Théorie Algorithmique des Jeux et Routage Égoïste

Théorie Algorithmique des Jeux

• La théorie classique des jeux étudie les interactions d'agents parfaitement rationnels.
• La théorie algorithmique des jeux prend en compte les aspects computationnels.
• Elle examine la difficulté de calculer une stratégie optimale.
• Elle analyse les résultats si tous les agents utilisent des algorithmes simples/efficaces.
• Elle étudie comment concevoir le jeu pour atteindre un bon résultat social.

Routage Égoïste

Modèle

• Un réseau de $n$ nœuds et $m$ arêtes.
• Chaque arête $e$ a une fonction de latence $l_e(x)$ qui spécifie la latence (ou coût) encourue par chaque unité de trafic sur l'arête $e$ lorsque l'arête transporte $x$ unités de trafic. On suppose que $l_e(x)$ est non négative et non décroissante.
• Il existe un ensemble de $k$ paires source-destination $(s_i, t_i)$, chacune avec $r_i$ unités de trafic qui doivent être routées de $s_i$ à $t_i$.

Définition

• Un flux $f$ consiste en un chemin $P_i$ pour chaque paire $(s_i, t_i)$ et envoie une quantité de trafic $r_i$ le long de $P_i$.
• Le flux sur l'arête $e$, noté $f_e$, est la quantité de trafic qui passe par l'arête $e$.
• Le coût du chemin $P_i$ est $\sum_{e \in P_i} l_e(f_e)$.

Équilibre de Wardrop

• Un flux est à l'équilibre de Wardrop si, pour chaque paire source-destination $(s_i, t_i)$, tous les chemins $P_i$ utilisés pour router le trafic de $s_i$ à $t_i$ ont le même coût, et ce coût n'est pas supérieur au coût de tout autre chemin entre $s_i$ et $t_i$.

Coût Social

• Le coût social d'un flux $f$ est la latence moyenne vécue par tout le trafic: $$ SC(f) = \sum_{e} f_e \cdot l_e(f_e) $$

Exemple

• Considérons un réseau avec deux nœuds $s$ et $t$, connectés par deux arêtes parallèles.
• Supposons qu'une arête ait une fonction de latence $l_1(x) = x$ et l'autre une fonction de latence $l_2(x) = 1$.
• Supposons qu'une unité de trafic doive voyager de $s$ à $t$.
• À l'équilibre de Wardrop, une fraction du trafic, disons $x$, utilisera la première arête et le trafic restant $1-x$ utilisera la seconde arête.
• Le coût de la première arête est $x$ et le coût de la seconde arête est $1$.
• Ainsi, nous devons avoir $x = 1$, donc tout le trafic utilisera la première arête.
• Le coût social sera $1 \cdot 1 = 1$.
• Cependant, si le trafic était routé pour minimiser le coût social, tout le trafic utiliserait la seconde arête.
• Alors, le coût social serait $1 \cdot 1 = 1$.

Paradoxe de Braess

• L'ajout d'arêtes à un réseau, bien qu'il puisse être amélioré, peut aggraver l'équilibre de Wardrop.

Prix de l'Anarchie

• Le prix de l'anarchie (PoA) est le rapport entre le coût social de l'équilibre le plus défavorable et le coût social du flux optimal. $$ PoA = \frac{\max_{f \in Equilibria} SC(f)}{\min_{f} SC(f)} $$

Lab 7 : VSEPR et Géométrie Moléculaire

• Objectifs du laboratoire:
• Utiliser la théorie VSEPR pour prédire les géométries moléculaires.
• Utiliser les géométries moléculaires pour prédire la polarité moléculaire.
• Relier la polarité moléculaire aux propriétés physiques.

Théorie VSEPR

• La théorie de la répulsion des paires d'électrons de la couche de valence (VSEPR) stipule que les paires d'électrons autour d'un atome central s'arrangeront minimiser la répulsion.
• Cet arrangement détermine la géométrie de la paire d'électrons.
• La géométrie moléculaire décrit l'arrangement des atomes, en ignorant les paires isolées.

Prédiction de la Géométrie Moléculaire

1. Dessiner la structure de Lewis.
2. Compter le nombre de groupes d'électrons (paires liantes et paires isolées) autour de l'atome central.
3. Déterminer la géométrie de la paire d'électrons qui minimise la répulsion.
4. Déterminer la géométrie moléculaire en se basant sur l'arrangement des atomes.
5. Esquisser la molécule en indiquant les angles de liaison et les moments dipolaires.

