Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

• O Teorema de Bayes descreve a probabilidade de um evento com base no conhecimento prévio de condições relacionadas a ele.
• A fórmula do Teorema de Bayes é: $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

Definições da Fórmula

• $P(A|B)$: Probabilidade condicional de A, dado que B é verdadeiro.
• $P(B|A)$: Probabilidade condicional de B, dado que A é verdadeiro.
• $P(A)$: Probabilidade de A ser verdadeiro independentemente.
• $P(B)$: Probabilidade de B ser verdadeiro independentemente.

Derivação do Teorema

• O Teorema de Bayes é derivado da definição de probabilidade condicional:
  • $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, se $P(B) \neq 0$
  • $P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$, se $P(A) \neq 0$
• Resolvendo para $P(A \cap B)$, temos:
  • $P(A \cap B) = P(A|B)P(B)$
  • $P(B \cap A) = P(B|A)P(A)$
• Como $P(A \cap B) = P(B \cap A)$, então $P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)$
• Dividindo ambos os lados por $P(B)$ ($P(B) \neq 0$), obtém-se o Teorema de Bayes.

Exemplo Prático

• Um teste para detectar uma doença tem 99% de precisão:
  • Se a pessoa tem a doença, o teste dá positivo 99% das vezes (sensibilidade).
  • Se a pessoa não tem a doença, o teste dá negativo 99% das vezes (especificidade).
• A prevalência da doença na população é de 0,1% ($P(D) = 0,001$).
• Se o teste de uma pessoa escolhida aleatoriamente dá positivo, a probabilidade real de ter a doença é calculada usando o Teorema de Bayes.

Cálculo no Exemplo

• $P(D|+) = \frac{P(+|D)P(D)}{P(+)}$
• $P(+)$ é calculado usando a lei da probabilidade total:
  • $P(+) = P(+|D)P(D) + P(+|\neg D)P(\neg D)$
• $P(\neg D) = 1 - P(D) = 0,999$
• $P(+|\neg D) = 1 - P(-|\neg D) = 1 - 0,99 = 0,01$
• $P(+) = (0,99)(0,001) + (0,01)(0,999) = 0,01098$
• $P(D|+) = \frac{(0,99)(0,001)}{0,01098} \approx 0,08998$
• Mesmo com teste positivo, a probabilidade de ter a doença é de aproximadamente 9% devido à baixa prevalência.

Termodinâmica

• Ramo da física e engenharia que estuda a transferência e transformação de energia.
• Lida com as relações entre calor, trabalho e energia, baseando-se em leis universais.

Leis da Termodinâmica

• Lei Zero: Se dois sistemas estão em equilíbrio térmico com um terceiro, então estão em equilíbrio entre si; base para medição de temperatura.
• Primeira Lei: A energia não pode ser criada ou destruída, apenas transformada; $\Delta U = Q - W$.
• Segunda Lei: A entropia de um sistema isolado sempre aumenta ou permanece constante; calor não flui espontaneamente de um corpo frio para um quente.
• Terceira Lei: A entropia de um sistema tende a um valor mínimo ou zero quando a temperatura se aproxima do zero absoluto.

Conceitos Chave

• Energia: Capacidade de realizar trabalho, medida em Joules (J).
• Trabalho: Energia transferida quando uma força causa deslocamento; medido em Joules (J).
• Calor: Energia transferida devido à diferença de temperatura; medido em Joules (J).
• Temperatura: Medida da energia cinética média das partículas em um sistema; medida em Kelvin (K), Celsius (°C) ou Fahrenheit (°F).
• Entropia: Medida da desordem ou aleatoriedade de um sistema; medida em Joules por Kelvin (J/K).
• Entalpia: Propriedade termodinâmica de um sistema; $H = U + PV$; medida em Joules (J).
• Energia Livre de Gibbs: Energia disponível para realizar trabalho útil a temperatura e pressão constantes; $G = H - TS$; medida em Joules (J).

Processos Termodinâmicos

• Isotérmico: Ocorre a temperatura constante ($\Delta T = 0$).
• Isobárico: Ocorre a pressão constante ($\Delta P = 0$).
• Isocórico: Ocorre a volume constante ($\Delta V = 0$).
• Adiabático: Ocorre sem transferência de calor ($Q = 0$).
• Reversível: Pode ser revertido sem deixar rastros no ambiente.
• Irreversível: Não pode ser revertido sem deixar rastros no ambiente.

