Théorie Algorithmique des Jeux

Théorie Algorithmique des Jeux

• Vise à modéliser les situations de conflit entre des agents rationnels, où chaque agent a des préférences et cherche à maximiser son utilité.

Théorie des Jeux

• L'objectif initial est de modéliser des situations de conflit entre des acteurs rationnels.
• La rationalité d'un agent se manifeste par une préférence pour certains résultats et une action visant à maximiser son utilité.

Exemple : Dilemme du Prisonnier

• Scénario : Deux suspects arrêtés doivent choisir de coopérer ou de dénoncer l'autre, avec des conséquences variables selon leur choix respectif.
• Stratégie dominante : Indépendamment du choix de l'autre joueur, ce joueur est mieux s'il adopte telle stratégie prédéterminée.
• Équilibre de stratégie dominante : Les deux joueurs choisissent leur stratégie dominante.
• Dans le dilemme du prisonnier, la stratégie dominante est la défection, même si la coopération serait plus avantageuse pour les deux parties.

Équilibre de Nash

• L'équilibre de Nash est un ensemble de stratégies (une pour chaque joueur) où aucun joueur n'a intérêt à changer unilatéralement sa stratégie.
• Tout équilibre de stratégie dominante est un équilibre de Nash, mais l’inverse n’est pas toujours vrai.
• Il peut y avoir plusieurs équilibres de Nash.
• Il existe toujours au moins un équilibre de Nash en stratégies mixtes, qui utilisent la randomisation.

Exemples d'Équilibre de Nash

• Dilemme du prisonnier : (Défection, Défection) est le seul équilibre de Nash.
• Bataille des sexes : Deux équilibres de Nash : (Opéra, Opéra) et (Football, Football).
• Pierre-Papier-Ciseaux : Un seul équilibre de Nash où les deux joueurs tirent chaque option avec une probabilité de 1/3.

Théorie Algorithmique des Jeux

• Objectifs descriptifs : Expliquer et prédire le comportement de systèmes complexes comme Internet.
• Objectifs normatifs : Concevoir des systèmes pour atteindre les résultats souhaités, par exemple via des mécanismes de conception.

Questions Fondamentales

• Quelle est la difficulté de calculer un équilibre de Nash ?
• Quel est le temps nécessaire pour qu'un système converge vers un équilibre de Nash ?
• Quel est l'impact d'un comportement égoïste sur la performance du système ?

Exemple : Routage Égoïste

• Modèle : Un réseau de n nœuds et m arêtes, avec un trafic d'une source s à une destination t.
• Chaque arête e a une fonction de coût ce(x) qui dépend de la quantité de trafic sur l'arête.
• Objectif : Minimiser le coût total du trafic.
• Comportement égoïste : Chaque utilisateur cherche à minimiser son propre coût, en choisissant le chemin le moins cher.

Questions liées au Routage Égoïste

• Le système convergera-t-il vers un équilibre de Nash ?
• Quel est le coût d'un équilibre de Nash par rapport à la solution optimale ?

Prix de l'Anarchie

• Le Prix de l'Anarchie (PoA) est le rapport entre le coût du pire équilibre de Nash et le coût de la solution optimale.
• Formule : $PoA = \frac{\text{Coût du pire équilibre de Nash}}{\text{Coût de la solution optimale}}$
• Exemple : Paradoxe de Braess : Ajouter une arête à un réseau peut augmenter le coût de l'équilibre de Nash.

Importance du Prix de l'Anarchie

• Mesure l'impact des comportements égoïstes sur la performance du système et fournit des informations pour concevoir des systèmes résistants à de tels comportements.

GLUCOCORTICOÏDES

• D'appellations multiples : Corticostéroïdes, glucocorticoïdes, stéroïdes.
• Exemples : Prednisone, Prednisolone, Méthylprednisolone, Dexaméthasone, Hydrocortisone, Bétaméthasone.
• Voies d'administration : Orale, IV/IM, topique, inhalée.
• Mécanisme d'action : Diminution des gènes inflammatoires et promotion des gènes anti-inflammatoires.

Indications du médicament

• Utilisations variées incluant :
  • Exacerbations de l'asthme/BPCO
  • Réactions allergiques
  • Maladies rhumatismales (polyarthrite rhumatoïde, lupus)
  • Artérite à cellules géantes/polymyalgie rhumatica
  • Vascularite
  • Maladies inflammatoires de l'intestin
  • Insuffisance surrénale

Posologie

• La posologie varie selon l'indication.
• Les stéroïdes à "dose de stress" (par exemple, en cas d'insuffisance surrénale) impliquent généralement l'hydrocortisone.
• Solu-Medrol® (méthylprednisolone) dosé à dose "équivalente" à la prednisone.

