Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

• O teorema de Bayes descreve a probabilidade de um evento com base no conhecimento prévio de condições relacionadas ao evento.
• A fórmula é: $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
• $P(A|B)$ é a probabilidade a posteriori de A, dado que B é verdadeiro.
• $P(B|A)$ é a probabilidade de B, dado que A é verdadeiro.
• $P(A)$ é a probabilidade a priori de A.
• $P(B)$ é a probabilidade a priori de B.

Dedução do Teorema de Bayes

• Considere dois eventos A e B.
• $P(A \cap B) = P(B \cap A)$
• $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
• $P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$
• $P(A \cap B) = P(A|B)P(B)$
• $P(B \cap A) = P(B|A)P(A)$
• $P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)$
• $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

Exemplo do Teorema de Bayes

• Uma fábrica tem duas máquinas A e B, que produzem o mesmo produto.
• A máquina A produz 60% da produção total, enquanto a máquina B produz os 40% restantes.
• A máquina A produz 5% de produtos defeituosos, enquanto a máquina B produz 3%.
• Para calcular a probabilidade de um produto defeituoso ter sido produzido pela máquina A, é preciso definir os seguintes eventos:
  • A: o produto foi produzido pela máquina A
  • B: o produto foi produzido pela máquina B
  • D: o produto é defeituoso
• $P(A) = 0,6$
• $P(B) = 0,4$
• $P(D|A) = 0,05$
• $P(D|B) = 0,03$
• Para calcular $P(A|D)$, é preciso usar o teorema de Bayes: $P(A|D) = \frac{P(D|A)P(A)}{P(D)}$
• É necessário calcular $P(D)$, que é a probabilidade de um produto ser defeituoso.
• Usando a lei da probabilidade total: $P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) = 0,05 \times 0,6 + 0,03 \times 0,4 = 0,042$
• $P(A|D) = \frac{0,05 \times 0,6}{0,042} = 0,714$
• A probabilidade de um produto defeituoso ter sido produzido pela máquina A é de 71,4%.

Princípio de Bernoulli

• O princípio de Bernoulli afirma que um aumento na velocidade de um fluido ocorre simultaneamente com uma diminuição na pressão ou uma diminuição na energia potencial do fluido.
• $\boxed{P+\frac{1}{2} \rho V^2 + pgh = \text{constante}}$
• $P$ = Pressão do fluido
• $V$ = Velocidade do fluido
• $h$ = Altura do fluido
• $\rho$ = Densidade do fluido
• $g$ = Aceleração devido à gravidade

Aplicações do Princípio de Bernoulli

• Aviões usam o princípio de Bernoulli para criar sustentação.
• Um carburador usa o princípio de Bernoulli para atrair combustível para o motor.
• Um atomizador de perfume usa o princípio de Bernoulli para borrifar perfume.
• Um spoiler em um carro de corrida usa o princípio de Bernoulli para criar força descendente.
• Sustentação: $L = \frac{1}{2} \rho V^2 A C_L$
• $L$ = Elevador
• $\rho$ = Densidade do fluido
• $V$ = Velocidade do fluido
• $A$ = Área da asa
• $C_L$ = Coeficiente de sustentação

Exemplo de aplicação do Princípio de Bernoulli

• O ar flui sobre a superfície superior da asa de uma aeronave a uma velocidade de $120 \text{ m/s}$, e a superfície inferior a $110 \text{ m/s}$.
• A densidade do ar é de $1,3 \text{ kg/m}^3$, e a área da asa é de $20 \text{ m}^2$.
• Para determinar a força de sustentação na asa:
• $\begin{aligned} P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 &= P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2 \ \Delta P &= \frac{1}{2} \rho (V_1^2 - V_2^2) \ &= \frac{1}{2} \times 1.3 \times (120^2 - 110^2) \ &= 1592 \text{ Pa} \end{aligned}$
• $\begin{aligned} F &= \Delta P \times A \ &= 1592 \times 20 \ &= 31840 \text{ N} \end{aligned}$
• Para determinar o coeficiente de sustentação: $\begin{aligned} L &= \frac{1}{2} \rho V^2 A C_L \ 31840 &= \frac{1}{2} \times 1.3 \times 115^2 \times 20 \times C_L \ C_L &= 0.20 \end{aligned}$

