Transformaciones Lineales y Matrices
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Questions and Answers

Si $v$ y $w$ son vectores ortogonales, cul de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

  • La norma de la suma de $v$ y $w$ es igual a la suma de las normas de $v$ y $w$.
  • El ngulo entre $v$ y $w$ es 90 grados. (correct)
  • El producto interno de $v$ y $w$ es igual a 0. (correct)
  • La norma de la diferencia de $v$ y $w$ es igual a la suma de las normas de $v$ y $w$.

    • Sea $A$ un conjunto ortonormal. Qu se puede afirmar sobre cualquier par de vectores $v$ y $w$ en $A$?

  • El producto interno de $v$ y $w$ es 1.
  • La norma de $v$ es igual a la norma de $w$. (correct)
  • El producto interno de $v$ y $w$ es 0. (correct)
  • El ngulo entre $v$ y $w$ es 45 grados.

    • Dado un espacio vectorial $V$ con un producto interno ., ., cules de las siguientes condiciones son necesarias para que una funcin .: $V$ $$ sea una norma inducida por el producto interno?

  • + + (correct)
  • + + = 2 + 2 (correct)
  • = || (correct)
  • 0 y = 0 = 0 (correct)

    • Si |, | = , qu podemos concluir sobre los vectores $v$ y $w$?

    <p>Son linealmente dependientes.</p> Signup and view all the answers

    Considera un sub bloque de Jordan $s_J()$. Cul es el rango de esta matriz?

    <p>El rango de $s_J()$ es igual a la dimensin del sub bloque de Jordan.</p> Signup and view all the answers

    Sea () un bloque de Jordan asociado a un valor propio $$. Cul de las siguientes afirmaciones es incorrecta?

    <p>El bloque de Jordan () es una matriz diagonalizable.</p> Signup and view all the answers

    Si = , , entonces cul es el valor de ?

    <p>, 2, + ,</p> Signup and view all the answers

    Considera la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Cundo la igualdad |, | = se cumple?

    <p>Cuando $v$ y $w$ son linealmente dependientes.</p> Signup and view all the answers

    Si $A$ es un conjunto ortogonal, qu podemos afirmar sobre el conjunto $B$ formado al multiplicar cada vector en $A$ por un escalar distinto de cero?

    <p>El conjunto $B$ es linealmente independiente.</p> Signup and view all the answers

    Si una matriz A ∈ 𝑀3𝑥3 sobre el cuerpo K tiene círculos de Gershgorin 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 tal que 𝐶𝑖 ∩ 𝐶𝑗 = ∅ para todo i ≠ j, ¿qué se puede afirmar con certeza sobre A?

    <p>A es diagonalizable.</p> Signup and view all the answers

    Si T: V → V es una transformación lineal diagonalizable y 𝜆 es un valor propio de T con multiplicidad algebraica m.a(𝜆) = 2, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

    <p>La multiplicidad geométrica de 𝜆 es 2.</p> Signup and view all the answers

    Sea V un espacio vectorial con producto interno y S un subespacio de V. Si 𝑃𝑆 es la proyección ortogonal sobre S, ¿qué se puede decir sobre el núcleo de (𝐼𝑑 − 𝑃𝑆)?

    <p>Es el complemento ortogonal de S.</p> Signup and view all the answers

    Considere una matriz A ∈ 𝑀𝑛𝑥𝑛(𝑅) tal que 𝐴𝑡𝐴 = 𝐼𝑑. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA?

    <p>Las columnas de A forman una base ortonormal de 𝑅𝑛.</p> Signup and view all the answers

    Si 𝑇: 𝑉 → 𝑉 es una transformación lineal tal que 0 es un valor propio de T, y 𝑆 = 𝑁(𝑇) es el núcleo de T, ¿qué se puede afirmar sobre la dimensión de 𝑆⊥, el complemento ortogonal de S?

    <p>dim(𝑆⊥) = dim(𝑉) - 1.</p> Signup and view all the answers

    Sea V un espacio vectorial con producto interno y {𝑣, 𝑤} un conjunto ortonormal. Si 𝛼 y 𝛽 son números reales tales que los vectores 𝛼𝑣 + 𝛽𝑤 y 𝛼𝑣 − 𝛽𝑤 son ortogonales, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA?

    <p>|𝛼| = |𝛽|.</p> Signup and view all the answers

    Si una matriz A ∈ 𝑀𝑛𝑥𝑛(𝐶) no es diagonalizable, ¿qué se puede afirmar sobre sus valores propios?

    <p>Al menos un valor propio tiene multiplicidad algebraica mayor o igual a 2.</p> Signup and view all the answers

    Considere un operador lineal 𝑇: 𝑅3 → 𝑅3 con valores propios distintos 𝜆 y 𝜇. Si la multiplicidad algebraica de 𝜆 es 2, ¿cuál es la multiplicidad geométrica de 𝜇?