Polarité Moléculaire

• Une molécule est polaire si elle a des liaisons polaires et si les dipôles de liaison ne s'annulent pas en raison de la géométrie moléculaire.

Polarité et Propriétés Physiques

• Les molécules polaires présentent des forces intermoléculaires plus fortes, ce qui conduisant à des points de fusion et d'ébullition plus élevés et à une meilleure solubilité dans les solvants polaires.

Démarche

1. Réaliser le travail préparatoire.
2. Pour chaque molécule du tableau de données :

• Dessiner la structure de Lewis.
• Déterminer la géométrie des paires d'électrons et la géométrie moléculaire.
• Esquisser la molécule en indiquant les angles de liaison et les moments dipolaires.
• Déterminer si la molécule est polaire.

3. Répondre aux questions de post-laboratoire.

Tableau de Données

Questions Post-Labo

1. Comment la théorie VSEPR explique-t-elle les géométries moléculaires observées ?
2. Comment la géométrie moléculaire affecte-t-elle la polarité moléculaire ?
3. Comment la polarité moléculaire peut-elle être utilisée pour prédire les propriétés physiques ?
4. Toutes les molécules ayant des liaisons polaires sont-elles des molécules polaires ? Expliquer.
5. Pour $BeCl_2$, $BF_3$ et $CH_4$, comment leurs géométries expliquent-elles le fait qu’elles soient non polaires même si elles contiennent des liaisons polaires ?

Principe de Bernoulli

• Le principe de Bernoulli, découvert par Daniel Bernoulli au XVIIIe siècle, stipule que pour un flux non visqueux d'un fluide non conducteur, une augmentation de la vitesse du fluide se produit simultanément avec une diminution de la pression ou une diminution de l'énergie potentielle du fluide.

Équations

$\frac{v^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{constant}$

• $\frac{v^2}{2}$ = Terme d'énergie cinétique
• $gz$ = Terme d'énergie potentielle
• $\frac{p}{\rho}$ = Terme d'énergie de pression du fluide

Hypothèses

• Écoulement permanent
• Fluide incompressible
• Fluide non visqueux
• L'écoulement se fait le long d'une ligne de courant

Diagramme du Tube de Venturi

• L'image montre un diagramme d'un tube de Venturi, qui est un dispositif qui utilise le principe de Bernoulli pour mesurer le débit d'un fluide dans une canalisation.
• Le tube de Venturi se compose d'une section de canalisation qui se rétrécit, puis s'élargit à nouveau.
• Des manomètres sont installés avant le rétrécissement et dans la section la plus étroite.
• y: Hauteur
• P: Pression
• v: Vitesse
• Le diagramme illustre comment la vitesse du fluide augmente lorsqu'il traverse le rétrécissement, ce qui entraîne une chute de pression qui peut être mesurée et utilisée pour déterminer le débit.

Physique

Vecteurs

Somme de vecteurs

Méthode graphique

• Les vecteurs A et B sont placés l'un après l'autre, en conservant leur module, leur direction et leur sens.
• Le vecteur résultant R est obtenu en joignant l'origine du vecteur A à l'extrémité du vecteur B.

Méthode analytique

####### Composantes rectangulaires d'un vecteur

• Tout vecteur peut être considéré comme la somme de deux vecteurs perpendiculaires entre eux, appelés composantes du vecteur.

####### Trigonométrie

• $\sin \alpha = \frac{Cat. Opposé}{Hypoténuse}$
• $\cos \alpha = \frac{Cat. Adjacent}{Hypoténuse}$
• $\tan \alpha = \frac{Cat. Opposé}{Cat. Adjacent}$
• $R_x = R \cos \alpha$
• $R_y = R \sin \alpha$

####### Somme de vecteurs par la méthode des composantes

1. Les vecteurs sont décomposés en leurs composantes rectangulaires.
2. Les composantes de chaque axe sont additionnées. $R_x = A_x + B_x +... + N_x$ $R_y = A_y + B_y +... + N_y$
3. Le module du vecteur résultant est calculé. $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$
4. La direction du vecteur résultant est calculée. $\alpha = \arctan \frac{R_y}{R_x}$

Produit de vecteurs

Produit scalaire

• Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire qui est obtenu en multipliant les modules des vecteurs par le cosinus de l'angle qu'ils forment.

$\vec{A} \cdot \vec{B} = |A| |B| \cos \alpha$

Produit vectoriel

• Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur dont le module est obtenu en multipliant les modules des vecteurs par le sinus de l'angle qu'ils forment, sa direction est perpendiculaire au plan qui contient les vecteurs et son sens est déterminé par la règle de la main droite.

