Teorema de Bayes: Probabilidade Condicional

Teorema de Bayes

• Descreve a probabilidade de um evento com base em conhecimento prévio das condições relacionadas.
• A fórmula é: $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$.
• $P(A|B)$: Probabilidade condicional de A dado B.
• $P(B|A)$: Probabilidade condicional de B dado A.
• $P(A)$: Probabilidade a priori de A.
• $P(B)$: Probabilidade a priori de B.

Dedução do Teorema

• Probabilidade condicional é definida como $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ e $P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$.
• $P(A \cap B)$ é a probabilidade de ambos A e B ocorrerem.
• Como $P(A \cap B) = P(B \cap A)$, as equações podem ser reescritas como $P(A \cap B) = P(A|B)P(B)$ e $P(B \cap A) = P(B|A)P(A)$.
• Igualando as expressões, obtemos $P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)$.
• Dividindo ambos os lados por $P(B)$, chegamos a $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$.

Exemplo

• Doença afeta 1% da população.
• Teste tem 95% de precisão quando a pessoa tem a doença e 90% quando não tem.
• Se o teste der positivo, a probabilidade de realmente ter a doença é calculada usando o teorema de Bayes.
• $P(Doença) = 0.01$.
• $P(Saudável) = 0.99$.
• $P(Positivo|Doença) = 0.95$.
• $P(Positivo|Saudável) = 0.10$.
• $P(Doença|Positivo) = \frac{P(Positivo|Doença)P(Doença)}{P(Positivo)}$.
• $P(Positivo) = P(Positivo|Doença)P(Doença) + P(Positivo|Saudável)P(Saudável)$.
• $P(Positivo) = (0.95 \times 0.01) + (0.10 \times 0.99) = 0.1085$.
• $P(Doença|Positivo) = \frac{0.95 \times 0.01}{0.1085} \approx 0.0875$.
• Portanto, se o teste der positivo, a probabilidade de realmente ter a doença é de 8.75%.

Processos Radiativos

Coeficientes de Einstein

• Dois níveis atômicos $E_1 < E_2$ com pesos estatísticos $g_1$ e $g_2$.
• $n_1$ = densidade numérica de átomos no nível 1.
• $n_2$ = densidade numérica de átomos no nível 2.

Processos Radiativos

• Emissão espontânea:
  • $A_{21}$ = Coeficiente A de Einstein = probabilidade por unidade de tempo para emissão espontânea.
  • $\frac{dn_2}{dt} = -A_{21}n_2$.
• Absorção:
  • $B_{12} \overline{J}$ = probabilidade por unidade de tempo para absorção.
  • $\frac{dn_1}{dt} = -B_{12}n_1 \overline{J}$.
  • $\overline{J}$ é a intensidade média do campo de radiação: $\overline{J} = \int \phi(\nu) J(\nu) d\nu$.
    • $\phi(\nu)$ é a função de perfil de linha, normalizada para unidade: $\int \phi(\nu) d\nu = 1$.
• Emissão estimulada:
  • $B_{21} \overline{J}$ = probabilidade por unidade de tempo para emissão estimulada.
  • $\frac{dn_2}{dt} = -B_{21}n_2 \overline{J}$.

Termodinâmica

• Em equilíbrio termodinâmico, as taxas de mudança populacional devem ser zero.
• $0 = A_{21}n_2 + B_{21}n_2 \overline{J} - B_{12}n_1 \overline{J}$.
  • $\overline{J} = \frac{A_{21}n_2}{B_{12}n_1 - B_{21}n_2} = \frac{A_{21}/B_{21}}{(B_{12}n_1/B_{21}n_2) - 1}$.
• Em equilíbrio termodinâmico, as populações são dadas pela distribuição de Boltzmann: $\frac{n_1}{n_2} = \frac{g_1}{g_2} e^{\frac{h\nu}{kT}}$.
  • $\overline{J} = \frac{A_{21}/B_{21}}{(B_{12}g_1/B_{21}g_2)e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1}$.
• Também em equilíbrio termodinâmico, $\overline{J} = B_{\nu}(T) = \frac{2h\nu^3}{c^2} \frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}$.
• Portanto:
  • $\frac{A_{21}}{B_{21}} = \frac{2h\nu^3}{c^2}$.
  • $\frac{B_{12}g_1}{B_{21}g_2} = 1 \implies g_1 B_{12} = g_2 B_{21}$.
• Os coeficientes de Einstein não dependem do equilíbrio termodinâmico, são propriedades atômicas.

