Theoretische Informatik III: Komplexitätstheorie

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Questions and Answers

Was verfolgt die Berechenbarkeitstheorie als Hauptziel?

Die Analyse von Algorithmusgeschwindigkeiten.

Die Bestimmung, ob Probleme prinzipiell lösbar sind. (correct)

Die Klassifizierung von Algorithmen nach verwendeter Programmiersprache.

Die Effizienz von Algorithmen in der Speicherplatznutzung.

Welches Element ist nicht Teil der Komplexitätstheorie?

Die mathematische Lösung von Gleichungen. (correct)

Prüfung der Unabhängigkeit von Programmiersprachen.

Bestimmung der Ressourcenanforderungen.

Laufzeitermittlung von Algorithmen.

Welche Aussage beschreibt das Rucksackproblem korrekt?

Es gibt nur eine begrenzte Anzahl an Gegenständen.

Der Wert und das Volumen der Gegenstände sind nicht ganzzahlig.

Der Dieb kann unbegrenzt viele Gegenstände eines Typs mitnehmen. (correct)

Alle Gegenstände haben denselben Wert.

Warum werden in der Komplexitätstheorie einheitenlose Zahlen verwendet?

Um die Auswirkungen von Hardwarekomponenten zu eliminieren. Signup and view all the answers

Welche Ressource wird in der Komplexitätstheorie nicht analysiert?

Verbrauch von Energie. Signup and view all the answers

Was ist die Kernfrage in der Komplexitätstheorie?

Wie schnell kann ein Algorithmus Probleme lösen? Signup and view all the answers

Welches der folgenden Probleme ist ein Beispiel für ein Entscheidungsproblem?

Die Frage, ob eine Turing-Maschine für alle Eingaben stoppt. Signup and view all the answers

Welche der folgenden Optionen ist kein Kriterium für die Analyse von Algorithmen in der Komplexitätstheorie?

Programmierungskomplexität. Signup and view all the answers

Was beschreibt die O-Notation in Bezug auf Funktionen?

Die Funktion wächst höchstens ebenso schnell wie eine andere Funktion. Signup and view all the answers

Welcher Aspekt ist für die O-Notation irrelevant?

Die relativen Werte der Funktionen für kleine Eingaben. Signup and view all the answers

Was sind Landau-Symbole und wofür werden sie verwendet?

Um die Wachstumsrate von Funktionen zu klassifizieren. Signup and view all the answers

Welche Aussage bezüglich der Konstante c in der O-Notation ist korrekt?

Sie ist beliebig wählbar und beeinflusst die Zugehörigkeit nicht. Signup and view all the answers

Was passiert mit der Funktion f(n) = 2n² im Vergleich zu g(n) = n³ für n > 2?

g(n) überholt f(n) und bleibt für alle n > 2 größer. Signup and view all the answers

Welche der folgenden Aussagen über die Menge O(g(n)) ist korrekt?

O(g(n)) beschreibt eine Klasse von Funktionen. Signup and view all the answers

Welche der folgenden Funktionen gehört nicht zu O(n²)?

h(n) = n³ Signup and view all the answers

Was beschreibt das Argument n → ∞ in der O-Notation?

Die Funktionen werden nur für asymptotisch große Eingaben betrachtet. Signup and view all the answers

Welcher Vorteil ergibt sich bei der Verwendung eines eindimensionalen Arrays zur Lösung des Rucksackproblems?

Reduziert den Speicherbedarf auf linear zu der Anzahl der Gegenstände. Signup and view all the answers

Was ist die Laufzeitkomplexität der iterativen Implementierung von knapsack(n)?

$O(m ⋅ n)$ Signup and view all the answers

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Rolle des zweiten Arrays 'items' in der vollständigen Implementierung des Rucksackproblems?

Es speichert, welcher Gegenstand zuletzt hinzugefügt wurde. Signup and view all the answers

Wie wird der optimale Auswahlprozess der Gegenstände im Rucksackproblem ermöglicht?

Indem das Volumen der gewählten Gegenstände subtrahiert wird. Signup and view all the answers

Wozu dient das O-Kalkül in der Analyse von Algorithmen?

Um Wachstumsfunktionen zu beschreiben und deren Komplexität zu analysieren. Signup and view all the answers

Wie viele Zwischenergebnisse sind für die Lösung des Rucksackproblems in der effizienten Implementierung erforderlich?

Nur das Ergebnis der letzten Iteration. Signup and view all the answers

Welche der folgenden Aussagen trifft auf den Speicherplatz der iterativen Implementierung des Rucksackproblems zu?