Aplicações

• Geração de energia, refrigeração, ar condicionado, reações químicas, sistemas biológicos.

Exemplo

• Um bloco de alumínio de 2 kg a 20°C é aquecido a 100°C.
  • Calor necessário: $Q = mc\Delta T = (2 , \text{kg}) \times (900 , \text{J/kg} \cdot \text{K}) \times (100°\text{C} - 20°\text{C}) = 144,000 , \text{J} = 144 , \text{kJ}$.

Conclusão

• Termodinâmica é uma ferramenta para prever o comportamento da energia, com aplicações em várias áreas da ciência e engenharia.

Projeto de Design de Engenharia Química

Grupo 9

• Membros: Ivan P., Joshua H., Matthew D., Ricardo T.
• Projeto: Produção de 50.000 toneladas por ano de etileno glicol por oxidação catalítica de etileno.
• Palestrante: Dr. R. Martens

Tabela de Conteúdos

• Inclui seções como introdução, resumo executivo, química do processo, segurança, balanço de massa e energia, design de equipamentos e análise econômica.

Regra de L'Hôpital

Teorema

• Se $f$ e $g$ são diferenciáveis em um intervalo aberto $I$ contendo $a$, $g'(x) \neq 0$ em $I$ quando $x \neq a$, e $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ e $\lim_{x \to a} g(x) = 0$, ou $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$ e $\lim_{x \to a} g(x) = \pm \infty$, então $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ se o limite à direita existir.

Observação

• A Regra de L'Hôpital afirma que o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas, verificando condições sobre os limites de $f$ e $g$.

Exemplo 1

• Avaliar $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2}$:
  • $\lim_{x \to 2}(x^2 + x - 6) = 0$ e $\lim_{x \to 2}(x - 2) = 0$
  • $f(x) = x^2 + x - 6 \implies f'(x) = 2x + 1$
  • $g(x) = x - 2 \implies g'(x) = 1$
  • $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{2x + 1}{1} = 5$

Exemplo 2

• Encontrar $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2}$:
  • $\lim_{x \to \infty} e^x = \infty$ e $\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty$
  • $f(x) = e^x \implies f'(x) = e^x$
  • $g(x) = x^2 \implies g'(x) = 2x$
  • Aplicando L'Hôpital duas vezes: $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{2} = \infty$

Negociação Algorítmica e Execução de Ordens

Motivação

• Investidores usam negociação algorítmica para executar grandes ordens minimizando o impacto no mercado e maximizando o preço de execução.
  • Técnicas: Dividir ordens grandes e usar modelos estatísticos para prever movimentos de preços.

Introdução

• A negociação algorítmica usa algoritmos para automatizar estratégias de negociação, reduzindo custos e melhorando a eficiência.
• A execução de ordens busca o melhor preço minimizando o impacto no mercado.

Tipos de Algoritmos

• VWAP: Para ordens grandes, executa ordens para igualar o VWAP histórico de uma ação.
  • $VWAP = \frac{\sum_{i=1}^{n} P_i * Q_i}{\sum_{i=1}^{n} Q_i}$
• TWAP: Executa ordens uniformemente ao longo de um período, útil sem urgência.
  • $TWAP = \frac{\sum_{i=1}^{n} P_i}{n}$
• POV: Participa proporcionalmente ao volume geral do mercado, útil para passividade.
• Implementation Shortfall: Visa minimizar a diferença entre o preço de execução e o preço de decisão.
  • $IS = (P_t - P_0)Q - C$
• Market on Close (MOC): Meta é executar o negócio o mais próximo possível do preço de fechamento.
• Dark Strategies: Minimiza impacto no mercado, anonimamente.

Estratégia de Colocação de Ordens

Impacto no Mercado

• É o efeito das ações de um trader no preço de um ativo.
  • Fatores: tamanho da ordem, liquidez, agressividade, uso de algoritmos.
  • Minimizar: Dividir ordens grandes, usar dark pools, negociar em períodos líquidos.

Negociação de Alta Frequência (HFT)

• Subconjunto da negociação algorítmica, caracterizada por alta velocidade, alta rotatividade e posições de curto prazo.
  • Estratégias: Criação de mercado, arbitragem estatística, arbitragem de eventos.
  • Preocupações: Flash crashes (quedas repentinas), vantagem injusta.

