Теорема Піфагора: основи геометрії

• Теорема Піфагора – фундаментальна теорема евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника.

Формулювання теореми

• Теорема стверджує, що сума квадратів катетів (сторін, що утворюють прямий кут) дорівнює квадрату гіпотенузи (сторони, протилежної до прямого кута).
• Математично це виражається формулою: a² + b² = c², де a і b – катети, а c – гіпотенуза.

Історія

• Теорема була відома задовго до Піфагора, але саме Піфагору приписують перше доведення цієї теореми.
• Вавилоняни та єгиптяни використовували співвідношення сторін прямокутних трикутників для побудови прямих кутів у будівництві.
• Доведення теореми приписують Піфагору приблизно у VI столітті до нашої ери.

Доведення теореми

• Існує безліч різних доведень теореми Піфагора, від геометричних до алгебраїчних.
• Одне з найпростіших доведень ґрунтується на обчисленні площі квадрата двома різними способами.

Геометричне доведення

• Розглянемо квадрат зі стороною (a + b), де a і b – довжини катетів прямокутного трикутника.
• У цьому квадраті можна розмістити чотири рівні прямокутні трикутники з катетами a і b та гіпотенузою c.
• Площа квадрата може бути обчислена як (a + b)² = a² + 2ab + b².
• Площа квадрата також може бути обчислена як сума площ чотирьох трикутників (4 * (1/2)ab = 2ab) і площі внутрішнього квадрата зі стороною c (c²).
• Отже, a² + 2ab + b² = 2ab + c², з чого випливає, що a² + b² = c².

Алгебраїчне доведення

• Використовується алгебраїчний вираз для площі квадрата зі стороною (a+b), що містить чотири прямокутні трикутники.
• Записуємо площу як (a+b)² = c² + 4*(1/2ab).
• Розкриваємо дужки: a² + 2ab + b² = c² + 2ab.
• Звідси випливає: a² + b² = c².

Застосування теореми Піфагора

• Теорема Піфагора знаходить широке застосування в геометрії, тригонометрії, інженерії та фізиці.
• Використовується для обчислення відстаней, побудови прямих кутів, розв'язання задач на знаходження невідомих сторін трикутників.
• У будівництві використовується для розмітки прямих кутів при зведенні фундаментів і стін.
• У навігації застосовується для визначення відстаней і напрямків.
• В комп'ютерній графіці та іграх використовується для обчислення відстаней між об'єктами.

Піфагорові трійки

• Піфагорові трійки – це набори з трьох цілих чисел (a, b, c), які задовольняють рівняння a² + b² = c².
• Найвідоміша піфагорова трійка – (3, 4, 5), де 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².
• Інші приклади піфагорових трійок: (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25).
• Піфагорові трійки можуть бути отримані за допомогою формул: a = m² - n², b = 2mn, c = m² + n², де m і n – цілі числа, причому m > n.
• Якщо (a, b, c) є піфагоровою трійкою, то (ka, kb, kc) також є піфагоровою трійкою для будь-якого цілого числа k.

Узагальнення теореми Піфагора

• Теорема Піфагора справедлива тільки для прямокутних трикутників.
• Для гострокутних трикутників: c² < a² + b².
• Для тупокутних трикутників: c² > a² + b².
• Теорема косинусів узагальнює теорему Піфагора для довільних трикутників: c² = a² + b² - 2ab * cos(γ), де γ – кут між сторонами a і b.
• Якщо γ = 90°, то cos(γ) = 0, і теорема косинусів перетворюється на теорему Піфагора.

Значення теореми Піфагора

• Теорема Піфагора є однією з найважливіших теорем геометрії.
• Вона відіграє важливу роль у розвитку математики та її застосувань.
• Теорема демонструє зв'язок між алгеброю та геометрією.
• Є основою для багатьох інших теорем і концепцій.