Trabajo y Energía: Fuerza Constante y Cinética

Trabajo Realizado por una Fuerza Constante

• El trabajo (W) realizado por una fuerza constante sobre un objeto se calcula como el producto escalar de la fuerza ($ \vec{F} $) y el desplazamiento ($ \Delta \vec{r} $): $W = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} = F \Delta r \cos{\theta}$.
• $ \theta $ es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento.
• Gráficamente, el trabajo se interpreta como el área bajo la curva de $F_{||}$ (componente de la fuerza en la dirección del movimiento) versus $r$ (desplazamiento).
• $W > 0$ si $ \theta < 90^\circ $, indicando que la fuerza contribuye al movimiento.
• $W < 0$ si $ \theta > 90^\circ $, indicando que la fuerza se opone al movimiento.
• $W = 0$ si $ \theta = 90^\circ $, indicando que la fuerza es perpendicular al movimiento y no realiza trabajo.

Energía Cinética (K)

• $K = \frac{1}{2}mv^2$
• Es una cantidad escalar.
• Siempre es no negativa ($K \geq 0$).
• Se mide en Julios (J).

Teorema del Trabajo y la Energía

• El trabajo neto realizado sobre un objeto es igual al cambio en su energía cinética: $W_{net} = \Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$.
• Este teorema relaciona el trabajo realizado con el cambio en la energía cinética del objeto.

Trabajo Realizado por una Fuerza Variable

• En movimiento unidimensional, el trabajo realizado por una fuerza variable $F_x$ se calcula mediante la integral: $W = \int_{x_i}^{x_f} F_x dx$.
• Gráficamente, esto representa el área bajo la curva de $F_x$ versus $x$.

Ejemplo: Trabajo Realizado por un Resorte

• La fuerza ejercida por un resorte se describe mediante la ley de Hooke: $F_x = -kx$.
• $F_x$ es la fuerza restauradora.
• $k$ es la constante del resorte.
• $x$ es el desplazamiento desde el equilibrio.
• El trabajo realizado por el resorte es $W_s = \int_{x_i}^{x_f} (-kx) dx = -\frac{1}{2}k(x_f^2 - x_i^2)$.
• El trabajo realizado por un agente externo al estirar o comprimir el resorte es $W_{app} = \int_{x_i}^{x_f} kx dx = \frac{1}{2}k(x_f^2 - x_i^2)$.
• Si el resorte parte del equilibrio ($x_i = 0$) y se desplaza hasta $x_f = x$, el trabajo realizado es $\frac{1}{2}kx^2$.

Ejemplo: Descenso de una Caja

• Una caja de masa $m$ se baja verticalmente con una cuerda desde una altura $y_i$ hasta $y_f$ con una aceleración constante hacia abajo de $g/4$.
• Se debe calcular el trabajo realizado por la tensión en la cuerda.
• Se dibuja un diagrama de cuerpo libre mostrando la gravedad ($mg$) hacia abajo y la tensión ($T$) hacia arriba.
• Aplicando la segunda ley de Newton ($ \sum F_y = T - mg = -ma $) y dado que $a = g/4$, se obtiene $T = mg - m(\frac{g}{4}) = \frac{3}{4}mg$.
• El trabajo realizado por la tensión es $W_T = \int_{y_i}^{y_f} T dy = T \int_{y_i}^{y_f} dy = T(y_f - y_i) = \frac{3}{4}mg(y_f - y_i)$.
• Dado que la caja se baja, $(y_f - y_i)$ es negativo.
• Si se define $\Delta y = y_i - y_f$ como la distancia que se baja la caja, entonces $W_T = -\frac{3}{4}mg\Delta y$.

Energía Potencial

• La energía potencial es la energía asociada con la configuración de un sistema de objetos que ejercen fuerzas entre sí. Es una cantidad escalar.

Tipos de Órdenes

• Orden de Mercado: Comprar o vender al mejor precio disponible.
  • Ventaja: Certeza de ejecución.
  • Desventaja: Incertidumbre sobre el precio.
• Orden Límite: Comprar por debajo de un cierto precio o vender por encima de un cierto precio.
  • Ventaja: Certeza del precio.
  • Desventaja: Incertidumbre sobre la ejecución.
• Orden Stop: Similar a una orden de mercado, pero solo se activa cuando se negocia un cierto precio (el precio 'stop').
  • Ventaja: Se puede utilizar para proteger una posición.
  • Desventaja: Incertidumbre sobre el precio. Si el precio supera el nivel de stop, la orden podría ejecutarse a un precio mucho peor.
• Orden Stop Límite: Similar a una orden límite, pero solo se activa cuando se negocia un cierto precio.
  • Ventaja: Certeza del precio.
  • Desventaja: Incertidumbre sobre la ejecución. Si el precio supera el nivel de stop, es posible que la orden no se ejecute en absoluto.

