Teorema de Bayes: Probabilidade Condicional

• O Teorema de Bayes descreve a probabilidade de um evento baseado no conhecimento prévio de condições relacionadas.

Definição Formal

• A fórmula do Teorema de Bayes é expressa como: $P(A \mid B)=\frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}$

Componentes da Fórmula

• $P(A \mid B)$ representa a probabilidade a posteriori de A, dado que B é verdadeiro.
• $P(B \mid A)$ representa a probabilidade de B, dado que A é verdadeiro.
• $P(A)$ representa a probabilidade a priori de A.
• $P(B)$ representa a probabilidade a priori de B.

Dedução do Teorema

• O teorema é derivado dos axiomas da probabilidade condicional:
  • $P(A \cap B)=P(A \mid B) P(B)$
  • $P(B \cap A)=P(B \mid A) P(A)$
• Como $A \cap B=B \cap A$, temos $P(A \mid B) P(B)=P(B \mid A) P(A)$.
• Daí, a fórmula é expressa como $P(A \mid B)=\frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}$.

Exemplo prático

• Exemplo: Teste para detectar uma doença.
• Um teste tem 99% de acerto, e a doença tem uma incidência de 0,1%.
• Determinar a probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado que o teste deu positivo.

Solução do Exemplo

• Defina D como o evento "a pessoa tem a doença", e T como o evento "o teste deu positivo".
• Informações dadas:
  • $P(D) = 0,001$ (probabilidade a priori de ter a doença)
  • $P(T \mid D) = 0,99$ (probabilidade de o teste dar positivo se a pessoa tem a doença)
  • $P(T \mid \neg D) = 0,01$ (probabilidade de o teste dar positivo se a pessoa não tem a doença)
• O objetivo é calcular $P(D \mid T)$.
• Usando o teorema de Bayes: $P(D \mid T) = \frac{P(T \mid D) \cdot P(D)}{P(T)}$

Cálculo de $P(T)$

• É necessário calcular $P(T)$ usando a lei da probabilidade total:
  • $P(T) = P(T \mid D) \cdot P(D) + P(T \mid \neg D) \cdot P(\neg D)$
  • $P(T) = 0,99 \cdot 0,001 + 0,01 \cdot 0,999 = 0,01098$

Cálculo Final

• Calcular $P(D \mid T)$: $P(D \mid T) = \frac{0,99 \cdot 0,001}{0,01098} \approx 0,08998$
• Resultado: A probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado que o teste deu positivo, é de aproximadamente 9%.

Este recurso aborda o Teorema de Bayes, fundamental na teoria das probabilidades. Explora a fórmula, seus componentes e a dedução do teorema. Inclui um exemplo prático de teste para detectar uma doença.