Die Speicherplatzkomplexität ist linear in Bezug auf die Anzahl der Elemente $n$. Signup and view all the answers

Welche Funktion hat das Array 'items' im kontext der optimalen Auswahl von Gegenständen?

Es ermöglicht die Identifikation der Auswahl der Gegenstände durch Rückverfolgen. Signup and view all the answers

Welches Kriterium wird beim BubbleSort verwendet, um Elemente zu tauschen?

Das aktuelle Element ist größer als der rechte Nachbar. Signup and view all the answers

In welchem Schritt von Mergesort wird der Stapel in zwei Teile geteilt?

Schritt 1: Teilen Signup and view all the answers

Welches Verfahren wird beim Mischen der Karten in Mergesort verwendet?

Ein Reißverschlussverfahren. Signup and view all the answers

Welches besondere Merkmal hat der Mergesort-Algorithmus?

Er arbeitet mit einer rekursiven Struktur. Signup and view all the answers

Was geschieht, wenn der Stapel in Mergesort nur aus einer Karte besteht?

Der Stapel wird sofort zurückgegeben. Signup and view all the answers

Wie viele Durchläufe sind im schlimmsten Fall erforderlich, um eine Liste von n Elementen mit BubbleSort zu sortieren?

$O(n^2)$ Signup and view all the answers

Welche der folgenden Aussagen beschreibt nicht korrekt den Mergesort-Algorithmus?

Er läuft in einer einzigen Iteration durch die gesamte Liste. Signup and view all the answers

Was geschieht nach dem Mischen der beiden Stapel in Mergesort?

Der Stapel wird dem Meister übergeben. Signup and view all the answers

Was beschreibt die Funktion $f_a : ℕ → ℝ+$ in Bezug auf Probleme?

Den Ressourcenverbrauch eines Algorithmus in Abhängigkeit von der Eingabelänge. Signup and view all the answers

Was bedeutet $P = Θ(g(n))$ in Bezug auf ein Problem $P$?

$P$ ist gleichläufig zu $g(n)$ sowohl in obere als auch in untere Richtung. Signup and view all the answers

Was ist eine Voraussetzung für die Aussage $f(n) = O(g(n))$?

Der Grenzwert von $f(n)/g(n)$ muss gegen 0 konvergieren, wenn $n$ gegen unendlich geht. Signup and view all the answers

Wie lässt sich die Grenzwertregel für zwei Funktionen $f$ und $g$ am besten beschreiben?

Wenn der Grenzwert $ lim_{n o ext{∞}} f(n)/g(n) = 0$ zeigt, dass $f(n)$ asymptotisch langsamer wächst als $g(n)$. Signup and view all the answers

Was ist der primäre Zweck der Definition von asymptotischer Komplexität zur Lösung von Problemen?

Die Schwierigkeit der Probleme selbst zu analysieren und nicht nur der Algorithmen. Signup and view all the answers

In welchem Fall würde man sagen, dass $P = Ω(g(n))$ gilt?

Es gibt ein $a ext{ in } A$, für das $f_a(n)$ asymptotisch größer oder gleich $g(n)$ ist. Signup and view all the answers

Was bedeutet eine konvergente Grenzwertregel von $f(n)/g(n)$ gegen einen konstanten Wert > 0?

Die beiden Funktionen haben dasselbe asymptotische Wachstum. Signup and view all the answers

Was ist der Grad eines Polynoms 𝑝, wenn 𝑎𝑘 > 0 gilt?

Er ist der höchste Exponent in der Polynomausdrück. Signup and view all the answers

Wie verhält sich die Funktion 𝑓 𝑛 + 𝑔(𝑛), wenn 𝑓 𝑛 = O(𝑔(𝑛))?

𝑓 𝑛 + 𝑔(𝑛) bleibt O(𝑔(𝑛)). Signup and view all the answers

Was besagt die Grenzwertregel für ein Polynom 𝑝 mit $𝑎𝑘 > 0$?

Der Grenzwert ist gleich 𝑎𝑘. Signup and view all the answers

Was ist eine in-place-Sortiermethode?

Eine Methode, die die Eingabesequenz direkt verarbeitet. Signup and view all the answers

Was bedeutet $O(log_a n)$ im O-Kalkül?

Es ist gleichwertig mit $O(log_b n)$ für beliebige Basen. Signup and view all the answers

Welcher Satz gilt über die Multiplikation im O-Kalkül?

Die Multiplikation mit einer Konstante verändert die Klasse nicht. Signup and view all the answers

Wann ist ein Polynom 𝑝(n) der Form $p(n) = a_k n^k + a_{k-1} n^{k-1} + ⋯ + a_1 n + a_0$ gleich Θ(n^k)?