Consideraciones Importantes

• Comisiones: El costo de las comisiones puede afectar las ganancias, especialmente para los operadores de alta frecuencia.
• Deslizamiento: La diferencia entre el precio esperado de una operación y el precio real de la operación.
• Latencia: El retraso entre el momento en que se envía una orden y el momento en que se recibe. Un pequeño retraso puede marcar una gran diferencia en la rentabilidad.

Termodinámica de la Ingeniería Química

Capítulo 3: Propiedades Volumétricas de Fluidos Puros

Ecuación de Estado Virial

• Relaciona la presión, el volumen y la temperatura de un gas.
• Es una forma truncada de la serie infinita: $Z = 1 + \frac{B}{V} + \frac{C}{V^2} + \frac{D}{V^3} +...$
• $Z = \frac{PV}{RT}$ es el factor de compresibilidad.
• $B, C, D,$ etc. son los coeficientes viriales.
• Nota*:
  • Los coeficientes viriales dependen de la temperatura.
  • La ecuación virial es más precisa a densidades bajas a moderadas.
  • La ecuación virial se deriva de la mecánica estadística.
• La ecuación de estado virial es más precisa que la ley de los gases ideales, especialmente a presiones altas.

La ecuación virial a menudo se trunca a dos términos como una aproximación:

• $Z = 1 + \frac{B}{V}$
• $PV = RT(1 + \frac{B}{V})$
• El segundo coeficiente virial, $B$, se puede estimar utilizando: $B = V_c(B^0 + \omega B^1)$.
  • $V_c$ es el volumen crítico.
  • $ \omega $ es el factor acéntrico.
  • $B^0$ y $B^1$ son parámetros adimensionales que son funciones de la temperatura reducida $T_r = \frac{T}{T_c}$:
    • $B^0 = 0.083 - \frac{0.422}{T_r^{1.6}}$
    • $B^1 = 0.139 - \frac{0.172}{T_r^{4.2}}$

Ejemplo 1

• Gas metano se comprime isotérmicamente a $323 K$ de $P_1 = 5 bar$ a $P_2 = 60 bar$.
• Cálculo del cambio de volumen usando la ecuación virial.
• La temperatura y presión críticas del metano son $T_c = 190.6 K$ y $P_c = 45.99 bar$.
• El factor acéntrico del metano es $\omega = 0.008$.

1. Se calcula la temperatura reducida: $T_r = \frac{T}{T_c} = \frac{323 K}{190.6 K} = 1.6957$
2. Se calculan $B^0$ y $B^1$:
   • $B^0 = 0.083 - \frac{0.422}{T_r^{1.6}} = 0.083 - \frac{0.422}{1.6957^{1.6}} = -0.0941$
   • $B^1 = 0.139 - \frac{0.172}{T_r^{4.2}} = 0.139 - \frac{0.172}{1.6957^{4.2}} = 0.1334$
3. Se calcula $B$:
   • $B = V_c(B^0 + \omega B^1) = \frac{RT_c}{P_c}(B^0 + \omega B^1) = \frac{83.14 \frac{cm^3 bar}{mol K} \cdot 190.6 K}{45.99 bar}(-0.0941 + 0.008 \cdot 0.1334) = -30.6 \frac{cm^3}{mol}$
4. Se calculan $V_1$ y $V_2$:
   • $V_1 = \frac{RT}{P_1} + B = \frac{83.14 \frac{cm^3 bar}{mol K} \cdot 323 K}{5 bar} - 30.6 \frac{cm^3}{mol} = 5348.1 \frac{cm^3}{mol}$
   • $V_2 = \frac{RT}{P_2} + B = \frac{83.14 \frac{cm^3 bar}{mol K} \cdot 323 K}{60 bar} - 30.6 \frac{cm^3}{mol} = 416.3 \frac{cm^3}{mol}$
5. Se calcula el cambio de volumen:
   • $\Delta V = V_2 - V_1 = 416.3 \frac{cm^3}{mol} - 5348.1 \frac{cm^3}{mol} = -4931.8 \frac{cm^3}{mol}$

Ejemplo 2

• Se estima el volumen molar del vapor de agua saturado a 200 °C usando la ecuación virial.
• A 200 °C, la presión de saturación del agua es 15.54 bar.
• La temperatura y presión críticas del agua son $T_c = 647.1 K$ y $P_c = 220.55 bar$.
• El factor acéntrico del agua es $\omega = 0.344$.