Effets indésirables du médicament

• Hyperglycémie
• Changements d'humeur (manie, dépression, psychose)
• Insomnie
• Hausse de l'appétit/gain de poids
• Rétention d'eau
• Hypertension
• Immunosuppression
• Ostéoporose (utilisation à long terme)
• Cataractes/glaucome (utilisation à long terme)
• Suppression surrénale (utilisation à long terme)
• Acné
• Amincissement de la peau/apparition facile d'ecchymoses
• Myopathie

Surveillance du médicament

• Utilisation à court terme :
  • Surveiller la glycémie chez les patients diabétiques.
  • Surveiller les changements d'humeur, l'insomnie.
  • Surveiller la pression artérielle et la rétention d'eau.
• Utilisation à long terme :
  • Surveiller la densité osseuse.
  • Surveiller les cataractes/glaucome.
  • Surveiller la suppression surrénale.
  • Surveiller la croissance chez les enfants.

Notes Additionnelles

• La réduction progressive des stéroïdes est souvent nécessaire en cas d'utilisation prolongée pour éviter l'insuffisance surrénale.
• Envisager une prophylaxie contre la pneumonie à Pneumocystis jirovecii (PCP) chez les patients sous stéroïdes à long terme, surtout s'ils prennent aussi d'autres immunosuppresseurs.
• Les glucocorticoïdes peuvent masquer les signes d'infection.
• Stéroïdes topiques : la force varie; les faibles pour le visage/les zones intertrigineuses.

Contexte Chimique de la Vie

Introduction

• Chapitre sur la chimie de base pertinente à la biologie.
• Couvre la matière, les éléments, les composés, la structure atomique, les liaisons chimiques et les réactions chimiques.

Matières, Éléments et Composés

• Matière : Tout ce qui prend de la place et a une masse.
  • Existe sous plusieurs états (solide, liquide, gazeux).
• Élément : Substance qui ne peut être décomposée pas des réactions chimiques.
• Composé : Substance constituée d'au moins deux éléments différents combinés dans un ratio fixe.
  • Exemple : L'eau ($H_2O$).

Éléments Essentiels

• Éléments nécessaires à la vie et à la reproduction.
• Environ 20-25% des 92 des éléments naturels sont essentiels.
• Principaux éléments dans le corps humain :
  • Oxygène (O) : 65%
  • Carbone (C) : 18%
  • Hydrogène (H) : 10%
  • Azote (N) : 3%
• Oligoéléments : Nécessaires en très petites quantités.
  • Exemple : Le fer (Fe).

Structure d’un Atome

• Atome : Plus petite unité de matière conservant les propriétés d'un élément.
• Particules subatomiques :
  • Neutrons : Neutres.
  • Protons : Positifs.
  • Electrons : Négatifs.
• Noyau atomique : Centre dense contenant protons et neutrons.
• Mesure de la masse en Daltons (unité de masse atomique).
  • Masse des protons et neutrons ≈ 1 Dalton.
  • Masse des électrons négligeable.
• Numéro atomique : Le nombre de protons dans le noyau.
• Nombre de masse : Somme des protons et des neutrons.
• Isotopes : Atomes du même élément avec un nombre différent de neutrons.
  • Isotopes radioactifs utilisés en recherche et médecine.

Arrangement des Électrons

• Niveaux d'énergie : Les électrons existent à des niveaux d'énergie spécifiques (couches électroniques).
• La couche la plus proche du noyau a une énergie potentielle plus faible.
• La distribution des électrons détermine le comportement chimique de l'atome.
• Électrons de valence : Dans la couche électronique la plus externe.
• Éléments inertes : Les éléments à couche de valence complète sont chimiquement inertes.
  • Exemple : Hélium (He), Néon (Ne).

Liaisons Chimiques

• Liaison chimique : Attraction résultant du partage ou du transfert d'électrons de valence.
• Types de liaisons :
  • Liaison covalente : Partage d'électrons.
    • Molécule : Atomes liés par des liaisons covalentes.
    • Électronégativité : Attraction d'un atome pour les électrons d'une liaison covalente.
    • Liaison covalente non polaire : Électrons partagés également.
    • Liaison covalente polaire : Électrons non partagés également, résultant en charges partielles.
  • Liaison ionique : Transfert d'électrons.
    • Ion : Atome ou molécule chargé.
      • Cation : Ion positif.
      • Anion : Ion négatif.
    • Composé ionique (sel) : Formé par des liaisons ioniques.
  • Liaisons faibles :
    • Liaison hydrogène : Attraction entre un atome d'hydrogène lié de façon covalente et un autre atome électronégatif.
    • Interactions de van der Waals : Attractions faibles dues à des charges partielles locales transitoires.