Equação de Transferência Radiativa

• $\frac{dI_{\nu}}{ds} = j_{\nu} - \alpha_{\nu}I_{\nu}$
  • $I_{\nu}$ = intensidade específica
  • $s$ = comprimento do caminho
  • $j_{\nu}$ = coeficiente de emissão = energia emitida por unidade de tempo, por unidade de ângulo sólido, por unidade de volume, por unidade de frequência.
  • $\alpha_{\nu}$ = coeficiente de absorção = fração da intensidade removida por unidade de comprimento.

Coeficiente de Emissão

• $j_{\nu} = \frac{h\nu}{4\pi} n_2 A_{21} \phi(\nu)$

Coeficiente de Absorção

• $\alpha_{\nu} = \frac{h\nu}{4\pi} \phi(\nu) [n_1 B_{12} - n_2 B_{21}]$.
• O termo $n_2 B_{21}$ é a emissão estimulada, chamada de absorção negativa.

Função Fonte

• $S_{\nu} = \frac{j_{\nu}}{\alpha_{\nu}} = \frac{n_2 A_{21}}{n_1 B_{12} - n_2 B_{21}} = \frac{A_{21}/B_{12}}{(n_1/n_2) - (B_{21}/B_{12})}$.
• $S_{\nu} = \frac{A_{21}/B_{21}}{(n_1 g_2/n_2 g_1) - 1}$.
• Em equilíbrio termodinâmico: $S_{\nu} = \frac{2h\nu^3}{c^2} \frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} = B_{\nu}(T)$.

Algoritmos de Ordenação

Complexidade

• Mede o número de operações necessárias para ordenar uma lista de n elementos.
• Considera o melhor, pior e a complexidade média.
• Notação de Landau (Big O) expressa a complexidade.

Triagem

Por Inserção

• Percorre a lista, inserindo cada elemento na posição correta na parte já ordenada.
• Complexidade:
  • Melhor caso: O(n)
  • Pior caso: O(n^2)
  • Média: O(n^2)

Seleção

• Encontra o menor elemento e troca com o primeiro; repete para os elementos restantes.
• Complexidade:
  • Melhor caso: O(n^2)
  • Pior caso: O(n^2)
  • Média: O(n^2)

Bolha

• Compara elementos adjacentes e os troca se estiverem fora de ordem; repete até não haver trocas.
• Complexidade:
  • Melhor caso: O(n)
  • Pior caso: O(n^2)
  • Média: O(n^2)

Rápido (Quicksort)

• Algoritmo recursivo; escolhe um pivô, particiona a lista em sublistas menores e maiores que o pivô, e ordena recursivamente as sublistas.

Complexidade Algorítmica

• Mede a quantidade de recursos (tempo e espaço) necessários para resolver um problema de tamanho específico.
• A notação Big O, que descreve um limite superior da taxa de crescimento do uso de recursos.

Complexidade de Tempo

• Refere-se à quantidade de tempo que um algoritmo precisa para ser executado como uma função do tamanho da entrada.
• Expressa usando a notação Big O, que ignora fatores constantes e termos de ordem inferior.

Complexidade de Espaço

• Refere-se à quantidade de memória que um algoritmo precisa para executar como uma função do tamanho da entrada.
• Também expressa usando a notação Big O.

Transformada de Fourier

Motivação

• Exemplo 1:
  • Dada uma função f(t) definida como 1 para |t| < T e 0 para |t| > T.
  • f(t) pode ser escrita como uma série de Fourier.
  • $f(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n e^{in\omega_0t}$.
  • $\omega_0 = \frac{\pi}{T}$ e $c_n = \frac{\sin(n\omega_0T)}{n\omega_0T}$.
  • Quando $T \rightarrow \infty$, $\omega_0 \rightarrow 0$, a soma torna-se uma integral.
• Exemplo 2:
  • Dado um trem de pulso $f(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} \Pi (t - nT)$.
  • $\Pi(t) = 1$ para $|t| < \frac{1}{2}$ e $\Pi(t) = 0$ para $|t| > \frac{1}{2}$.
  • f(t) pode ser escrita como: $f(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n e^{in\omega_0t}$, onde $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$.
  • $c_n = \frac{1}{T} \int_{-1/2}^{1/2} e^{-in\omega_0t} dt = \frac{1}{T} sinc(\frac{n\omega_0}{2\pi})$.

