Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

• Descreve a probabilidade de um evento com base no conhecimento prévio de condições relacionadas.
• Permite atualizar previsões de um evento incorporando novas evidências.

Formulação do Teorema de Bayes

• A fórmula matemática do Teorema de Bayes é: $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$.
• $P(A|B)$: Probabilidade condicional de A dado que B é verdadeiro.
• $P(B|A)$: Probabilidade condicional de B dado que A é verdadeiro.
• $P(A)$ e $P(B)$: Probabilidades de A e B, respetivamente.

Derivação do Teorema de Bayes

• Pode ser derivado da definição de probabilidade condicional: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ e $P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$.
• Resolvendo para $P(A \cap B)$: $P(A \cap B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)$.
• Dividindo por $P(B)$, obtém-se o Teorema de Bayes: $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$.

Exemplo de Aplicação

• Em um teste de doença com sensibilidade e especificidade de 95%, e prevalência de 1%, a probabilidade de realmente ter a doença se o teste for positivo é de apenas 16.1%.
• Importância de considerar a prevalência ao interpretar os resultados dos testes.

Estrutura e Função dos Vasos Sanguíneos

• Artérias:
  • Estrutura: Paredes espessas com três camadas (túnica íntima, média e adventícia).
  • Função: Transportam sangue para longe do coração, suportando alta pressão.
• Arteríolas:
  • Estrutura: Menores que as artérias, com menos tecido elástico e músculo liso.
  • Função: Regulam o fluxo sanguíneo nos capilares e controlam a pressão arterial.
• Capilares:
  • Estrutura: Camada única de células endoteliais, paredes finas.
  • Função: Local de troca de nutrientes, gases e resíduos entre o sangue e os tecidos.
• Vênulas:
  • Estrutura: Veias pequenas com paredes finas.
  • Função: Coletam sangue dos capilares.
• Veias:
  • Estrutura: Paredes mais finas que as artérias, menos músculo liso, possuem válvulas.
  • Função: Transportam sangue em direção ao coração, válvulas previnem o refluxo.

Pressão Arterial

• Força exercida pelo sangue contra as paredes dos vasos sanguíneos.
• Medição:
  • Pressão sistólica: Pressão máxima durante a contração ventricular.
  • Pressão diastólica: Pressão mínima durante o relaxamento ventricular.
  • Expressa como: Sistólica/Diastólica (ex: 120/80 mmHg).
• Fatores que afetam a pressão arterial:
  • Débito cardíaco: Volume de sangue bombeado pelo coração por minuto ($CO = SV \times HR$).
  • Resistência periférica: Resistência ao fluxo sanguíneo nas artérias.
  • Volume sanguíneo: Volume total de sangue no sistema circulatório.
  • Viscosidade: Espessura do sangue.
  • Elasticidade das artérias: Habilidade das artérias de esticar e recuar.

Controle da Pressão Arterial

• Sistema Nervoso:

  • Barorreceptores: Detectam mudanças na pressão arterial (localizados no arco aórtico e seios carotídeos).
  • Centro cardiovascular: Na medula oblongata, regula a frequência cardíaca e o diâmetro dos vasos sanguíneos.
  • Sistema nervoso simpático: Aumenta a frequência cardíaca, a contratilidade e a vasoconstrição, elevando a pressão arterial.
  • Sistema nervoso parassimpático: Diminui a frequência cardíaca e promove a vasodilatação, abaixando a pressão arterial.

• Controle Hormonal:

  • Epinefrina e Norepinefrina: Aumentam a frequência cardíaca e a vasoconstrição, elevando a pressão arterial.
  • Hormônio antidiurético (ADH): Aumenta a reabsorção de água nos rins, elevando o volume sanguíneo e a pressão.
  • Sistema Renina-Angiotensina-Aldosterona (RAAS):
    • Renina: Liberada pelos rins em resposta à baixa pressão arterial.
    • Angiotensina II: Vasoconstritor, estimula a liberação de aldosterona.
    • Aldosterona: Aumenta a reabsorção de sódio e água nos rins, elevando o volume sanguíneo e a pressão.
  • Peptídeo Natriurético Atrial (ANP): Liberado pelo coração em resposta à alta pressão arterial, promove a vasodilatação e a perda de água, abaixando a pressão arterial.