Ácidos

• Em solução aquosa sofrem ionização, liberando como cátion, exclusivamente, o íon hidrônio ($H_3O^+$).
• Ex.: $HCl + H_2O \rightleftharpoons H_3O^+ + Cl^-$

Bases (ou Álcalis)

• Em solução aquosa sofrem dissociação iônica, liberando como ânion, exclusivamente, o hidróxido ($OH^-$).
• Ex.: $NaOH \rightarrow Na^+ + OH^-$

Indicadores Ácido-Base

• Substâncias que mudam de cor em função do pH do meio.
• Alguns indicadores:
  • Fenolftaleína: Incolor em meio ácido, rosa em meio básico.
  • Azul de bromotimol (BBT): Amarelo em meio ácido, azul em meio básico.
  • Alaranjado de metila: Vermelho em meio ácido, amarelo em meio básico.
  • Tornassol: Vermelho em meio ácido, azul em meio básico.

Força de ácidos e bases

• Grau de ionização ($\alpha$): porcentagem de moléculas que sofrem ionização em solução aquosa.
• Força dos hidrácidos: $HI > HBr > HCl >> HF$
• Oxiácidos: comparar o número de oxigênios que se ligam ao hidrogênio.
• Quanto maior a diferença entre o número de oxigênios e o número de hidrogênios ($\mathrm{n}^{\circ} \mathrm{O}-\mathrm{n}^{\circ} \mathrm{H}$), maior a força do ácido.
• $HClO_4 > H_2SO_4 > HNO_3 > HClO_3 > H_3PO_4 > HNO_2 > H_2CO_3 > H_3BO_3 > HClO$
• Força das bases: Metais alcalinos > Metais alcalinos terrosos > $NH_4OH$

Água

• Autoionização da água: $H_2O + H_2O \rightleftharpoons H_3O^+ + OH^-$
• Produto iônico da água ($K_w$): $K_w = [H_3O^+] \cdot [OH^-] = 10^{-14}$ (a 25 °C)
• Em água pura: $[H_3O^+] = [OH^-] = 10^{-7} \mathrm{mol} / \mathrm{L}$ (a 25 °C)

pH e pOH

• $pH = -\log [H_3O^+]$
• $pOH = -\log [OH^-]$
• $pH + pOH = 14$ (a 25 °C)
• Se $[H_3O^+] > [OH^-]$: solução ácida, $pH < 7$
• Se $[H_3O^+] = [OH^-]$: solução neutra, $pH = 7$
• Se $[H_3O^+] < [OH^-]$: solução básica, $pH > 7$

Titulação Ácido-Base

• Reação de neutralização: $H^+ + OH^- \rightarrow H_2O$
• Ponto de equivalência: número de mols de ácido é igual ao número de mols de base.
• $n_{\text{acido}} = n_{\text{base}}$
• $M_{\text{ácido}} \cdot V_{\text{acido}} = M_{\text{base}} \cdot V_{\text{base}}$
• M = concentração molar
• V = volume

Ligações Químicas

• Forças que mantêm os grupos de átomos unidos e os fazem funcionar como uma unidade.
• A energia da ligação é a energia necessária para quebrar uma ligação química

Tipos de Ligações Químicas

• Ligação iônica:
  • Os elétrons são transferidos.
  • Formam-se íons.
  • Mantidos unidos por fortes forças eletrostáticas.
    • Ocorre entre átomos com grandes diferenças de eletronegatividade
• Ligação covalente:

  • Os elétrons são compartilhados igualmente ou desigualmente.

    • Ocorre entre átomos com pequenas diferenças de eletronegatividade

  • Dois Tipos:

    • Ligação Covalente Polar: compartilhamento desigual
    • Ligação Covalente Não Polar: compartilhamento igual
• Ligação metálica:
  • Os elétrons são separados por toda a estrutura metálica.
  • Bons condutores de eletricidade

Polaridade da Ligação

• Ligação Covalente Não Polar: Os elétrons são compartilhados igualmente
  • A diferença de eletronegatividade entre dois átomos é zero
  • Exemplo: $Cl_2$
• Ligação Covalente Polar: Os elétrons são compartilhados desigualmente
  • Um átomo atrai elétrons mais fortemente do que o outro.
  • Resulta em uma carga negativa parcial ($δ−$) no átomo mais eletronegativo e uma carga positiva parcial ($δ+$) no átomo menos eletronegativo.
  • Exemplo: H-Cl