Definição

• A transformada de Fourier de uma função f(t) é definida como: $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt = |F(\omega)| e^{j \phi(\omega)}$.
  • $|F(\omega)|$ é a magnitude de $F(\omega)$.
  • $\phi(\omega)$ é a fase de $F(\omega)$.

Transformada Inversa de Fourier

• A transformada inversa de Fourier de $F(\omega)$ é definida como: $f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega$.

Existência

• A transformada de Fourier existe se: $\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)| dt < \infty$.

Exemplo

• Considere a função: $f(t) = e^{-at}u(t)$
  • $a > 0$ e $u(t)$ é a função degrau unitário.
  • A tranformada de Fourier de f(t) é: $F(\omega) = \frac{1}{a + j\omega}$.
  • $|F(\omega)| = \frac{1}{\sqrt{a^2 + \omega^2}}$.
  • $\phi(\omega) = -\arctan(\frac{\omega}{a})$.

Física 8-5: Diagramas de Energia Potencial e Conservação da Energia

Diagramas de Energia Potencial

Gráficos de Energia Potencial

• Podemos aprender muito sobre o movimento de um objeto, representando graficamente a energia potencial U em função da posição x.

Força e Energia Potencial

• A força é a derivada negativa da função de energia potencial: $F_x = -\frac{dU}{dx}$.
• A força é a inclinação negativa do gráfico U vs x.

Equilíbrio

• Equilíbrio: quando $F_{net} = 0$.
• Em diagramas de energia potencial, o equilíbrio ocorre quando a inclinação é zero.
• Equilíbrio Estável: pequena perturbação resulta em força que empurra de volta ao equilíbrio. Estes pontos estão no fundo dos "poços" de energia potencial.
• Equilíbrio Instável: pequena perturbação resulta em força que afasta do equilíbrio. Estes pontos estão no topo das "colinas" de energia potencial.

Conservação de Energia

• A energia é sempre conservada.
• Força Conservadora: O trabalho realizado pela força é independente do caminho.
  • Gravidade, força da mola.
• Força Não Conservadora: O trabalho realizado pela força depende do caminho.
  • Atrito, resistência do ar, empurrar/puxar.

Cálculos com Forças Não Conservadoras

• $\Delta E = W_{nc}$.
• A mudança em energia de um sistema é igual ao trabalho realizado por forças não conservadoras.

Algoritmos Genéticos

Introdução

• Algoritmos de busca inspirados na genética e seleção natural.
• Usados para resolver problemas de otimização e busca.

Princípios Básicos

• População: Conjunto de soluções candidatas.
• Função de Aptidão: Avalia a qualidade de cada solução.
• Seleção: Escolhe os indivíduos mais aptos para reprodução.
• Cruzamento: Combina o material genético dos pais para criar novos indivíduos.
• Mutação: Introduz mudanças aleatórias no material genético.

Funcionamento

• Inicialização
• Avaliação
• Seleção
• Cruzamento
• Mutação
• Substituição
• Repetição

Vantagens

• Fáceis de implementar.
• Robustos
• Encontram soluções ideais

Desvantagens

• Podem ser sensíveis aos parâmetros.
• Podem Converger para soluções subótimas

Introdução à Probabilidade

• Experimento: Processo com um número de resultados possíveis.
• Espaço amostral: Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento.
• Evento: Subconjunto do espaço amostral.

Axiomas de Probabilidade

• Seja S um espaço amostral. Uma função de probabilidade P atribui um número real a cada evento A.

Resultados

• $P(A^c) = 1 - P(A)$.
• $P(\phi) = 0$.
• Se $A \subset B$, então $P(A) \leq P(B)$.
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Estatística Inferencial

Estimativa Pontual

• População, amostra, parâmetro, estatística, estimador e estimativa.
• Estimador: $\hat{\theta} = g(X_1, X_2,..., X_n)$.
• Vício de um estimador: $Biais(\hat{\theta}) = E(\hat{\theta}) - \theta$.
• Erro médio de medição: $MSE(\hat{\theta}) = E[(\hat{\theta} - \theta)^2] = Var(\hat{\theta}) + [Biais(\hat{\theta})]^2$.
• A variancia mede a dispersão de suas estimativas ao redor de sua média: $Var(\hat{\theta}) = E[(\hat{\theta} - E[\hat{\theta}])^2]$
• Estimador eficiente: $\lim_{n \to \infty} E(\hat{\theta}) = \theta$.
• Convergência em convergência nas probabilidades: $\lim_{n \to \infty} E(\hat{\theta}) = \theta$.
• Ensaio de hipótese