелерін анықтау үшін пайдаланылады.
Алгебралық әдіс – теңдеуді стандартты түрге келтіру арқылы шешіледі.
Тиімді формулалар – тиімділік үшін қосу мен айырма формулалары сияқты формулаларды қолдану.
sin(x) = a теңдеуінің шешімдері:
- ( x = \arcsin(a) + 2k\pi )
- ( x = \pi - \arcsin(a) + 2k\pi )
cos(x) = a теңдеуінің шешімдері:
- ( x = \arccos(a) + 2k\pi )
- ( x = -\arccos(a) + 2k\pi )
tan(x) = a теңдеуінің шешімі:
- ( x = \arctan(a) + k\pi )

Косинус теоремасы формуласы: ( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) )
- Мұндағы ( c ) – қарсы жатқан қабырға, ( a ), ( b ) – басқа қабырғалар, ( C ) – ( c ) қабырғасының қарсы бұрышы.
Теореманың мақсаты – үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштары арасындағы байланысты анықтау.
Косинус теоремасы үшбұрыш қабатында қабырғаларды табуға және үшбұрыштың бұрышын есептеуге қолданылады.

Синус теоремасының формуласы: ( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} )
- Мұндағы ( a, b, c ) – қабырғалар, ( A, B, C ) – қарсы бұрыштар.
Теореманың мақсаты – үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштары арасындағы қатынасты көрсету.
Синус теоремасы кез келген үшбұрыштың қабырғаларын не бұрыштарын табуда кеңінен қолданылады, әсіресе өткір және ақылсыз үшбұрыштарда.