Regulação

• SEC, FINRA e outros órgãos regulam a negociação algorítmica e HFT para evitar manipulação de mercado e proteger investidores.
  • Regras: Exibição de melhor preço, gestão de riscos, relatórios de grandes traders.

TAREFA 1 (Álgebra Linear - Português)

Esses são os problemas de álgebra linear para a tarefa:

1. Vetores:

• Dados $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ e $\vec{b} = -\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k}$, calcular $\vec{a} + \vec{b}$, $3\vec{a} - 2\vec{b}$, $|\vec{a}|$, $\vec{a} \cdot \vec{b}$, e $\vec{a} \times \vec{b}$.

2. Equação da Reta:

• Encontre a equação paramétrica da reta que passa por $(1, -2, 3)$ e é paralela a $\vec{v} = 4\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$.

3. Equação do Plano:

• Encontre a equação do plano que contém os pontos $P(1, 0, -1)$, $Q(2, 2, 1)$ e $R(3, -1, 2)$.

4. Sistema de Equações Lineares:

• Resolver o sistema:
• $x + y - z = 1$
• $2x - y + z = 5$
• $3x + 2y + 2z = 8$

5. Dependência Linear:

• Determine se os vetores $\vec{v_1} = \begin{bmatrix} 1 \ -1 \ 2 \end{bmatrix}$, $\vec{v_2} = \begin{bmatrix} 2 \ 1 \ -1 \end{bmatrix}$, $\vec{v_3} = \begin{bmatrix} 4 \ -1 \ 3 \end{bmatrix}$ são linearmente dependentes ou independentes.

Guia Prático para Melhorar a Gestão da Sua Empresa

O que é Gestão Empresarial?

• Conjunto de atividades para dirigir e administrar uma empresa, otimizando recursos para atingir objetivos.
• Inclui planejamento, organização, direção e controle de recursos (humanos, financeiros, materiais, tecnológicos).

Passos Chave

1. Defina seu Modelo de Negócio:

• Modelo de negócio define como a empresa cria, entrega e captura valor.
• Inclui: Segmento de clientes, proposta de valor, canais, receita, recursos chave.

2. Planeje Estrategicamente:

• Processo de definir objetivos a longo prazo e ações para alcançá-los.
• Inclui análise SWOT, definição de objetivos SMART e desenvolvimento de estratégias.

3. Otimize seus Processos:

• Simplifica, agiliza e melhora a eficiência dos processos.
• Identifica gargalos, redesenha e documenta os processos chave.

4. Gerencie Eficientemente seus Recursos:

• Aloca e administra recursos humanos, financeiros, materiais e tecnológicos de forma eficaz.
• Recursos humanos: Contratar, capacitar e motivar a os empregados certos.
• Recursos financeiros: O fluxo de caixa, controlar os custos e buscar financiamento.
• Recursos materiais: O inventário, negociar com os fornecedores e otimizar o uso.
• Recursos tecnológicos: Implementar as ferramentas e sistemas adequados.

5. Meca e Analise os Resultados:

• Avalia o desempenho da empresa com KPIs (indicadores chave de desempenho).
• Métrica utilizada para medir o progresso.
• Recolhe, analisa os dados e utiliza o análise para tomar decisões informadas.

6. Adote a Tecnologia

• Automatize tarefas para uma melhor eficiência.
• Software de gestão empresarial (ERP): Integra todos os processos de tua empresa em um único sistema.
• Software de gestão de relações com os clientes (CRM): A Gestão das interações com os clientes.
• Ferramentas de análise de dados: a análise dos dados de de tua empresa.

7. Invista nos seus Empregados:

• Eles são o ativo mais importante da tua empresa por esses razões investir em treinamento, desenvolvimento e bem-estar.

8. Promova a Inovação:

• Criar uma ambient para incentivar ideias.

Herramientas útiles para la gestión empresarial

• Business Model Canvas: Ferramentas para fazer a definição e para analisar modelos de negócioss
• Análisis FODA: Ferramentas para definir e para analisar qualidades da empresa.
• Diagrama de flujo: para otimizar processos de empresa.
• Software de gestión empresarial (ERP): Integra todos os processos da tua empresa.