1. Se calcula la temperatura reducida: $T_r = \frac{T}{T_c} = \frac{473.15 K}{647.1 K} = 0.7311$
2. Se calculan $B^0$ y $B^1$:

• $B^0 = 0.083 - \frac{0.422}{T_r^{1.6}} = 0.083 - \frac{0.422}{0.7311^{1.6}} = -0.5264$
• $B^1 = 0.139 - \frac{0.172}{T_r^{4.2}} = 0.139 - \frac{0.172}{0.7311^{4.2}} = -0.4373$

3. Se calcula $B$:

• $B = V_c(B^0 + \omega B^1) = \frac{RT_c}{P_c}(B^0 + \omega B^1) = \frac{83.14 \frac{cm^3 bar}{mol K} \cdot 647.1 K}{220.55 bar}(-0.5264 + 0.344 \cdot (-0.4373)) = -162.4 \frac{cm^3}{mol}$

4. Se calcula $V$:
   • $V = \frac{RT}{P} + B = \frac{83.14 \frac{cm^3 bar}{mol K} \cdot 473.15 K}{15.54 bar} - 162.4 \frac{cm^3}{mol} = 2374.1 \frac{cm^3}{mol}$

Ingeniería de Reacciones Químicas

Capítulo 18: Resistencia de Reactores Reales

• Los reactores reales se desvían del comportamiento ideal debido a la mezcla no ideal, la canalización y las zonas muertas, lo que afecta el rendimiento del reactor.

Causas de la No Idealidad

• Mezcla no ideal: Mezcla incompleta que conduce a gradientes de concentración y variaciones en el tiempo de residencia.
• Canalización: Parte del fluido evita la zona de reacción principal, reduciendo el tiempo de residencia.
• Zonas muertas: Regiones dentro del reactor donde el fluido está estancado o mal mezclado, lo que reduce la eficiencia del reactor.
• Derivación: Una porción de la corriente de alimentación fluye directamente hacia la salida sin participar en la reacción.
• Recirculación interna: Variaciones en el tiempo de residencia y patrones de mezcla.

Distribución del Tiempo de Residencia (RTD)

• La Distribución del Tiempo de Residencia (RTD) describe cuánto tiempo pasan los diferentes elementos fluidos dentro del reactor.

Función RTD

• La función RTD, denotada como $E(t)$, representa la fracción de la corriente de salida que ha residido en el reactor durante un tiempo entre $t$ y $t + dt$.
• La función RTD está normalizada: $\int_0^\infty E(t) dt = 1$.

Tiempo de Residencia Medio

• El tiempo de residencia medio ($\bar{t}$) es el tiempo promedio que los elementos fluidos pasan en el reactor: $\bar{t} = \int_0^\infty tE(t) dt$.
• Para un reactor ideal, $\bar{t} = \frac{V}{v_0}$ donde $V$ es el volumen del reactor y $v_0$ es el caudal volumétrico.

Varianza

• La varianza ($ \sigma^2$) mide la dispersión del RTD: $ \sigma^2 = \int_0^\infty (t - \bar{t})^2 E(t) dt$.
• Para un PFR ideal, la varianza es cero.

Determinación Experimental del RTD

• El RTD se determina experimentalmente introduciendo un trazador en el reactor.
• Entrada de pulso: Se inyecta un pulso de trazador a $t = 0$, y se calcula $E(t) = \frac{C(t)}{\int_0^\infty C(t) dt}$, donde $C(t)$ es la concentración del trazador en la corriente de salida.
• Entrada escalón: Se introduce un cambio escalón en la concentración del trazador a $t = 0$, y se calcula $E(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{C(t)}{C_0} \right)$, donde $C_0$ es la concentración del trazador en la corriente de entrada.

Modelos de Reactores

Modelo de Tanques en Serie

• Un reactor real se aproxima como una serie de $N$ CSTRs ideales.
• El número de tanques ($N$) se ajusta para que coincida con el RTD del reactor real.
• La varianza para este modelo es: $\sigma^2 = \frac{\bar{t}^2}{N}$.