Wenn $a_k > 0$ ist. Signup and view all the answers

Was beschreibt das asymptotische Wachstum von Polynomen?

Es beinhaltet die Entwicklung einer Funktion im Vergleich zu n. Signup and view all the answers

Study Notes

Komplexitätstheorie

Die Theorie befasst sich mit der Lösbarkeit von Problemen mittels Algorithmen.
Ziel ist es, zu bestimmen, welche Probleme prinzipiell lösbar und welche nicht lösbar sind.
Beispiele für untersuchte Probleme sind die Frage, ob eine Turing-Maschine für alle Eingaben stoppt.
Diese Theorie ist Teil der Vorlesung "Theoretische Informatik III".

Algorithmische Komplexität

Analysiert die Effizienz von Algorithmen in Bezug auf benötigte Ressourcen.
Es werden Fragen wie die Laufzeit und der Speicherplatzbedarf untersucht.
Die Relevanz für die Praxis ist die Bestimmung, ob Entscheidungsverfahren in der Praxis anwendbar sind.
Der Fokus liegt auf der Analyse des Ressourcenverbrauchs (Laufzeit und Speicherplatz).

Rucksackproblem

Ein Problem, bei dem ein Dieb versucht, seinen Rucksack optimal mit Gegenständen unterschiedlichsten Gewichts und Werten zu füllen.
Die Gegenstände haben unterschiedliche Werte und Volumina.
Die Aufgabe besteht darin, den maximalen Wert unter der Bedingung eines maximalen Gewichts zu erreichen.
Es werden Gegenstände jedes Typs angenommen und der Wert und Volumen der Gegenstände sind ganzzahlige Größen.

Rekursive Implementierung des Rucksackproblems

Die rekursive Implementierung basiert auf der Analyse von Teilproblemen und ihrer Zusammenführung.
Durch iterative Aufrufe wird die beste Kombination von Gegenständen ermittelt.
Die Laufzeit dieser Rekursion ist O(2ⁿ) und der Speicherplatzbedarf O(n).

Dynamische Programmierung zur Lösung des Rucksackproblems

Zerlegung des Problems in Teilprobleme zur Wiederverwendung.
Ergebnisse der Teilprobleme werden gespeichert.
Vermeidung redundanter Berechnungen.
Laufzeit: O(m*n)
Speicherplatz O(n)
Die Implementierung verwendet eine Tabelle, um Lösungen von Teilproblemen zu speichern und zu wiederverwenden, was zu einer erheblichen Effizienzsteigerung gegenüber rekursiven Ansätzen führt.

O-Notation

O(g(n)) beschreibt die obere Schranke einer Funktion f.
f(n) ist höchstens so schnell wie g(n) wächst.
O-Notation wird verwendet, um die Komplexität von Algorithmen zu beschreiben.
Sie fasst verschiedene Fälle in Äquivalenzklassen zusammen.
Nicht relevante konstante Faktoren, wie 2 x oder 10, werden ignoriert.
Es wird nach dem asymptotischen Verhalten für größere Eingaben gefragt.

Sortieren: BubbleSort

Ein Sortieralgorithmus, der benachbarte Elemente vergleicht und bei Bedarf vertauscht.
Die Sortierung erfolgt durch wiederholte Durchläufe von der Liste, wobei das größte Element nach rechts geschoben wird.
Die Laufzeit ist O(n²).

Sortieren: Mergesort

Ein effizienter Sortieralgorithmus, der in-place ist.
Teilt die zu sortierende Menge in kleinere Teilmengen auf.
Sortiert die Teilmengen rekursiv.
Fügt die sortierten Teilmengen zusammen.
Laufzeit O(n log n).

Weitere Themen

Komplexitätsbetrachtung mit verschiedenen Parametern (Laufzeit, Speicherplatz).
Unterschiedliche Lösungsansätze für Algorithmen (rekursiv, iterativ und dynamische Programmierung).
Weitere Sortierverfahren (Beispiel: quicksort).
Ein Vergleich von Sortierverfahren und Rechenkomplexität.

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Description

In diesem Quiz lernen Sie die Grundlagen der Komplexitätstheorie, die sich mit der Lösbarkeit von Problemen durch Algorithmen befasst. Es wird erörtert, welche Probleme prinzipiell lösbar sind und welche nicht. Zudem wird ein tieferer Einblick in das Rucksackproblem gegeben, und es werden wichtige Konzepte der algorithmischen Komplexität behandelt.