Teorema de Bayes

Study Notes

Descreve a probabilidade de um evento com base em conhecimento prévio de condições relacionadas.
É expresso formalmente como: $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$.
$P(A|B)$ é a probabilidade condicional de A, dado que B é verdadeiro.
$P(B|A)$ é a probabilidade condicional de B, dado que A é verdadeiro.
$P(A)$ e $P(B)$ são as probabilidades de A e B serem verdadeiros, independentemente.

Pode ser deduzido das definições de probabilidade condicional:
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ e $P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$.
$P(A \cap B)$ é a probabilidade de ambos os eventos A e B ocorrerem.
A dedução envolve resolver as equações para $P(A \cap B)$ e $P(B \cap A)$ e reconhecer que $P(A \cap B) = P(B \cap A)$.

Um teste tem 99% de precisão para detecção de uma doença
Uma pessoa com a doença terá um resultado positivo em 99% das vezes
Uma pessoa sem a doença terá um resultado negativo em 99% das vezes.
A prevalência da doença na população é de 0,1%.
Se uma pessoa testar positivo, a probabilidade de ela realmente ter a doença é calculada usando o Teorema de Bayes.

Definição dos eventos:
A: a pessoa tem a doença.
B: a pessoa testa positivo para a doença.
Probabilidades conhecidas:
$P(A) = 0.001$ (prevalência da doença).
$P(B|A) = 0.99$ (sensibilidade do teste).
$P(B|¬A) = 0.01$ (taxa de falso positivo).
Objetivo: Encontrar $P(A|B)$, a probabilidade de ter a doença dado um teste positivo.
Cálculo de P(B) usando a lei da probabilidade total:
$P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|¬A)P(¬A)$.
$P(¬A) = 1 - P(A) = 0.999$.
$P(B) = (0.99)(0.001) + (0.01)(0.999) = 0.01098$.
Aplicação do Teorema de Bayes:
$P(A|B) = \frac{(0.99)(0.001)}{0.01098} ≈ 0.08998$ (aproximadamente 9%).
Mesmo com alta precisão do teste, a probabilidade de ter a doença após um teste positivo é baixa devido à baixa prevalência da doença na população.