Importances des Formes Moléculaires

• La forme moléculaire est cruciale, car elle détermine comment les molécules biologiques s'influencer.
• Hybridation : Mélange d'orbitales atomiques pour former de nouvelles orbitales hybrides.
  • Exemple : Hybridation des orbitales de carbone produit quatre nouvelles orbitales hybrides ayant une forme tétraédrique.

Réactions Chimiques, Réactants, et équilibre.

• Réaction chimique : Formation et rupture de liaisons chimiques.
• Réactants : Molécules de départ.
• Produits : Molécules résultantes.
• Équilibre chimique : État où les réactions directe et inverse s'équilibrent.

Mécanique Relativiste

Introduction à la Relativité Restreinte

• Les lois de la physique sont invariantes dans tous les référentiels inertiels.
• La vitesse de la lumière dans le vide est une constante universelle indépendante du mouvement de la source.

Transformation de Lorentz

• Les Transformations de Lorentz sont l'ensemble des transformations linéaires qui permettent d'exprimer les mesures d'un temps et d'un espace faites par un observateur dans un lieu inertiel à l'aide des mesures faites par un autre observateur dans un autre lieu inertiel.

Transformation de Vitesse

$$ u'_x = \frac{u_x - v}{1 - \frac{vu_x}{c^2}} $$

Dynamique Relativiste : Impulsion, Énergie cinétique et au repos

• Impulsion relativiste : $\vec{p} = \gamma m \vec{u}$
• Énergie cinétique relativiste : $KE = mc^2 (\gamma - 1)$
• Énergie totale relativiste : $E = \gamma mc^2$
• Énergie au repos : $E_0 = mc^2$

Relation Énergie-Impulsion

• $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$
• Pour les particules sans masse (photons) :
  • $E = pc$
  • $p = \frac{E}{c}$

Exemples et Problèmes

Vaisseau spatial voyage à 0.8c

• Temps mesuré sur Terre pour parcourir une année-lumière : 1.25 ans.

Proton a accéléré

• Vitesse d'un proton avec KE égale à son énergie au repos : $v \approx 0.866c$.

Physique

Vecteurs

Définition

• Un segment de ligne avec direction et sens.

Utilité

• Représenter des grandeurs vectorielles.

Éléments d'un vecteur

• Module
• Direction
• Sens
• Point d'application

Types de vecteurs

• Libres, glissants, fixes, parallèles, opposés, concurrents, coplanaires et colinéaires.

Somme de vecteurs, méthode graphique

• Méthode du parallélogramme: dessiner les vecteurs avec une origine commune, puis compléter un parallélogramme, il faut que le vecteur résultant parte de l'origine commune formant une diagonale.
• Méthode du triangle: dessiner les vecteurs l'un après l'autre, puis tracer la ligne du vecteur résultant reliant l'extremité et l'origine des vecteurs.

Somme de vecteurs, méthode analytique

• Composantes cartésiennes: décomposer en X et Y.
  • $V_x = V \cdot \cos\theta$
  • $V_y = V \cdot \sin\theta$
  • Module du vecteur résultant : $V = \sqrt{V_x^2 + V_y^2}$
  • Angle du vecteur résultant : $\theta = \arctan{\frac{V_y}{V_x}}$.

Produit de vecteurs

Produit scalaire

• Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire.
  • $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot \cos\theta$

Produit vectoriel

• Le produit vectoriel de deux vecteurs est un autre vecteur.
  • $\vec{A} \times \vec{B} = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot \sin\theta \cdot \hat{n}$

Introduction aux Probabilités

Concepts de Base

Expérimentation

• Processus avec résultat imprévisible.

