Teorema de Pitágoras

• El teorema de Pitágoras es una relación fundamental en geometría euclidiana entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
• Afirma que el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los otros dos lados.
• Este teorema se puede escribir como una ecuación que relaciona las longitudes de los lados a, b y c, a menudo llamada ecuación de Pitágoras: a² + b² = c², donde c representa la longitud de la hipotenusa y a y b las longitudes de los otros dos lados del triángulo.

Historia

• El teorema lleva el nombre del antiguo matemático griego Pitágoras (c. 570 – c. 495 a. C.), a quien tradicionalmente se le atribuye su descubrimiento y demostración.
• Hay evidencia de que los matemáticos babilónicos también conocían esta relación siglos antes de Pitágoras.
• Es debatido si Pitágoras o sus estudiantes fueron los que probaron el teorema.
• Los babilonios habían usado las llamadas ternas pitagóricas para resolver problemas que involucraban triángulos rectángulos, lo que indica que tenían conocimiento del teorema, aunque no tuvieran una prueba teórica.
• El teorema de Pitágoras fue descubierto en una tablilla babilónica entre 1800-1600 AC.

Pruebas

• El teorema tiene muchas pruebas conocidas, posiblemente la mayor cantidad para cualquier teorema matemático.
• Estas pruebas son muy diversas, incluyendo tanto pruebas geométricas como algebraicas.

Consecuencias y usos del teorema de Pitágoras

• El teorema de Pitágoras es fundamental en la geometría euclidiana y sirve como base para la trigonometría.
• Permite calcular la longitud de un lado de un triángulo rectángulo si se conocen los otros dos.
• Es una herramienta esencial en la navegación, la arquitectura, la ingeniería y la topografía.
• El teorema se generaliza mediante el teorema del coseno, que permite calcular la longitud del tercer lado de cualquier triángulo conociendo dos lados y el ángulo entre ellos.
• Cuando el ángulo entre los otros dos lados es recto, el teorema del coseno se reduce al teorema de Pitágoras.

Ternas pitagóricas

• Una terna pitagórica consta de tres enteros positivos a, b y c, tales que a² + b² = c².
• En otras palabras, una terna pitagórica representa las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con lados enteros.
• El ejemplo más conocido es (3, 4, 5).
• Existen infinitas ternas pitagóricas, y se pueden generar utilizando una fórmula.
• Una terna pitagórica primitiva es aquella en la que a, b y c son coprimos (es decir, no tienen un factor común mayor que 1).

El inverso del teorema de Pitágoras

• El inverso del teorema de Pitágoras también es cierto: si las longitudes de los lados de un triángulo satisfacen a² + b² = c², entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.
• Este inverso es útil para determinar si un triángulo es rectángulo sin necesidad de medir sus ángulos.

Teorema de Pitágoras y la distancia euclidiana

• En un sistema de coordenadas cartesiano, la distancia entre dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) se calcula utilizando una fórmula derivada del teorema de Pitágoras: distancia = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
• Esta fórmula es una aplicación directa del teorema de Pitágoras en un plano cartesiano.

Generalizaciones

• El teorema de Pitágoras se puede generalizar a espacios de dimensiones superiores.
• En un espacio tridimensional, la longitud de la diagonal de un paralelepípedo rectangular se puede calcular utilizando una extensión del teorema.
• Para un espacio n-dimensional, la suma de los cuadrados de los lados es igual al cuadrado de la diagonal.