Eletronegatividade

• Habilidade de um átomo em uma molécula de atrair elétrons compartilhados para si mesmo.
  • Linus Pauling
  • Varia de 0,7 a 4,0
  • Tendências:
    • Aumenta ao longo de um período (da esquerda para a direita)
    • Diminui ao descer um grupo (de cima para baixo)
  • Quanto maior a diferença de eletronegatividade entre dois átomos, mais polar será a ligação.
  • Se a diferença for grande o suficiente, uma ligação iônica se formará.

Momentos de Dipolo

• Propriedade de uma molécula cuja distribuição de carga pode ser representada por um centro de carga positiva e um centro de carga negativa.
  • Indicado por uma seta apontando do positivo para o centro de carga negativo.
  • Uma medida quantitativa da polaridade de uma ligação.
  • Medido em debyes (D).

Comprimento e Energia da Ligação

• Comprimento da Ligação: Distância entre os núcleos de dois átomos ligados. Energia da Ligação: Energia necessária para quebrar uma ligação química

Modelos de Ligação Covalente

• Estruturas de Lewis: Mostra como os elétrons de valência são organizados entre os átomos em uma molécula.
• Modelo VSEPR (Repulsão de Pares de Elétrons da Camada de Valência): Prediz as formas das moléculas com base na ideia de que os pares de elétrons se repelem.
• Teoria da Ligação de Valência (VB): Descreve a formação de ligações covalentes como a sobreposição de orbitais atômicos.
• Teoria do Orbital Molecular (MO): Descreve a formação de ligações covalentes como a combinação de orbitais atômicos para formar orbitais moleculares, que são deslocalizados sobre toda a molécula.

Passos para Escrever Estruturas de Lewis

• Some os elétrons de valência de todos os átomos. Não se preocupe com qual átomo é central.
• Escreva os símbolos para os átomos para mostrar quais átomos estão ligados a quais, e conecte-os com uma única ligação (uma linha representando dois elétrons).
• Complete os octetos ao redor de todos os átomos ligados ao átomo central. Lembre-se da regra do octeto: cada átomo é cercado por 8 elétrons
• Coloque quaisquer elétrons restantes no átomo central
• Se não houver elétrons suficientes para dar ao átomo central um octeto, tente ligações múltiplas.

Exemplos de Estruturas de Lewis

• Água ($H_2O$)
  • 6 + 1 + 1 = 8 elétrons de valência
  • $H-O-H$
  • Adicione mais 4 elétrons ao oxigênio para completar seu octeto
  • $H-\underset{..}{O}-H$
• Dióxido de Carbono ($CO_2$)
  • 4 + 6 + 6 = 16 elétrons de valência
  • $O-C-O$
  • Complete os octetos nos oxigênios terminais
  • $\underset{..}{O} - C - \underset{..}{O}$
  • Adicione ligações duplas
  • $\underset{..}{O} = C = \underset{..}{O}$
• Amoníaco ($NH_3$)
  • 5 + 1 + 1 + 1 = 8 elétrons de valência
  • $H-N-H$
  • $| \ H$
  • Adicione mais dois elétrons ao nitrogênio para completar seu octeto
  • $H-\underset{..}{N}-H$
  • $| \ H$

Ressonância

• Mais de uma estrutura de Lewis válida pode ser escrita para uma molécula particular.
  • A estrutura real é uma média de todas as estruturas de ressonância.
  • Usado quando uma estrutura de Lewis não pode representar com precisão a molécula.
  • Indicado por uma seta de duas pontas entre as estruturas de ressonância.
• Exemplo: Ozônio ($O_3$)
  • 6 + 6 + 6 = 18 elétrons de valência
  • $O-O-O \leftrightarrow O-O-O$
  • $\underset{..}{|} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad ||$