    <p>1</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA en relación con la proposición "V espacio vectorial con producto interno, S subespacio vectorial (de dimensión finita) y B = {s1, s2, … , sn} → S. Entonces v ∈ S⊥ ⟷ v ⊥ si ∀i = 1, 2, … , r"?

    <p>La proposición es válida solo si S tiene dimensión finita. Si S tuviera dimensión infinita, la proposición no sería válida.</p> Signup and view all the answers

    Sea V un espacio vectorial con producto interno, y sea S un subespacio vectorial de V. ¿Cuál de las siguientes opciones describe correctamente la relación entre S y S⊥?

    <p>S y S⊥ son subespacios de V, y su intersección contiene solo el vector cero.</p> Signup and view all the answers

    Sea {v1, v2, ... , vn} una base ortonormal de V. ¿Cuál es la proyección ortogonal de un vector v ∈ V sobre el subespacio generado por v1 y v2?

    <p>⟨v, v1⟩v1 + ⟨v, v2⟩v2</p> Signup and view all the answers

    Si {v1, v2, v3} es un conjunto ortogonal en un espacio vectorial con producto interno, ¿cuál es la norma de la suma de estos vectores, expresada en términos de las normas individuales de cada vector?

    <p>‖v1 + v2 + v3‖ = √(‖v1‖2 + ‖v2‖2 + ‖v3‖2)</p> Signup and view all the answers

    Si S es un subespacio vectorial de un espacio vectorial V con producto interno, ¿cuál de las siguientes condiciones garantiza que S⊥ es también un subespacio vectorial de V?

    <p>S debe ser un subespacio cerrado de V.</p> Signup and view all the answers

    Dados dos subespacios ortogonales S y T de un espacio vectorial V con producto interno, ¿qué podemos decir sobre la proyección ortogonal de un vector v ∈ V sobre S + T?

    <p>La proyección ortogonal de v sobre S + T es la suma de las proyecciones ortogonales de v sobre S y sobre T.</p> Signup and view all the answers

    Si v ∈ V y S es un subespacio de V, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA sobre la proyección ortogonal de v sobre S, denotada como Ps(v)?

    <p>Ps(v) es ortogonal a v - Ps(v).</p> Signup and view all the answers

    Sea {v1, v2} una base del subespacio S de un espacio vectorial V con producto interno. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una base ortonormal para S, usando el método de Gram-Schmidt?

    <p>{v1/‖v1‖, (v2 - ⟨v2, v1⟩v1/‖v1‖2)/‖v2 - ⟨v2, v1⟩v1/‖v1‖2‖}</p> Signup and view all the answers

    Si {v1, v2, ... , vn} es una base ortonormal de un espacio vectorial V con producto interno, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA sobre la proyección ortogonal de un vector v ∈ V sobre el subespacio generado por {v1, v2, ... , vk} (con k < n)?

    <p>La proyección ortogonal de v sobre el subespacio generado por {v1, v2, ... , vk} es ∑(i=1 to k)⟨v, vi⟩vi.</p> Signup and view all the answers

    Sea V un espacio vectorial con producto interno, y S un subespacio vectorial de V. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA respecto a la proyección ortogonal Ps: V → V?

    <p>Ps(v) es siempre ortogonal a v - Ps(v).</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera acerca de un operador lineal?

    <p>Siempre existe un vector propio no nulo asociado a cada operador lineal.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué condición debe cumplirse para que dos matrices sean semejantes?

    <p>Deban existir matrices invertibles que relacionen ambas matrices.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál de las siguientes es una forma de hallar un valor propio de una matriz?

    <p>Resolviendo el sistema (A - λId)v = 0.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué representa el subespacio propio asociado a un valor propio λ?

    <p>Es el conjunto de soluciones para el sistema (A - λId)v = 0.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es la característica de una matriz diagonalizable?

    <p>Puede ser expresada como una matriz producto de sus vectores propios.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre las matrices semejantes?

    <p>Pueden ser diferentes en forma, pero tienen los mismos valores propios.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es el criterio que se utiliza para determinar si una matriz es invertible?

    <p>Su determinante debe ser diferente de cero.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál de las siguientes ecuaciones se utiliza para encontrar las raíces características de una matriz?

    <p>Det(A - λId) = 0.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué se afirma sobre un operador lineal T: V → V si tiene n valores propios distintos?

    <p>T es diagonalizable.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué implica que una raíz λ del polinomio característico cumpla mg(λ) = ma(λ)?

    <p>T es diagonalizable.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cómo se relacionan la multiplicidad algebraica y geométrica de un valor propio λ en un operador lineal T?

    <p>1 ≤ mg(λ) ≤ ma(λ).</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué define un subespacio invariante respecto a un operador lineal T: V → V?

    <p>T(W) ⊆ W.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué significa que la suma de subespacios propios asociados a valores propios distintos sea suma directa?

    <p>La intersección de los subespacios es trivial.</p> Signup and view all the answers

    Según el Teorema de Gershgoren, ¿qué se puede afirmar sobre los valores propios de una matriz A?

    <p>Los valores propios se encuentran en la unión de discos relacionados.</p> Signup and view all the answers

    Si un operador lineal T: V → V tiene un valor propio λ que no se encuentra en N(T - λId), ¿qué se debe hacer para encontrar dicho valor propio?

    <p>Examinar N(T - λId)².</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué se entiende por multiplicidad algebraica de un valor propio λ?

    <p>Cantidad de veces que λ aparece como raíz del polinomio característico.</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Matriz Asociada a una Transformación Lineal

    • Una transformación lineal que mapea un espacio vectorial a sí mismo se llama operador lineal.
    • CoordẞT(v) = b(T)a Coorda(v)
    • b(T + S)a = b(T)a + b(S)a
    • b(aT)a = ab(T)a, α ∈ Κ

    Cambio de Bases

    • Si se tienen dos bases diferentes, existe una relación entre ellas: b(T)ã = b(Id)b b(T)a a(Id)ã
    • b(Id)b y a(Id)ã representan matrices de cambio de base.
    • Las matrices de cambio de base se construyen expresando los vectores de la base "a" como combinación lineal de los vectores de la base "ã".

    Matriz Invertible

    • Si A y B son matrices n x n, son semejantes si existe una matriz invertible P tal que: B = P⁻¹AP

    Propiedades de Matrices Semejantes

    • Rango(A) = Rango(B)
    • Traza(A) = Traza(B)
    • Det(A) = Det(B)

    Vector Propio

    • Un vector propio de una transformación lineal T es un vector v (distinto de cero) tal que T(v) = λv, donde λ es un valor propio.

    Subespacio Propio

    • Dado un operador lineal T y un valor propio λ, un subespacio propio asociado a λ es el conjunto de todos los vectores v en V tales que T(v) = λv.

    Matriz Diagonalizable

    • Una transformación lineal T es diagonalizable si existe una base de vectores propios para V.
    • La matriz de T en la base de vectores propios es diagonal.

    Multiplicidad Algebraica y Geométrica

    • La multiplicidad algebraica de un valor propio λ, ma(λ), es la multiplicidad del valor propio como raíz del polinomio característico.
    • La multiplicidad geométrica de un valor propio λ, mg(λ), es la dimensión del subespacio propio asociado a λ.

    Teorema de Gershgorin

    • El teorema de Gershgorin proporciona un método para dar un intervalo de búsqueda de valores propios de una matriz.
    • El teorema de Gershgorin relaciona los valores propios de una matriz con los elementos de la matriz, en particular, con los elementos en la diagonal y los sumandos fuera de la diagonal.

    Bloques de Jordan

    • Los bloques de Jordan son una forma de representar matrices en su forma canónica de Jordan, que se utiliza para trabajar con operadores lineales.
    • Son estructuras cuadradas que ayudan a comprender la estructura de la matriz asociada a un operador lineal.

    Producto Interno

    • Un producto interno en un espacio vectorial es una función que asigna un número real a un par de vectores.
    • Las condiciones para ser un producto interno son la linealidad, la simetría y la positividad.

    Norma Inducida por Producto Interno

    • Una norma inducida por un producto interno se define como la raíz cuadrada del producto interno del vector consigo mismo:
    • ||v|| = √(v, v)

    Desigualdad de Cauchy-Schwarz

    • La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para cualquier par de vectores v y w en un espacio vectorial con producto interno: |(v, w)| ≤ ||v||||w||

    Conjuntos Ortogonales y Ortonormales

    • Un conjunto de vectores es ortogonal si el producto interno de cualquier par de vectores distintos del conjunto es cero.
    • Un conjunto de vectores es ortonormal si es ortogonal y cada vector tiene una norma de 1.

    Método de Gram-Schmidt

    • El método de Gram-Schmidt permite encontrar una base ortonormal a partir de una base dada en un espacio vectorial con producto interno.

    Complemento Ortogonal

    • El complemento ortogonal de un subespacio S de un espacio vectorial V con producto interno es el conjunto de todos los vectores en V que son ortogonales a todos los vectores en S.

    Proyección Ortogonal

    • La proyección ortogonal de un vector v sobre un subespacio S es el vector en S que está más cerca de v.
    • La proyección ortogonal se denota como Pₛ(v).

    Enunciados Verdadero o Falso

    • Diversos enunciados sobre operadores lineales, espacios vectoriales, matrices y subespacios se establecen, así como, se indica si cada enunciado es verdadero o falso.

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    Description

    Este cuestionario abarca conceptos fundamentales sobre transformaciones lineales, cambio de bases, y propiedades de matrices. También se exploran vectores propios y subespacios propios en el contexto del álgebra lineal. Ideal para estudiantes que buscan profundizar en estos temas.

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