Modelo de Dispersión

• Cuenta para la mezcla no ideal introduciendo un coeficiente de dispersión ($D$) en la ecuación de flujo tapón.
• El número de dispersión adimensional, $Pe$ (Peclet), se define como $Pe = \frac{uL}{D}$, donde $u$ es la velocidad promedio del fluido y $L$ es la longitud del reactor.

Conclusión

• La distribución del tiempo de residencia (RTD) es una herramienta para caracterizar reactores no ideales.

Función Logaritmo Neperiano

• La función logaritmo neperiano, denotada como $ln$, está definida en $]0; +\infty[$ y es la primitiva de la función $x \longmapsto \frac{1}{x}$ que es igual a cero en $1$.

Propiedades Algebraicas

Para todo número real estrictamente positivo $a$ y $b$ y para todo entero relativo $n$:

• $ln(ab) = ln(a) + ln(b)$
• $ln(\frac{a}{b}) = ln(a) - ln(b)$
• $ln(\frac{1}{b}) = -ln(b)$
• $ln(a^n) = n \cdot ln(a)$
• $ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} ln(a)$

Estudio de la Función $ln$

1. Conjunto de definición

$D_{ln} = ]0; +\infty[$

2. Límites

• $\lim\limits_{x \to +\infty} ln(x) = +\infty$
• $\lim\limits_{x \to 0} ln(x) = -\infty$
• $\lim\limits_{x \to 1} \frac{ln(x)}{x-1} = 1$
• $\lim\limits_{x \to 0} \frac{ln(x+1)}{x} = 1$
• $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x} = 0$
• $\lim\limits_{x \to 0} x \cdot ln(x) = 0$

3. Derivada

$ln'(x) = \frac{1}{x}$

4. Tabla de variaciones

Donde:

5. Curva Representativa

La función $ln$ es estrictamente creciente en $]0; +\infty[$. Su curva representativa $\mathscr{C}_{ln}$ corta el eje de abscisas en el punto de coordenadas $(1; 0)$.

6. Convexidad

La función $ln$ es cóncava en $]0; +\infty[$.

Aplicaciones

1. Resolución de ecuaciones y de inecuaciones

Para todo número real estrictamente positivo $a$ y $b$:

• $ln(a) = ln(b) \Leftrightarrow a = b$
• $ln(a) < ln(b) \Leftrightarrow a < b$
• $ln(a) > ln(b) \Leftrightarrow a > b$

2. Derivación de funciones compuestas

Sea $u$ una función derivable y estrictamente positiva en un intervalo $I$. Entonces la función $ln(u)$ es derivable en $I$ y tiene:

$(ln(u))' = \frac{u'}{u}$

Álgebra Lineal Curso y Ejercicios

Jean-Marie Monier

Tabla de contenidos:

• Capítulo 1: El espacio vectorial $\mathbb{K}^{n}$: Generalidades sobre $\mathbb{K}^{n}$, aplicaciones lineales de $\mathbb{K}^{n}$ en $\mathbb{K}^{p}$, matrices, sistemas lineales.
• Capítulo 2: Espacios vectoriales: Definiciones, ejemplos, subespacios vectoriales, suma de subespacios vectoriales, aplicaciones lineales, imagen y núcleo de una aplicación lineal, formas lineales e hiperplanos.
• Capítulo 3: Espacios vectoriales de dimensión finita: Generalidades, rango de una familia de vectores, teorema del rango, proyectores, coordenadas, cambio de base.
• Capítulo 4: Matrices: Operaciones elementales sobre las líneas de una matriz, matrices equivalentes, rango de una matriz, matrices cuadradas invertibles, cálculo de la inversa de una matriz cuadrada, matrices y aplicaciones lineales, cambio de bases y matrices, matrices semejantes.
• Capítulo 5: Determinantes: Formas $n$-lineales alternadas, determinante de una familia de vectores, determinante de un endomorfismo, determinante de una matriz cuadrada, aplicaciones de los determinantes.
• Capítulo 6: Reducción de los endomorfismos y de las matrices cuadradas: Elementos propios de un endomorfismo, polinomio característico de una matriz cuadrada, búsqueda de los elementos propios, diagonalización, trigonalización.
• Capítulo 7: Producto escalar: Generalidades, desigualdad de Cauchy-Schwarz, ortogonalidad, proyecciones ortogonales, endomorfismos ortogonales, matrices ortogonales, adjunto de un endomorfismo.
• Capítulo 8: Formas cuadráticas: Formas bilineales, formas cuadráticas, reducción de Gauss, cónicas.