Carga Formal

• A diferença entre o número de elétrons de valência no átomo livre e o número de elétrons de valência atribuídos ao átomo na molécula.
  • Carga Formal = (Elétrons de valência no átomo livre) - (Elétrons do par isolado) - 1/2(Elétrons de ligação)
  • Os átomos nas moléculas tentam alcançar cargas formais o mais próximo possível de zero
  • Quaisquer cargas formais negativas são esperadas estar nos átomos mais eletronegativos

Exceções à Regra do Octeto

• Menos do que um Octeto: Algumas moléculas têm átomos com menos de oito elétrons ao seu redor.
  • Trifluoreto de Boro ($BF_3$)
    • O Boro tem apenas 6 elétrons ao seu redor.
    • Composto muito reativo (Ácido de Lewis)
• Mais do que um Octeto: Algumas moléculas têm átomos com mais de oito elétrons ao seu redor.
  • Hexafluoreto de Enxofre ($SF_6$)
    • O Enxofre tem 12 elétrons ao seu redor.
    • Ocorre com elementos maiores no 3º período e além.

Forma Molecular

• Modelo VSEPR: A estrutura ao redor de um determinado átomo é determinada principalmente minimizando as repulsões do par de elétrons.
  • Os pares de elétrons são dispostos o mais distante possível ao redor do átomo central.
  • Os pares de elétrons podem ser de ligação ou não de ligação (pares isolados).
  • Os pares isolados repelem mais fortemente do que os pares de ligação.
• Linear
  • $BeCl_2$
  • Ângulo de ligação: 180°
• Trigonal Planar
  • $BF_3$
  • Ângulo de ligação: 120°
• Tetraédrica
  • $CH_4$
  • Ângulo de ligação: 109,5°
• Piramidal
  • $NH_3$
  • Ângulo de ligação: 107°
• Dobrada
  • $H_2O$
  • Ângulo de ligação: 104,5°

Hibridização

• Mistura de orbitais atômicos para formar novos orbitais híbridos adequados para a ligação.
  • Hibridização $sp^3$: Arranjo Tetraédrico
    • Um orbital s e três orbitais p são misturados para formar quatro orbitais híbridos $sp^3$.
    • Exemplo: $CH_4$
  • Hibridização $sp^2$: Arranjo Trigonal Planar
    • Um orbital s e dois orbitais p são misturados para formar três orbitais híbridos $sp^2$.
    • Exemplo: $BF_3$
  • Hibridização sp: Arranjo Linear
    • Um orbital s e um orbital p são misturados para formar dois orbitais híbridos sp.
    • Exemplo: $BeCl_2$

Ligações Sigma e Pi

• Ligação Sigma (σ): Ligação na qual a densidade de elétrons é concentrada ao longo do eixo internuclear.
• Ligação Pi (π): Ligação na qual a densidade de elétrons é concentrada acima e abaixo do eixo internuclear.
• Ligação Simples: 1 ligação σ
• Ligação Dupla: 1 ligação σ + 1 ligação π
• Ligação Tripla: 1 ligação σ + 2 ligações π

Teoria do Orbital Molecular

• Descreve a formação de ligações covalentes como a combinação de orbitais atômicos para formar orbitais moleculares, que são deslocalizados sobre toda a molécula.
  • Orbital Molecular de Ligação: Menor em energia do que os orbitais atômicos dos quais é formado.
  • Orbital Molecular Antiligante: Maior em energia do que os orbitais atômicos dos quais é formado.

Pesquisa

• Um processo de investigação sistemática que envolve a coleta de dados; documentação de informações críticas; análise e interpretação desses dados / informações, de acordo com metodologias adequadas definidas por campos profissionais específicos e disciplinas acadêmicas.

Propósito da Pesquisa

• Explorar e entender um tópico
• Organizar e sintetizar informações
• Avaliar criticamente as informações
• Comunicar informações
• Expandir a compreensão

Processo de Pesquisa

1. Identifique um Problema: Que pergunta precisa ser respondida?
2. Revise as Pesquisas Existentes: O que os outros descobriram?
3. Formule uma Hipótese: O que você espera encontrar?
4. Projete a Pesquisa: Como você testará sua hipótese?
5. Colete Dados: Implementando o projeto
6. Analise os Dados: O que os dados significam?
7. Tire Conclusões: Quais são as implicações de suas descobertas?
8. Compartilhe os Resultados: Publicação