$\vec{A} \times \vec{B} = |A| |B| \sin \alpha \hat{n}$

MTH132 - Section 6.4

6. 4 : Longueur d'arc

Longueur d'arc

• Supposons qu'une courbe $C$ soit définie par la fonction : $y=f(x), a \leq x \leq b$ Longueur d'arc : $L=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} d x=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x$
• Si une courbe C est définie par la fonction : $x=g(y), c \leq y \leq d$ Longueur d'arc : $L=\int_{c}^{d} \sqrt{1+\left[g^{\prime}(y)\right]^{2}} d y=\int_{c}^{d} \sqrt{1+\left(\frac{d x}{d y}\right)^{2}} d y$

Exemple 1

• Trouver la longueur de l'arc de la parabole semi-cubique $y^{2}=x^{3}$ entre les points $(1,1)$ et $(4,8)$.
• Solution : Étant donné $y^{2}=x^{3}$, alors $y=x^{\frac{3}{2}}$ $\frac{d y}{d x}=\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$ $\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}=\left(\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=\frac{9}{4} x$ $L=\int_{1}^{4} \sqrt{1+\frac{9}{4} x} d x$
• Soit $u=1+\frac{9}{4} x$, alors $d u=\frac{9}{4} d x$, et $d x=\frac{4}{9} d u$ $x=1 \Rightarrow u=1+\frac{9}{4}=\frac{13}{4}$ $x=4 \Rightarrow u=1+\frac{9}{4}(4)=10$ $L=\int_{\frac{13}{4}}^{10} \sqrt{u} \cdot \frac{4}{9} d u=\frac{4}{9} \int_{\frac{13}{4}}^{10} u^{\frac{1}{2}} d u$ $=\frac{4}{9} \cdot\left[\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}\right]{\frac{13}{4}}^{10}=\frac{8}{27}\left[u^{\frac{3}{2}}\right]{\frac{13}{4}}^{10}$ $=\frac{8}{27}\left[10^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{13}{4}\right)^{\frac{3}{2}}\right]=\frac{8}{27}\left[10 \sqrt{10}-\frac{13}{8} \sqrt{13}\right]$

Chimie

Propriétés de la Matière

Matière:

• Tout ce qui a une masse et occupe un espace.

Composition:

• Les types et les quantités de substances plus simples qui la composent.

Propriétés:

• Les caractéristiques qui donnent à chaque substance une identité unique.

États de la Matière:

• Solide: A une forme et un volume fixes.
• Liquide: A un volume fixe mais prend la forme du récipient.
• Gaz: N'a ni forme ni volume fixes et remplit complètement le récipient.

Propriétés Physiques:

• Caractéristiques qu'une substance présente par elle-même, sans se transformer ou interagir avec une autre substance.
• Exemples:: point de fusion, point d'ébullition, densité, couleur, etc.

Propriétés Chimiques:

• Caractéristiques qu'une substance présente lorsqu'elle se transforme ou interagit avec une autre substance.
• Exemples: inflammabilité, corrosivité, réactivité avec les acides, etc.

Propriétés Extensives:

• Dépend de la quantité de substance.
• Exemples: masse, volume, énergie, etc.

Propriétés Intensives:

• Ne dépend pas de la quantité de substance.
• Exemples: densité, température, pression, etc.

Mesure

Chiffres Significatifs:

• Tous les chiffres non nuls sont significatifs
• Les zéros entre les chiffres non nuls sont significatifs.
• Les zéros au début d'un nombre ne sont jamais significatifs.
• Les zéros à la fin d'un nombre sont significatifs si le nombre contient un point décimal.

Calculs avec des chiffres significatifs:

• Multiplication et Division: La réponse contient le même nombre de chiffres significatifs que la mesure avec le moins de chiffres significatifs.
• Addition et Soustraction: La réponse a le même nombre de décimales qu'il y en a dans la mesure avec le moins de décimales.

Unités SI:

Conversions de Température:

• $K = °C + 273.15$
• $°C = \frac{5}{9} (°F - 32)$
• $°F = \frac{9}{5} (°C) + 32$

Densité:

• $Densité = \frac{Masse}{Volume}$

Gravité Spécifique:

• $Gravité Spécifique = \frac{Densité d'une Substance}{Densité de l'Eau}$

Techniques de Séparation

Filtration:

• Sépare un solide d'un liquide.

Distillation:

• Sépare les substances en fonction des différences de points d'ébullition.

Chromatographie:

• Sépare les substances en fonction des différences d'adsorption sur une phase stationnaire.