Doenças Cardiovasculares

• Hipertensão:
  • Definição: Pressão arterial alta (geralmente acima de 140/90 mmHg).
  • Fatores de risco: Genética, idade, obesidade, tabagismo, alta ingestão de sódio, estresse.
  • Complicações: Doença cardíaca, acidente vascular cerebral, insuficiência renal.
• Aterosclerose:
  • Definição: Acúmulo de placa (lipídios, colesterol e outras substâncias) nas artérias.
  • Fatores de risco: Colesterol alto, pressão arterial alta, tabagismo, diabetes.
  • Complicações: Ataque cardíaco, acidente vascular cerebral, doença arterial periférica.
• Insuficiência Cardíaca:
  • Definição: Coração incapaz de bombear sangue suficiente para atender às necessidades do corpo.
  • Causas: Doença arterial coronariana, hipertensão e distúrbios da válvula.
  • Sintomas: Falta de ar, fadiga, inchaço nas pernas e tornozelos.
• Arritmias:
  • Definição: Ritmos cardíacos irregulares.
  • Tipos: Taquicardia (frequência cardíaca rápida), bradicardia (frequência cardíaca lenta), fibrilação (contrações irregulares e descoordenadas).
  • Causas: Doença cardíaca, desequilíbrios eletrolíticos, certos medicamentos.
• Infarto do Miocárdio (Ataque Cardíaco):
  • Definição: Obstrução do fluxo sanguíneo para o músculo cardíaco, causando dano ou morte.
  • Causas: Aterosclerose, coágulo sanguíneo.
  • Sintomas: Dor no peito, falta de ar, náuseas, sudorese.

Testes de Diagnóstico

• Eletrocardiograma (ECG/EKG):
  • Propósito: Mede a atividade elétrica do coração; detecta arritmias, isquemia e danos cardíacos.
• Ecocardiograma:
  • Propósito: Ultrassom do coração; avalia a estrutura e a função cardíaca.
• Teste de Esforço:
  • Propósito: Avalia a função cardíaca durante o exercício; detecta isquemia.
• Angiograma:
  • Propósito: Raio-x dos vasos sanguíneos após a injeção de corante de contraste; identifica bloqueios.
• Exames de Sangue:
  • Propósito: Mede os níveis de colesterol, enzimas cardíacas e outros marcadores de saúde cardiovascular.

Trading Quantitativo

• Envolve o uso de técnicas matemáticas e estatísticas para identificar e executar oportunidades de negociação.
• Baseia-se na análise de dados, modelagem estatística e algoritmos de computador para tomar decisões de negociação. Características Chave:
  • Orientado a Dados: As estratégias são construídas sobre dados históricos e análise estatística.
  • Sistemático: As decisões de negociação são tomadas com base em regras e algoritmos predefinidos.
  • Objetivo: As emoções e os vieses humanos são minimizados no processo de negociação.
  • Escalável: As estratégias podem ser facilmente escaladas para negociar em vários mercados e ativos.
  • Backtesting: As estratégias são rigorosamente testadas em dados históricos para avaliar seu desempenho. Processo:
  1. Coleta de Dados: Reúna dados históricos sobre preços, volumes e outras informações de mercado relevantes.
  2. Engenharia de Recursos: Identifique e crie recursos relevantes a partir dos dados brutos.
  3. Desenvolvimento de Modelo: Construa modelos estatísticos ou de aprendizado de máquina para prever preços de ativos ou sinais de negociação.
  4. Backtesting: Avalie o desempenho do modelo em dados históricos usando várias métricas.
  5. Implementação da Estratégia: Implante o modelo em um ambiente de negociação ao vivo.
  6. Monitoramento e Otimização: Monitore continuamente o desempenho da estratégia e faça ajustes conforme necessário.

Arbitragem Estatística

• É uma estratégia de negociação quantitativa que explora erros de precificação estatística nos mercados financeiros.

Conceitos Chave:

• Regressão à Média: As estratégias de arbitragem estatística geralmente dependem do princípio da regressão à média, que assume que os preços dos ativos eventualmente retornarão às suas médias históricas.
• Negociação de Pares: A negociação de pares é uma estratégia comum que envolve a identificação de dois ativos correlacionados e a tomada de posições longas e curtas com base em seu erro de precificação relativo.
• Arbitragem Triangular: A arbitragem triangular explora discrepâncias de preços entre três moedas diferentes no mercado cambial.

Exemplo: Negociação de Pares

1. Identifique Ativos Correlacionados: Encontre dois ativos (por exemplo, ações) que historicamente se moveram juntos.
2. Calcule o Spread: Calcule a diferença entre os preços dos dois ativos.
3. Identifique o Erro de Precificação: Determine quando o spread se desvia significativamente de sua média histórica.
4. Tome Posições: Compre o ativo subvalorizado e venda o ativo sobrevalorizado.
5. Lucre com a Convergência: Lucro à medida que o spread retorna à sua média histórica.

Técnicas e Ferramentas Comuns

• Análise de Regressão:
  • Usada para modelar a relação entre os preços dos ativos e outras variáveis.
  • Tipos: Regressão Linear, Regressão Múltipla.
• Análise de Séries Temporais:
  • Usada para analisar e prever os preços dos ativos com base em seus padrões históricos.
  • Técnicas: ARIMA, Suavização Exponencial.
• Aprendizado de Máquina:
  • Usado para construir modelos preditivos para os preços dos ativos e os sinais de negociação.
  • Algoritmos: Máquinas de Vetores de Suporte, Redes Neurais, Florestas Aleatórias.
• Linguagens de Programação:
  • Python: Linguagem popular para análise de dados, aprendizado de máquina e negociação algorítmica.
  • R: Computação estatística e gráficos.
• Plataformas de Negociação:
  • Interactive Brokers
  • Terminal Bloomberg
  • MetaTrader

Gestão de Risco

• Proteção de capital e viabilidade das estratégias de negociação a longo prazo. Estratégias Chave:
  • Diversificação: Distribuição de investimentos por vários ativos e mercados para reduzir o risco.
  • Dimensionamento da Posição: Determinação do tamanho apropriado de cada negociação com base na tolerância ao risco e no capital.
  • Ordens de Stop-Loss: Definição de níveis de preços predeterminados nos quais sair de uma negociação para limitar as perdas.
  • Gestão da Volatilidade: Monitoramento e ajuste das posições com base na volatilidade do mercado.

Backtesting

• O processo de avaliação de uma estratégia de negociação em dados históricos para avaliar seu desempenho e identificar possíveis fraquezas.

Métricas Chave:

• Fator de Lucro: Relação entre o lucro bruto e a perda bruta.
• Índice de Sharpe: Medida do retorno ajustado ao risco.
• Rebaixamento Máximo: Maior declínio de pico a vale durante o período de backtesting.
• Taxa de Sucesso: Percentual de negociações lucrativas.

Armadilhas:

• Ajuste Excessivo: Desenvolvimento de uma estratégia que tem um bom desempenho em dados históricos, mas tem um desempenho ruim na negociação ao vivo.
• Vício em Mineração de Dados: Encontrar padrões nos dados que não são preditivos do desempenho futuro.
• Vício em Olhar para o Futuro: Usar informações que não estariam disponíveis no momento da negociação.

Desafios

• Complexidade do Mercado
• Qualidade dos Dados
• Ajuste Excessivo
• Custos de Execução
• Conformidade Regulatória

Equações de Maxwell

• Revisão das equações de Maxwell.
• Como essas equações preveem a luz.
• A luz carrega energia e momento.

Equações de Maxwell no Vácuo

• As equações de Maxwell no vácuo são fornecidas como: $$\begin{aligned} \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} &= 0 \\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} &= 0 \\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} &= -\frac{d\Phi_B}{dt} \\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} &= \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} \end{aligned}$$

###Previsão da Luz:

• Considera um campo $\vec{E}$ apontando na direção $\hat{j}$ e um campo $\vec{B}$ apontando na direção $\hat{k}$.
• A onda se move na direção $\hat{i}$.
• As equações para $E_y(x,t)$ e $B_z(x,t)$ são dadas como: $$\begin{aligned}E_y(x,t) &= E_{max} \cos(kx - \omega t) \B_z(x,t) &= B_{max} \cos(kx - \omega t)\end{aligned}$$

Previsão da Luz (2):

• Usando a Lei de Faraday: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$.
• $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = E(x) \cdot h - E(x+dx)h = [E(x) - E(x+dx)]h$.
• $\frac{d\Phi_B}{dt} = \frac{d}{dt} [B(x,t) \cdot A] = \frac{d}{dt} [B(x,t) \cdot h \cdot dx] = h \cdot dx \cdot \frac{dB}{dt}$.
• Portanto, $[E(x) - E(x+dx)]h = -h \cdot dx \cdot \frac{dB}{dt}$, o que leva a $\frac{dE}{dx} = -\frac{dB}{dt}$.

Previsão da Luz (3):

• Com a Lei de Ampère-Maxwell: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$.
• $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = B(x+dx) \cdot h - B(x)h = [B(x+dx) - B(x)]h$.
• $\frac{d\Phi_E}{dt} = \frac{d}{dt} [E(x,t) \cdot A] = \frac{d}{dt} [E(x,t) \cdot h \cdot dx] = h \cdot dx \cdot \frac{dE}{dt}$.
• Portanto, $[B(x+dx) - B(x)]h = \mu_0 \epsilon_0 h \cdot dx \cdot \frac{dE}{dt}$, o que leva a $\frac{dB}{dx} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{dE}{dt}$.

Previsão da Luz (4):

• As relações $\frac{dE}{dx} = -\frac{dB}{dt}$ e $\frac{dB}{dx} = -\mu_0 \epsilon_0 \frac{dE}{dt}$ são usadas.
• Tomando a derivada em relação a $x$ leva a: $\frac{d^2 E}{dx^2} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d^2 E}{dt^2}$.

Previsão da Luz (5):

• A equação $\frac{d^2 E}{dx^2} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d^2 E}{dt^2}$ é a equação de uma onda.
• A velocidade da onda é dada como: $v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} = 3.00 \times 10^8 m/s$

Previsão da Luz (6):

• As equações para $E_y(x,t)$ e $B_z(x,t)$ são: $\begin{aligned}E_y(x,t) &= E_{max} \cos(kx - \omega t) \B_z(x,t) &= B_{max} \cos(kx - \omega t)\end{aligned}$
• Isso implica que $E_{max} = vB_{max}$.

Vetor de Poynting:

• A taxa de transferência de energia por ondas EM é descrita pelo Vetor de Poynting $\vec{S}$: $\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B}$.
• A direção de $\vec{S}$ é a direção de propagação.
• A magnitude $S = \frac{E \cdot B}{\mu_0}$ é a potência por unidade de área.
• A média de $S$ sobre um ou mais ciclos é chamada de intensidade da onda $I$: $I = \frac{E_{max} B_{max}}{2 \mu_0} = \frac{E_{max}^2}{2 \mu_0 c} = \frac{c B_{max}^2}{2 \mu_0}$

Densidade de Energia:

• A densidade de energia $u$ é a energia por unidade de volume: $u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2 \mu_0} B^2$.
• Como $E = cB$ e $c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}$, $u_E = u_B$.
• Portanto, $u = \epsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0}$.
• Em termos de intensidade: $I = uc$.

Momento:

• As ondas EM transportam momento, bem como energia.
• Se a radiação é completamente absorvida por um objeto, a transferência de momento é: $\Delta p = \frac{\Delta U}{c}$ (absorção completa).
• Se a radiação é completamente refletida de volta ao longo de seu caminho original, a transferência de momento é: $\Delta p = \frac{2\Delta U}{c}$ (reflexão completa).
• Para absorção completa: $P = \frac{I}{c}$.
• Para reflexão completa: $P = \frac{2I}{c}$.

Visualização de Dados com Matplotlib

• Visualização de dados é a representação gráfica de informações e dados.
• Essencial na Ciência de Dados.
• Ajuda a:
  • Entender os dados
  • Extrair informações valiosas
  • Tomar decisões melhores
• Matplotlib é uma biblioteca de visualização de dados em Python.
• Amplamente utilizada nas comunidades de ciência de dados e pesquisa.

Razões para Utilizar Matplotlib

• Versátil: Cria uma vasta gama de plots e gráficos.
• Personalizável: Oferece controle sobre cada aspecto de um plot.
• Integração: Funciona com bibliotecas como NumPy e Pandas.
• Amplamente utilizado: Uma biblioteca padrão para visualização no ecossistema Python.

Instalação e Importação do Matplotlib

• Instalação: pip install matplotlib
• Importação: import matplotlib.pyplot as plt

Plots Básicos com Matplotlib

• Plot de Linha
• Plot de Dispersão
• Gráfico de Barras
• Histograma

Personalizar Plots

• Adicionar títulos e rótulos (title(), xlabel(), ylabel())
• Alterar estilos e cores de linha (linestyle, color).
• Adicionar legendas (legend()).
• Adicionar linhas de grade (grid(True)).

Plots Avançados

• Subplots (subplot())
• Plotagem 3D ( Usar o módulo mpl_toolkits.mplot3d para criar plots 3D)
• Plots de Contorno
• Plots de Imagem (imshow())

Visualização de Dados com Pandas e Seaborn

• Visualização de Dados com Pandas: Os objetos Séries e DataFrames do Pandas têm métodos de plotagem integrados que usam o Matplotlib nos bastidores Para criar plots a partir de estruturas de dados do Pandas, você pode simplesmente chamar o método .plot() em um objeto Series ou DataFrame.
• Visualização de Dados com Seaborn: Biblioteca de visualização de dados construída sobre Matplotlib. Fornece uma interface de alto nível para criar gráficos estatísticos informativos e visualmente atraentes.
• Customização, estilos e rótulos de eixos.

Resumo

• Principais Conclusões
• Aprendizagem Adicional.

Álgebra

• As operações são as mesmas que as operações aritméticas, mas são aplicadas a expressões algebraicas, que são expressões contendo variáveis e constantes.

Operações Algébricas

• Soma e Subtração: Os termos semelhantes são combinados.
• Multiplicação: Aplica-se a propriedade distributiva.
• Divisão: Simplificam-se os termos comuns.

Produtos Notáveis

• São produtos que seguem uma forma específica e podem ser calculados diretamente.
• Binômio ao quadrado: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
• Binômios conjugados: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
• Binômio ao cubo: $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$

Fatorização

• Processo de decompor uma expressão algébrica em fatores.
• Fator comum: $ax + ay = a(x + y)$
• Diferença de quadrados: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
• Trinomio quadrado perfeito: $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$

Racionalização

• Processo para eliminar radicais do denominador de uma fração.

Equações

• Equações de primeiro grau: Despeja-se a variável.
• Equações de segundo grau: Utiliza-se a fórmula quadrática.
• Sistemas de equações: Resolve-se por substituição, igualação, redução, etc.

Inequações

• Inequações de primeiro grau: Despeja-se a variável.
• Inequações de segundo grau: Fatoriza-se o polinômio e analisam-se os sinais.

Trigonometria

• Razões trigonométricas: Sine, cosine, tangent, cotangent, secant, cosecant.
• Triângulos retângulos: Teorema de Pitágoras $a^2 + b^2 = c^2$.
• Teorema do seno: Encontre as medidas.
• Teorema do cosseno.

Equilíbrio Vapor-Líquido (EVL - VLE) Qualitativo

• Diagrama de pressão de vapor X temperatura : chamado de curva de pressão de vapor. Curva de pressão de vapor: representa o equilíbrio entre as fases líquida e vapor.

• Ponto de Ebulição Normal: temperatura na qual a pressão de vapor é igual a 1 atm.

• Ponto Crítico: a temperatura e pressão mais altas nas quais um componente puro pode existir em equilíbrio vapor-líquido.

• Equação de Clausius-Clapeyron: Equação que descreve a pressão de vapor em função da temperatura: $\frac{dP^{sat}}{dT} = \frac{\Delta H_{vap}}{T\Delta V_{vap}}$

• Equação de Antoine: $lnP^{sat} = A - \frac{B}{T + C}$

• EVL para Misturas:

• Ponto de Bolha: Líquido saturado.

• Ponto de Orvalho: Vapor saturado.

Cálculos Simplificados de EVL

• Lei de Raoult: $P_i = x_iP_i^{sat}$ Onde:

  • $P_i$ é a pressão parcial do componente i na fase vapor
  • $x_i$ é a fração molar do componente i na fase líquida
  • $P_i^{sat}$ é a pressão de vapor do componente puro i na temperatura do sistema

• Cálculo do Ponto de Bolha: Dado $T, x_i$, encontre $P, y_i$

1. Calcule $P_i^{sat}$ para cada componente usando a equação de Antoine na temperatura T dada.
2. Calcule a pressão total usando $P = \sum_{i} x_i P_i^{sat}$
3. Calcule as frações molares da fase vapor usando $y_i = \frac{x_i P_i^{sat}}{P}$

• Cálculo do Ponto de Orvalho com a Lei de Raoult: Dado $T, y_i$, encontre $P, x_i$

1. Calcule $P_i^{sat}$ para cada componente usando a equação de Antoine na temperatura T dada.
2. Calcule a pressão total usando $P = \frac{1}{\sum_{i} \frac{y_i}{P_i^{sat}}}$
3. Calcule as frações molares da fase líquida usando $x_i = \frac{y_i P}{P_i^{sat}}$

• Lei de Raoult Modificada: $P_i = x_i \gamma_i P_i^{sat}$ Onde $\gamma_i$ é o coeficiente de atividade do componente i na fase líquida
• Cálculo do Ponto de Bolha com a Lei de Raoult Modificada Dado $T, x_i$, encontre $P, y_i$
  1. Calcule $P_i^{sat}$ para cada componente usando a equação de Antoine na temperatura T dada.
  2. Calcule $\gamma_i$ para cada componente usando um modelo de coeficiente de atividade apropriado (por exemplo, van Laar, Wilson, NRTL, UNIQUAC) na temperatura T dada e $x_i$.
  3. Calcule a pressão total usando $P = \sum_{i} x_i \gamma_i P_i^{sat}$
  4. Calcule as frações molares da fase vapor usando $y_i = \frac{x_i \gamma_i P_i^{sat}}{P}$
• Cálculo do Ponto de Orvalho com a Lei de Raoult Modificada Dado $T, y_i$, encontre $P, x_i$
  1. Calcule $P_i^{sat}$ para cada componente usando a equação de Antoine na temperatura T dada.
  2. Suponha valores iniciais para $x_i$.
  3. Calcule $\gamma_i$ para cada componente usando um modelo de coeficiente de atividade apropriado (por exemplo, van Laar, Wilson, NRTL, UNIQUAC) na temperatura T dada e $x_i$ assumido.
  4. Calcule a pressão total usando $P = \sum_{i} \frac{y_i}{\gamma_i P_i^{sat}}$
  5. Calcule as frações molares da fase líquida usando $x_i = \frac{y_i P}{\gamma_i P_i^{sat}}$
  6. Normalize $x_i$ de forma que eles somem 1.
  7. Itere os passos 3-6 até obter valores convergidos para $x_i$ e $P$.

Potencial Químico

• O potencial químico do componente $i$ em mistura, $\mu_i$, é definido como a energia de Gibbs molar parcial: $\mu_i = (\frac{\partial G}{\partial n_i}){T,P,n{j \neq i}}$

Relação de Propriedade Fundamental

• $d(nG) = (nV)dP - (nS)dT + \sum_i \mu_i dn_i$

Atividade e Coeficiente de Atividade

• A Atividade do componente i em uma mistura, $a_i$, é uma medida de sua "concentração efetiva" em relação a um estado padrão. Está relacionada ao potencial químico por: $\mu_i = \Gamma_i(T) + RTln(a_i)$ Onde $\Gamma_i(T)$ é um termo dependente da temperatura que depende da escolha do estado padrão.
• O Coeficiente de Atividade do componente i em uma mistura, $\gamma_i$, é um fator de correção que representa a não idealidade da mistura. É definido como a razão entre a atividade e a fração molar: $\gamma_i = \frac{a_i}{x_i}$