Tipos de Pesquisa

• Básica vs. Aplicada: Descoberta vs. aplicação prática
• Qualitativa vs. Quantitativa: Dados descritivos vs. numéricos
• Exploratória vs. Explicativa: Investigação inicial vs. causa e efeito

Métodos de Pesquisa

• Experimentos: Testando causa e efeito
• Pesquisas: Coletando opiniões e informações
• Entrevistas: Dados qualitativos aprofundados
• Observações: Estudando o comportamento em ambientes naturais
• Estudos de Caso: Análise aprofundada de uma única instância
• Análise de Conteúdo: Analisando texto ou mídia

Avaliando a Pesquisa

• Credibilidade: Fonte e experiência do autor
• Precisão: Correção factual
• Relevância: Pertinência à sua pergunta de pesquisa
• Objetividade: Falta de preconceito
• Moeda: Pontualidade da informação

Ética em Pesquisa

• Consentimento Informado: Os participantes conhecem os riscos / benefícios
• Confidencialidade: Protegendo os dados dos participantes
• Integridade: Honestidade na coleta e relato de dados
• Evite o Plágio: Dando crédito onde é devido

Produtividade da Pesquisa

• Relatórios: Resumindo as descobertas
• Artigos: Publicações acadêmicas revisadas por pares
• Apresentações: Compartilhando descobertas em conferências
• Teses / Dissertações: Projetos de pesquisa abrangentes

Estatística

• Descreve e resume as características de um conjunto de dados.

Estatísticas Descritivas

• Medidas de Tendência Central:
  • Média: Valor médio
  • Mediana: Valor do meio
  • Modo: Valor mais frequente
• Medidas de Dispersão:
  • Intervalo: Diferença entre os valores máximo e mínimo
  • Variância: Desvio médio ao quadrado da média
    • $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{N}$
  • Desvio Padrão: Raiz quadrada da variância
  • $\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{N}}$

Estatística Inferencial

• Faça previsões ou inferências sobre uma população com base em uma amostra de dados.
• Teste de Hipóteses: - Hipótese Nula ($H_0$): Sem efeito ou diferença - Hipótese Alternativa ($H_1$): Efeito ou diferença existe - Valor p: Probabilidade de observar resultados tão extremos quanto, ou mais extremos do que, os resultados observados se a hipótese nula for verdadeira
• Testes T: Compare as médias de dois grupos
• ANOVA (Análise de Variância): Compare as médias de três ou mais grupos - Análise de Regressão: Modele a relação entre as variáveis - Regressão Linear Simples: $\hat{y} = b_0 + b_1x$

Ferramentas de Pesquisa

Onde Encontrar Informações

Ferramentas Para Análise de Dados

• SPSS: Software estatístico para análise de dados
• R: Linguagem de programação e ambiente para computação estatística e gráficos
• Excel: Software de planilha com funções estatísticas básicas
• Python (com bibliotecas como Pandas, NumPy, SciPy): Linguagem de programação para análise de dados e aprendizado de máquina
• Tableau: Ferramenta de visualização de dados
• SAS: Software estatístico para análise de dados e inteligência de negócios

Gerenciamento de Citações

• Zotero: Ferramenta gratuita e fácil de usar para coletar, organizar, citar e compartilhar a pesquisa
• Mendeley: Gerenciador de referência e rede social acadêmica
• EndNote: Software gerenciador de referência comercial

Outras Ferrameentas

• Google Docs / Microsoft Word: Escrita e colaboração
• Overleaf / LaTeX: Composição para documentos científicos
• Software de Apresentação (por exemplo, PowerPoint, Google Slides): Apresentando pesquisa
• SurveyMonkey / Google Forms: Criando e conduzindo pesquisas de pesquisa
• Software de Transcrição (por exemplo, Otter.ai): Transcrição de fala para texto.

Análise de Variância (ANOVA)

• A análise de variância (ANOVA) é uma coleção de modelos estatísticos e seus procedimentos associados nos quais a variância observada em uma determinada variável é dividida em componentes atribuíveis a diferentes fontes de variação.
• Em sua forma mais simples, a ANOVA fornece um teste estatístico de se as médias de vários grupos são iguais e, portanto, generaliza o teste t para mais de dois grupos.