Conclusão

• Melhorar a gestão exige esforço e dedicação, otimizando recursos para aumentar a rentabilidade e garantir a sustentabilidade.

Álgebra Linear (Francês)

Definições

• Um espaço vetorial E possui adição e multiplicação por um escalar K, atendendo às propriedades de associatividade, comutatividade e distributividade.
• Combinação Linear: Vetor na forma $\lambda_1 v_1 +... + \lambda_n v_n$ onde $\lambda_1,..., \lambda_n \in K$.
• Subespaço vetorial $F \subseteq E$ está também espaço vetorial.
• Família geradora: Família de vetores que pode gerar qualquer vetor de E por combinação linear.
• Família livre: A única combinação linear destes vetores que gera nulo tem todos os coeficientes nulos.
• Base: Família que é livre e geradora.
• Dimensão: Número de vetores em uma base.

Aplicações Lineares

• Aplicação linear $f : E \rightarrow F$ preserva adição e multiplicação escalar.
• Núcleo de $f$: $ker(f) = {u \in E | f(u) = 0_F}$, conjunto de vetores que vão para o vetor nulo.
• Imagem de $f$: $im(f) = {v \in F | \exists u \in E, f(u) = v}$, conjunto de vetores que são imagens de algum vetor.
• Posto de $f$: $rang(f) = dim(im(f))$, dimensão da imagem.
• Teorema do Posto: $dim(E) = dim(ker(f)) + rang(f)$.
• Endomorfismo: Aplicação linear $f : E \rightarrow E$.
• Automorfismo: Endomorfismo bijetivo.

Matrizes

• Matriz é um quadro de números.
• Adição e multiplicação por escalar: Feitas elemento a elemento.
• Produto de duas matrizes $A$ e $B$ é definido se o número de colunas de $A$ é igual ao número de linhas de $B$.
• Transposta de uma matriz: Trocar linhas e colunas.
• Matriz quadrada: Tem o mesmo número de linhas e colunas.
• Traço de uma matriz: Soma dos elementos diagonais.
• Determinante: O determinante é nulo se e somente se a matriz não é inversível.
• Matriz inversível tem uma inversa.
• Matriz simétrica é igual à sua transposta.
• Matriz ortogonal: Colunas são vetores ortogonais de norma 1.

Valores Próprios e Vetores Próprios

• Vetor próprio $v$ satisfaz $Av = \lambda v$ para alguma valor próprio $\lambda$.
• Polinômio característico: $p(\lambda) = det(A - \lambda I)$.
• Subespaço próprio: Conjunto dos vetores próprios com uma $\lambda$.
• Diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal.

Produto Escalar e Ortogonalidade

• Produto escalar $\langle.,. \rangle : E \times E \rightarrow K$ satisfaz linearidade à esquerda e à symetria hermitienne.
• Norma de um vetor $u$: $||u|| = \sqrt{\langle u, u \rangle}$.
• Vetores ortogonais: $\langle u, v \rangle = 0$.
• Base ortonormal: Vetores são ortogonais e de norma 1.
• Processo de Gram-Schmidt: Constrói base ortonormal a partir de uma base.

Estatística Descritiva

O que é?

• A estatística descritiva coleta, organiza, resume e apresenta dados de forma informativa.
• Descreve características principais de um conjunto de dados, sem generalizações.

Importância

• Entender os dados (padrões, tendências, outliers) e comunicar informação (tabelas, gráficos).
• Fornece uma base informada para a tomada de decisões em diversos campos.

Métodos

• Medidas de tendência central: Média, mediana, moda.
• Medidas de dispersão: Variação e desvio padrão.
• Distribuições de frequência: Mostram a frequência de categoria em cada valor.
• Gráficos: Histogramas, diagramas de dispersão.

Aplicações

• Negócios: Análise de vendas, estudos de mercado e controle.
• Ciências sociais: Dados clínicos e estudos.
• Engenharia: Controle de processos.

Exemplo

• Exemplo de idades: 25, 30, 22, 35, 40, 28, 26, 32, 29, 31.
  • Média = 30, Mediana = 29.5, Desvio Padrão ≈ 5.59.

Conclusão

• A utilização estatística aumenta muito mais a efetividade e consistência de dados e aplicações de informações para uma tomada mais inteligente de decisão.