Algoritmo de Dijkstra

• Es un algoritmo para calcular los caminos más cortos desde un nodo de inicio a todos los otros nodos en un grafo, desarrollado por Edsger W. Dijkstra.

Ámbito de Aplicación

• El algoritmo encuentra aplicación en grafos que posean las siguientes propiedades:
  • Dirigido o no dirigido
  • Pesos de aristas ≥ 0
  • Sin ciclos negativos

Idea

1. Inicializar las distancias a todos los nodos como infinito y la distancia al nodo de inicio como 0.
2. Seleccionar el nodo con la menor distancia al nodo de inicio que aún no haya sido visitado.
3. Para todos los vecinos de este nodo: Calcular la distancia desde el nodo de inicio a este vecino a través del nodo actual. Si esta distancia es más corta que la distancia conocida hasta ahora, actualizar la distancia del vecino.
4. Marcar el nodo actual como visitado.
5. Repetir los pasos 2-4 hasta que todos los nodos hayan sido visitados o hasta que el nodo de destino haya sido alcanzado.

Pseudocódigo

function Dijkstra(Grafo, NodoInicio):
    // Inicialización
    para cada Nodo v en Grafo:
        dist[v] = Infinito; // Distancia desconocida desde el NodoInicio a v
        predecesor[v] = Null; // Nodo anterior en el camino más corto desde NodoInicio
    dist[NodoInicio] = 0; // Distancia desde el NodoInicio a sí mismo es Cero
    Q = todos los Nodos en Grafo; // Conjunto de todos los nodos no visitados

    // Bucle principal
    mientras Q no esté vacío:
        u = Nodo en Q con la menor distancia en dist[]; // Seleccionar el nodo con la menor distancia
        eliminar u de Q;

        para cada vecino v de u:
            alt = dist[u] + Distancia entre (u, v);
            si alt < dist[v]:
                dist[v] = alt;
               predecesor[v] = u;

    retornar dist[], predecesor[];

Ejemplo

• Dado el siguiente grafo:

     A
    / \
   2   7
  /     \
 B --3-- C
 |       |
 6       1
 |       |
 D --5-- E

• Se busca el camino más corto de A a E.
• Inicialización:*
• dist[A] = 0
• dist[B] = ∞
• dist[C] = ∞
• dist[D] = ∞
• dist[E] = ∞
• Iteración 1:*
• u = A
• Vecinos de A: B, C
• dist[B] = 2
• dist[C] = 7
• Iteración 2:*
• u = B
• Vecinos de B: A, C, D
• dist[C] = 2 + 3 = 5 (actualizado)
• dist[D] = 2 + 6 = 8
• Iteración 3:*
• u = C
• Vecinos de C: A, B, E
• dist[E] = 5 + 1 = 6
• Iteración 4:*
• u = D
• Vecinos de D: B, E
• dist[E] = 8 + 5 = 13 (no actualizado, pues 6 < 13)
• Iteración 5:*
• u = E
• Vecinos de E: C, D
• Sin actualizaciones
• Resultado:*
• Distancia más corta de A a E: 6
• Camino más corto: A -> B -> C -> E

Características

• Tiempo de ejecución: $O(E + V \log V)$ con un Fibonacci Heap, donde $E$ es el número de aristas y $V$ es el número de nodos.
• Suposición: Pesos de aristas no negativas.
• Aplicación: Planificación de rutas, optimización de redes.

Alternativas

• Algoritmo de Bellman-Ford (para grafos con pesos negativos de los bordes)
• Algoritmo A* (para búsqueda heurística)

1.1: Las Fórmulas de la Distancia y el Punto Medio

La Fórmula de la Distancia

• La distancia, $d$, entre los puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ es: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
• Ejemplo*: Encontrar la distancia entre $(-1, 4)$ y $(3, -2)$.

Sean $(x_1, y_1) = (-1, 4)$ y $(x_2, y_2) = (3, -2)$.

$\begin{aligned} d &= \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - 4)^2} \ &= \sqrt{(4)^2 + (-6)^2} \ &= \sqrt{16 + 36} \ &= \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} \ &= 2\sqrt{13} \end{aligned}$

La Fórmula del Punto Medio

• El punto medio del segmento de línea con puntos finales $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ es el punto con coordenadas: $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$
• Ejemplo*: Encontrar el punto medio del segmento de línea con puntos finales $(-1, 4)$ y $(3, -2)$.

$M = (\frac{-1 + 3}{2}, \frac{4 + (-2)}{2}) = (\frac{2}{2}, \frac{2}{2}) = (1, 1)$