Ideias básicas da ANOVA

Teste a diferença entre várias médias populacionais

• $H_0$: $\mu_1 = \mu_2 =... = \mu_k$ - $H_a$: Pelo menos duas médias populacionais são diferentes

Hipóteses da ANOVA

• A hipótese nula: Todas as médias da população são iguais.
  • A hipótese alternativa: Pelo menos uma média da mesma população é diferente das outras médias.

Premissas da ANOVA

• As populações são normalmente distribuídas. - As populações têm a mesma variância (ou desvio padrão).
  • Os dados são independentes.

ANOVA Unidirecional

• A ANOVA unidirecional é usada para comparar as médias de dois ou mais grupos usando um fator.

Modelos

Modelos

• $x_{ij} = \mu + \alpha_i + \epsilon_{ij}$
• Onde:
  • $x_{ij}$ é a j-ésima observação no i-ésimo grupo - $\mu$ é a média geral
    • $\alpha_i$ é o efeito do i-ésimo grupo
    • $\epsilon_{ij}$ é o erro aleatório

Tabela ANOVA

• k é o número de grupos
• N é o número total de observações
• SSB é a soma dos quadrados entre os grupos
• SSW é a soma dos quadrados dentro dos grupos
• SST é a soma total dos quadrados
• MSB é o quadrado médio entre os grupos
• MSW é o quadrado médio dentro dos grupos

Fórmulas da Soma dos Quadrados

• $SST = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (x_{ij} - \bar{x})^2$
• $SSB = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{x}_i - \bar{x})^2$
• $SSW = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (x_{ij} - \bar{x}_i)^2$ Onde o que vem a seguir é:
• $n_i$ é o número de observações no i-ésimo grupo - $\bar{x}_i$ é a média amostral do i-ésimo grupo
• $\bar{x}$ é a média amostral geral

Estatística F

• A estatística F é usada para testar a hipótese nula que todas as médias populacionais são iguais. É calculada como:
• $F = \frac{MSB}{MSW}$
• Se a estatística F for grande o suficiente, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que pelo menos uma média populacional é diferente das outras médias.

Bandas de energia

• A formação de bandas de energia.

Níveis de energia dos átomos isolados.

• Considere N átomos isolados, cada um com a mesma configuração eletrônica.
• • Cada átomo possui os mesmos níveis de energia discretos.
• Quando os átomos são reunidos, a interação entre eles faz com que os níveis de energia se dividam e se alarguem formando bandas.

Bandas de energia em sólidos

• Em um sólido, os átomos são arranjados em uma rede regular.
• A interação entre os átomos é forte, e os níveis de energia se dividem em um grande número de níveis estreitamente espaçados, formando uma banda.
• A largura da banda depende da intensidade da interação entre os átomos.
• As bandas de energia são separadas por lacunas, que são regiões de energia proibida.
• Os elétrons em um sólido podem ocupar apenas níveis de energia dentro das bandas permitidas. Origem da lacuna de energia Exemplo: Considere os níveis de energia do átomo de hidrogênio. A energia potencial de um elétron em um átomo de hidrogênio é dada por:

$V(r) = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0r}$

Onde:

• e é a carga do elétron
• $\epsilon_0$ é a permissividade do espaço livre
• r é a distância entre o elétron e o núcleo Os níveis de energia do átomo de hidrogênio são dados por:
• $E_n = -\frac{13.6}{n^2} eV$
• Onde n é o número quântico principal.

Quando dois átomos de hidrogênio são reunidos, a interação entre eles faz com que os níveis de energia se dividam em dois níveis: um nível de ligação e um nível antiligante. O nível de ligação é menor em energia que o nível atômico original, enquanto o nível antiligante é maior em energia. A diferença de energia entre os níveis de ligação e antiligante é chamada de lacuna de energia.

Modelo de Kronig-Penney

Premissas:

A energia potencial de um elétron em uma rede unidimensional é uma função periódica da posição. A energia potencial é zero dentro dos átomos e $V_0$ entre os átomos. A largura da barreira potencial é b, e a constante de rede é $= b + w$, onde w é a largura do átomo.

Equações de Schrödinger:

A equação de Schrödinger para um elétron nesse potencial é:

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x)$

Onde o que vem a seguir é: