Teorema e Bayes

• Teorema e Bayes përshkruan probabilitetin e një ngjarjeje bazuar në njohuritë e mëparshme të kushteve të lidhura me ngjarjen.

Shprehja Formale e Teoremës së Bayes

• Formula e Teoremës së Bayes: $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
• $P(A|B)$ tregon probabilitetin e $A$ kur $B$ është e vërtetë.
• $P(B|A)$ tregon probabilitetin e $B$ kur $A$ është e vërtetë.
• $P(A)$ dhe $P(B)$ janë probabilitetet e $A$ dhe $B$ përkatësisht.

Zbërthimi i Teoremës

• Probabiliteti i kushtëzuar: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ dhe $P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$.
• Duke qenë se $P(A \cap B) = P(B \cap A)$, atëherë $P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)$.
• Duke pjesëtuar të dyja anët me $P(B)$ zbërthehet Teorema e Bayes: $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$.

Shembull i Teoremës së Bayes

• Sëmundja prek 1% të popullatës.
• Testi është 99% i saktë (99% pozitiv nëse keni sëmundjen, 99% negativ nëse nuk e keni).
• $P(A)$ është probabiliteti për të pasur sëmundjen = 0.01.
• $P(B|A)$ është probabiliteti i një testi pozitiv, kur keni sëmundjen = 0.99.
• Gjetja e $P(A|B)$, probabiliteti i të pasurit sëmundjen, kur testi është pozitiv.
• Llogaritja e $P(B)$: $P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|¬A)P(¬A)$
• $P(¬A)$ është probabiliteti për të mos pasur sëmundjen = 0.99.
• $P(B|¬A)$ është probabiliteti i një testi pozitiv, me kusht që ju nuk keni sëmundjen = 0.01.
• $P(B) = (0.99 \times 0.01) + (0.01 \times 0.99) = 0.0198$.
• Aplikimi i Teoremës së Bayes: $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} = \frac{0.99 \times 0.01}{0.0198} = 0.5$
• Edhe nëse testi rezulton pozitiv, ka vetëm 50% gjasa që të keni sëmundjen.
• Kjo vjen sepse sëmundja është e rrallë (1% e popullatës) dhe testi ka një shkallë të vogël të rezultateve pozitive të rreme (1%).