Espace d'échantillonnage (Univers)

• Ensemble des résultats possibles. Exemple :
  • Lancer une pièce: S = {Pile, Face}
  • Lancer un dé: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Événement

• Sous-ensemble de l'univers.
• $ E = {\text{pair}} = {2, 4, 6}$

Définition de la Probabilité

Classique

• Si tous les résultats sont équiprobables:
• $P(E) = \frac{\text{Nombre de résultats dans E}}{\text{Nombre total de résultats}} = \frac{n(E)}{n(S)}$

Propriétés des Probabilités

• $0 \leq P(E) \leq 1$
• $P(S) = 1$
• $P(\emptyset) = 0$

Exemple

Un dé est lancé :

• Probabilité d'obtenir 4: $1/6$
• Probabilité d'obtenir un nombre pair: $1/2$
• Probabilité d'obtenir un nombre > 4 : $1/3$

Règles de base

Complément

• $P(E^c) = 1 - P(E)$

Addition

• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• Si A et B sont exclusifs: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Probabilité Conditionnelle

• $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Multiplication

• $P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B)$
• Si A et B sont indépendants: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Exemple

Une boîte contient 5billess rouges et 3 billes bleues (tirages sans remplacement) :

• Probabilité (2 rouge) : $5/14$
• Probabilité (1 rouge puis 1 bleu) : $15/56$

Équations aux Dérivées Partielles

Concepts de Base

Introduction

Les équations aux dérivées partielles (EDP) sont utilisées dans divers domaines comme le transfert de chaleur, la dynamique des fluides, l'électromagnétisme et la mécanique quantique.

Forme Générale

$F(x, y, u, u_x, u_y, u_{xx}, u_{xy}, u_{yy},...) = 0$

• $x ,y$ sont les variables indépendantes.
• $u(x, y)$ est la variable dépendante.

EDP Linéaire

$Au_{xx} + Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + Fu = G$ (G est une fonction de x et y)

Classification

Discriminant utilisé pour classifier les équations différentielles partielles linéaires de second ordre

• Si $\Delta > 0$ : EDP hyperbolique (Equation des ondes)
• Si $\Delta = 0$ : EDP parabolique (Equation de la chaleur)
• Si $\Delta < 0$ : EDP elliptique (Equation de Laplace)

Exemples d’Équations aux Dérivées Partielles

Équation de la Chaleur

• $u_t = \alpha u_{xx}$. Description de la distribution de la chaleur dans une région.
• Type parabolique.

L’Équation des Ondes

• $u_{tt} = c^2 u_{xx}$. Description de la propagation des ondes.
• Type hyperbolique.

Équation de Laplace

• Description de phénomènes stationnaires comme la répartition de la température à l'équilibre ou le potentiel électrostatique.
• Type elliptique.

Conditions Limites et Initiales

• Conditions aux limites (CL) : Définissent la valeur ou le comportement de la solution sur le contour du domaine.
• Conditions Initiales (CI) : Définissent les valeurs de la solution à un moment initial.

Types de Conditions aux Limites

• Dirichlet : définit la valeur de u(x,t) sur la frontière (boundary)
• Neumann : définit la dérivée partielle normale de u.
• Robin : une combinaison linéaire de u et la dérivée partielle normale de u.

Techniques de Résolution

Méthodes Analytiques

• Séparations de variables.
• Méthode des caractéristiques.
• Transformation intégrales (Fourier, Laplace).

Méthodes Numériques

• Méthode des différences finies.
• Méthode des éléments finis.
• Méthode des volumes finis.

Nombres Complexes

Corps des Complexes (C)

• Ensemble des nombres $z$ de la forme $z = a + ib$, où $a$ et $b$ sont réels, et $i^2 = -1$
  • $a = \Re(z)$ (partie réelle de z)
  • $b = \Im(z)$ (partie imaginaire de z)
  • $b = 0 => z = a$ (nombre réel, donc $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$)
  • $a = 0 => z = ib$ (nombre imaginaire pur)

Opérations dans C

• Addition : $z + z' = (a + a') + i(b + b')$
• Multiplication : $z \times z' = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)$
• $(\mathbb{C}, +, \times)$ est un corps commutatif : tous les éléments non nuls de C sont inversibles.

Conjugué

• Conjugué de $z = a + ib$ est $\overline{z} = a - ib$
  • $\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}$
  • $\overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$
  • $\overline{\overline{z}} = z$
  • $\Re(z) = \frac{z + \overline{z}}{2}$
  • $\Im(z) = \frac{z - \overline{z}}{2i}$
  • $z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z = \overline{z}$
• $z \in i\mathbb{R} \Leftrightarrow z = -\overline{z}$

Module

• Module de $z = a + ib$ est $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
  • $|z| = |\overline{z}|$
  • $|z|^2 = z\overline{z}$
  • $|z \times z'| = |z| \times |z'|$
  • $|z + z'| \leq |z| + |z'|$