Propriedades de Excesso

• Uma Propriedade de Excesso é a diferença entre a propriedade real de uma mistura e a propriedade que ela teria se fosse uma solução ideal na mesma temperatura, pressão e composição. Por exemplo, a energia de Gibbs de excesso, $G^E$, é definida como: $G^E = G - G^{id}$ Onde G é a energia de Gibbs real da mistura e $G^{id}$ é a energia de Gibbs da solução ideal.

Modelos para a Energia de Gibbs de Excesso

• Modelo de Van Laar: $G^E/RT = A_{12}x_1x_2$; $ln\gamma_1 = A_{12}x_2^2$; $ln\gamma_2 = A_{12}x_1^2$
• Modelo de Wilson: $\frac{G^E}{RT} = - \sum_i x_i ln(\sum_j x_j \Lambda_{ij})$; $\ln\gamma_k = 1 - \ln(\sum_j x_j \Lambda_{kj}) - \sum_i \frac{x_i \Lambda_{ik}}{\sum_j x_j \Lambda_{ij}}$
• Modelo de NRTL: $\frac{G^E}{RT} = \sum_i x_i \frac{\sum_j \tau_{ji}G_{ji}x_j}{\sum_l G_{li}x_l}$; $ln\gamma_i = \frac{\sum_j \tau_{ji}G_{ji}x_j}{\sum_l G_{li}x_l} + \sum_j \frac{x_jG_{ij}}{\sum_l G_{lj}x_l}[\tau_{ij} - \frac{\sum_m x_m \tau_{mj}G_{mj}}{\sum_l G_{lj}x_l}]$ Onde $G_{ij} = exp(-\alpha_{ij}\tau_{ij})$ e $\tau_{ij} = \frac{g_{ij} - g_{jj}}{RT}$
• Modelo de UNIQUAC $\frac{G^E}{RT} = (\frac{G^E}{RT})^{combinatorial} + (\frac{G^E}{RT})^{residual}$; $ln\gamma_i = ln\gamma_i^C + ln\gamma_i^R$ $ln\gamma_i^C = ln \frac{\varphi_i}{x_i} + \frac{z}{2}q_i ln\frac{\theta_i}{\varphi_i}$; $ln\gamma_i^R = -q_i ln(\sum_j \theta_j \tau_{ji}) + q_i - q_i \sum_j \frac{\theta_j \tau_{ij}}{\sum_k \theta_k \tau_{kj}}$ Onde $\theta_i = \frac{x_iq_i}{\sum_j x_j q_j}$, $\varphi_i = \frac{x_ir_i}{\sum_j x_j r_j}$, e $\tau_{ij} = exp(-\frac{\Delta u_{ij}}{RT})$

Pressão Osmótica

• A pressão osmótica é a diferença de pressão necessária para atingir o equilíbrio quando uma membrana semipermeável separa uma solução de um solvente puro.
• A equação de van't Hoff relaciona a pressão osmótica à concentração do soluto:$\Pi = cRT$ Onde $\Pi$ é a pressão osmótica, c é a concentração do soluto, R é a constante dos gases e T é a temperatura.

Equilíbrio de Fases em Altas Pressões

• Equilíbrio Vapor-Líquido (EVL): Em altas pressões, a fase vapor não pode mais ser tratada como um gás ideal e a fase líquida pode exibir um comportamento não ideal significativo. As equações de estado (EOS) são usadas para modelar o comportamento das fases líquida e vapor.
• Equilíbrio Líquido-Líquido (ELL): Em altas pressões, as misturas líquidas podem exibir separação de fases líquido-líquido. O comportamento da fase depende da temperatura, pressão e composição.
• Equilíbrio Sólido-Líquido (ESL): Em altas pressões, fases sólidas podem se formar em misturas líquidas. O comportamento da fase depende da temperatura, pressão e composição.