Teorema de Bayes: Probabilidade Condicional

Teorema de Bayes

• Descreve a probabilidade de um evento com base em conhecimento prévio de condições relacionadas.
• Sua fórmula é: $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
• $P(A|B)$: probabilidade condicional de A ocorrer, dado que B é verdadeiro.
• $P(B|A)$: probabilidade condicional de B ocorrer, dado que A é verdadeiro.
• $P(A)$ e $P(B)$: probabilidades de A e B ocorrerem independentemente.

Dedução do Teorema de Bayes

• Decorre da definição de probabilidade condicional: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ e $P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$
• $P(A \cap B)$ é a probabilidade de ambos os eventos A e B ocorrerem.
• Como $P(A \cap B) = P(B \cap A)$, igualamos as equações para obter o Teorema de Bayes.

Aplicações

• Medicina: Cálculo da probabilidade de uma doença dado sintomas.
• Finanças: Avaliação do risco de um investimento.
• Aprendizado de máquina: Construção de classificadores bayesianos.
• Filosofia: Epistemologia Bayesiana.

Exemplo

• Um teste com 99% de precisão aplicado a uma doença com baixa prevalência resulta em uma probabilidade de apenas 9.01% de ter a doença após um teste positivo.
  • A = "A pessoa tem a doença"
  • B = "O teste é positivo"
  • $P(A)$ = 0.001 (prevalência da doença na população)
  • $P(B|A)$ = 0.99 (sensibilidade do teste)
  • $P(B|\neg A)$ = 0.01 (taxa de falso positivo)
  • Resolve a seguinte equação: $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A) + P(B|\neg A)P(\neg A)}$

Lei de Planck

• Descreve a densidade espectral da radiação eletromagnética emitida por um corpo negro em equilíbrio térmico.
• É um conceito fundamental na mecânica quântica.

Fórmula da Lei de Planck

• $B(\nu, T) = \frac{2h\nu^3}{c^2} \frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}$
  • $B(\nu, T)$: radiância espectral
  • $\nu$: frequência da radiação
  • T: temperatura absoluta do corpo negro
  • c: velocidade da luz no vácuo
  • h: constante de Planck
  • k: constante de Boltzmann

Principais Conclusões da Lei de Planck

• Quantização de Energia: Propôs que a energia é emitida em pacotes discretos (quanta), base da mecânica quântica.
• Explica a Radiação do Corpo Negro: Descreve o espectro da radiação emitida, resolvendo a catástrofe do ultravioleta.
• Dependência da Temperatura: A energia emitida aumenta com a temperatura, e o pico do espectro de emissão desloca-se para frequências mais altas.
• Lei Universal: Depende apenas da temperatura do corpo negro, não de suas propriedades materiais ou de superfície.
• Aplicações: Crucial em astrofísica, engenharia térmica e campos relacionados à transferência de calor e radiação.

Gráfico da Lei de Planck

• O gráfico mostra a radiância espectral de um corpo negro em função da frequência para diferentes temperaturas.
• Com o aumento da temperatura, o pico da radiância espectral se desloca para frequências mais altas e a quantidade total de radiação aumenta.
• O eixo y representa a radiância espectral, e o eixo x representa a frequência.