Transformada de Fourier: Introducción y Definición

• La transformada de Fourier es una herramienta matemática que descompone una función en las frecuencias que la componen.
• Se utiliza ampliamente en física, ingeniería, procesamiento de señales y otras áreas.
• Convierte una función del dominio del tiempo o del espacio al dominio de la frecuencia.

Definición

• Para una función integrable f(t), la transformada de Fourier, denotada por F(ω), se define como: F(ω) = ∫₋∞⁺∞ f(t) e^(-jωt) dt
  • f(t) es la función en el dominio del tiempo.
  • ω es la frecuencia angular (ω = 2πf, donde f es la frecuencia en Hz).
  • j es la unidad imaginaria (√-1).
  • e^(-jωt) es el núcleo de la transformada de Fourier.

Transformada Inversa de Fourier

• Permite recuperar la función original f(t) a partir de su transformada F(ω).
• Se define como: f(t) = (1 / 2π) ∫₋∞⁺∞ F(ω) e^(jωt) dω

Propiedades de la Transformada de Fourier

• Linealidad: La transformada de una combinación lineal de funciones es la misma combinación lineal de sus transformadas. Si F{f(t)} = F(ω) y F{g(t)} = G(ω), entonces F{af(t) + bg(t)} = aF(ω) + bG(ω) donde a y b son constantes.
• Simetría: Si F{f(t)} = F(ω), entonces F{F(t)} = 2πf(-ω).
• Escalamiento: Si F{f(t)} = F(ω), entonces F{f(at)} = (1 / |a|) F(ω/a).
• Desplazamiento en el Tiempo: Un desplazamiento en el tiempo de la función original corresponde a una multiplicación por una fase lineal en el dominio de la frecuencia. Si F{f(t)} = F(ω), entonces F{f(t - t₀)} = e^(-jωt₀) F(ω).
• Desplazamiento en Frecuencia: Si F{f(t)} = F(ω), entonces F{e^(jω₀t) f(t)} = F(ω - ω₀).
• Derivación en el Tiempo: La transformada de la derivada de una función se relaciona con la multiplicación por jω en el dominio de la frecuencia. Si F{f(t)} = F(ω), entonces F{df(t)/dt} = jωF(ω).
• Integración: F{∫₋∞ᵗ f(τ) dτ} = (1 / jω) F(ω) + πF(0)δ(ω), donde δ(ω) es la función delta de Dirac.
• Convolución: La transformada de la convolución de dos funciones es el producto de sus transformadas. Si F{f(t)} = F(ω) y F{g(t)} = G(ω), entonces F{f(t) * g(t)} = F(ω)G(ω), donde * denota la convolución.
• Multiplicación: La transformada del producto de dos funciones es la convolución de sus transformadas (escalada por 1/2π).

Transformada de Fourier de Funciones Comunes

• Función Delta de Dirac: F{δ(t)} = 1
• Función Constante: F{1} = 2πδ(ω)
• Función Signo: F{sgn(t)} = 2 / (jω)
• Función Escalón Unitario: F{u(t)} = πδ(ω) + 1 / (jω)
• Función Exponencial: F{e^(-at)u(t)} = 1 / (a + jω) para a > 0
• Función Gaussiana: F{e^(-at²)} = √(π/a) e^(-ω² / 4a)

Aplicaciones

• Procesamiento de Señales: Análisis de frecuencia de señales de audio, imágenes y video. Diseño de filtros para eliminar ruido o extraer información específica de una señal.
• Análisis de Circuitos: Solución de circuitos lineales invariantes en el tiempo (LTI) en el dominio de la frecuencia.
• Óptica: Estudio de la difracción y la interferencia de la luz.
• Mecánica Cuántica: Representación de funciones de onda en el espacio de momentos.
• Resonancia Magnética (RM): Reconstrucción de imágenes a partir de datos de frecuencia.
• Criptografía: Algunas técnicas criptográficas utilizan transformadas de Fourier en campos finitos.

Limitaciones

• La Transformada de Fourier es más adecuada para señales estacionarias (cuyas propiedades estadísticas no cambian con el tiempo).
• Para señales no estacionarias, otras técnicas como la Transformada de Wavelet o la Transformada de Fourier de Tiempo Corto (STFT) pueden ser más apropiadas.
• Para funciones que no son absolutamente integrables, la Transformada de Fourier puede no existir en el sentido clásico.

Relación con la Serie de Fourier

• La Serie de Fourier se aplica a funciones periódicas, descomponiéndolas en una suma ponderada de senos y cosenos (o exponenciales complejas).
• La Transformada de Fourier es una generalización de la Serie de Fourier para funciones no periódicas. Se puede pensar en la Transformada de Fourier como el límite de la Serie de Fourier cuando el período de la función tiende a infinito.

Transformada Discreta de Fourier (DFT)

• Una versión discreta de la Transformada de Fourier, utilizada para procesar señales digitales en computadoras.
• Toma una secuencia finita de valores y la transforma en una secuencia de coeficientes de frecuencia discretos.
• Ampliamente utilizada en el procesamiento digital de señales (DSP).

Transformada Rápida de Fourier (FFT)

• Un algoritmo eficiente para calcular la DFT.
• Reduce significativamente el número de operaciones aritméticas necesarias, haciendo que el análisis de Fourier sea computacionalmente factible para grandes conjuntos de datos.
• Es uno de los algoritmos numéricos más importantes en la actualidad.

La transformada de Fourier descompone una función en sus frecuencias. Esencial en física e ingeniería, convierte funciones del tiempo al dominio de la frecuencia. Su definición y la transformada inversa permiten análisis y recuperación de señales.