Représentations des Nombres Complexes

Affixe

• Plan complexe avec repère orthonormé direct $(O ; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$
  • Tout complexe $z$ correspond à un point $M$ de coordonnées $(a, b) : M(z)$
  • Tout point $M$ de coordonnées $(a, b)$ correspond à un nombre complexe $z : z_M$
  • Tout vecteur $\overrightarrow{w}$ correspond à un nombre complexe $z : z_{\overrightarrow{w}}$
    • Affixe de $\overrightarrow{AB}$ est $z_{\overrightarrow{AB}} = z_B - z_A$
    • Distance $AB$: $|z_B - z_A|$
    • Affixe du milieu $I$ de $[AB]$: $z_I = \frac{z_A+z_B}{2}$

Argument

• L'argument $z$ est la mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{OM})$, si $M$ est un point d'affixe.
  • $z \in \mathbb{R}^*_+ \Leftrightarrow \arg(z) \equiv 0 [2\pi]$
  • $z \in \mathbb{R}^*_- \Leftrightarrow \arg(z) \equiv \pi [2\pi]$
  • $z \in i\mathbb{R}^*_+ \Leftrightarrow \arg(z) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$
  • $z \in i\mathbb{R}^*_- \Leftrightarrow \arg(z) \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]$
  • $\arg(zz') \equiv \arg(z) + \arg(z') [2\pi]$
  • $\arg(\frac{z}{z'})\equiv \arg(z) - \arg(z') [2\pi]$
  • $\arg(\overline{z}) \equiv -\arg(z) [2\pi]$
  • $\arg(z^n) \equiv n\arg(z) [2\pi]$

Forme Trigonométrique

• $z = |z|(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$ où $\theta$ est un argument de $z : z = [|z| , \theta]$

Forme Exponentielle

• $z = |z|e^{i\theta}$ où $\theta$ est un argument de $z$
  • $e^{i\theta} \times e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$
  • $e^{i\theta}/e^{i\theta'} = e^{i(\theta - \theta')}$
  • $\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$
  • $(e^{i\theta})^n= e^{in\theta}$

Formules d'Euler

• $\cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$
• $\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$

Formule de Moivre

$(\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

Equations dans C du second degré

• $az^2 + bz + c = 0$ où $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$
  • $\Delta = b^2 - 4ac$:
    • si $\Delta > 0 =>$ équation admet deux solutions réelles distinctes
    • si $\Delta = 0 =>$ équation admet une solution réelle double
    • si $\Delta < 0 =>$ équation admet deux solutions complexes conjuguées
• Dans tous les cas, on a $z_1 + z_2 = -\frac{b}{a}$ et $z_1 \cdot z_2 = \frac{c}{a}$

Racines N-ièmes

• $z \in \mathbb{C}^$ et $n \in \mathbb{N}^$ racine de $z'$ si $(z')^n = z$
• Si z = [r, θ], solution sera $z_k = [\sqrt[n]{r}, \frac{\theta+2k\pi}{n}]$ où $k \in [0, 1,..., n-1]$
• Racines n-ièmes de l'unité : $u_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}$ où $k \in [0, 1,..., n-1]$

Capacité du Canal

Motivation

• Maximiser l'information mutuelle entre entrée et sortie.

Définition

La capacité d'un canal sans mémoire discret (DMC) est le taux maximal auquel l'information peut être transmise de manière fiable.

Revue de DMC

Définition

Le CMMD a un alphabet d'entrée fini et un alphabet de sortie fini $\mathcal{Y}$, une matrice de probabilités de transition $p(y|x)$ la propriété sans mémoire.

Propriétés de I(X;Y)

• $0 \leq I(X;Y) \leq \min(H(X), H(Y))$
• $I(X;Y) = H(X) - H(X|Y) = H(Y) - H(Y|X)$
• $I(X;Y) = I(Y;X)$
• $I(X;Y) \geq 0$

Capacité du Canal

• $C = \max_{p(x)} I(X;Y)$. Maximisation contrainte où p(x) est une distribution de probabilité valide.

Exemple 1: Canal Binaire Sans Bruit

• I(X;Y) = H(X) = 1 bit lorsque X est uniformément distribué.

Exemple 2: Canal Bruyant avec Sorties non Superposées

• I(X;Y) = H(X) = 1 bit lorsque X est uniformément distribué.

Exemple 3: Canal Binaire Symétrique (CBS)

• 1-H(p) bits lorsque p(x=0) = p(x=1) = 1/2. Capacité diminue avec l'augmentation de la probabilité d'erreur.

Exemple 4: Canal Binaire à Effacement (BCE)

• C = 1-alpha bits avec $\beta = 1/2$, alpha est la probabilité de l'input d'effacement.