Théorème de Bayes: Probabilité et Inférence

• Le théorème de Bayes décrit la probabilité d'un événement basée sur des connaissances antérieures liées à cet événement.
• La formule du théorème de Bayes est exprimée comme suit : $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$.

Compréhension des termes

• $P(A|B)$ est la probabilité a posteriori de $A$, étant donné $B$.
• $P(B|A)$ est la probabilité a posteriori de $B$, étant donné $A$.
• $P(A)$ est la probabilité a priori de $A$.
• $P(B)$ est la probabilité a priori de $B$.

Déduction du théorème

• Si A et B sont des événements : $P(A \cap B) = P(A|B)P(B)$ et $P(B \cap A) = P(B|A)P(A)$.
• Puisque $A \cap B = B \cap A$, alors $P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)$.
• D'où la formule : $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$.

Exemple d'assurance accident

• Une compagnie d'assurances divise ses clients en deux groupes : les personnes sujettes aux accidents et celles qui ne le sont pas.
• Les personnes sujettes aux accidents ont une probabilité de 0,4 d'avoir un accident en un an, contre 0,2 pour les autres.
• Si 30% de la population est sujette aux accidents, la probabilité qu'un nouvel assuré ait un accident la première année est de 0,26.

Calcul de la probabilité d'un accident

• Soit A, être sujet aux accidents, et C, avoir un accident.
• $P(A) = 0,3$ (probabilité a priori d'être sujet aux accidents).
• $P(C|A) = 0,4$ (probabilité d'avoir un accident si sujet aux accidents).
• $P(A^c) = 0,7$ (probabilité a priori de ne pas être sujet aux accidents).
• $P(C|A^c) = 0,2$ (probabilité d'avoir un accident si non sujet aux accidents).
• Calcul : $P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|A^c)P(A^c) = (0,4)(0,3) + (0,2)(0,7) = 0,26$.

Probabilité a posteriori d'être sujet aux accidents

• Si un nouvel assuré a un accident la première année, la probabilité qu'il soit sujet aux accidents est d'environ 46,15%.
• Calcul avec le théorème de Bayes : $P(A|C) = \frac{P(C|A)P(A)}{P(C)} = \frac{(0,4)(0,3)}{0,26} \approx 0,4615$.