Tensión: Mecánica y Eléctrica

Tensiones

• La tensión mecánica es el esfuerzo interno en un cuerpo al aplicarle dos fuerzas opuestas que tienden a estirarlo.
• La tensión se calcula con la fórmula: $\sigma = \frac{F}{A}$, donde $\sigma$ es la tensión, $F$ es la fuerza aplicada y $A$ es el área.

Tipos de Tensión Mecánica

• Tensión normal: Es el esfuerzo por unidad de superficie.
  • Tensión de tracción: La tensión normal que estira el cuerpo.
  • Tensión de compresión: La tensión normal que disminuye el volumen del cuerpo.
• Tensión tangencial o cortante: Es el esfuerzo interno debido a tensiones paralelas a la sección transversal del cuerpo.

Tensión Eléctrica

• La tensión eléctrica es la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos, también conocida como voltaje.

• Su unidad de medida es el voltio (V).

• La tensión eléctrica se calcula mediante la fórmula: $V = \frac{E}{q}$, donde $V$ es la tensión, $E$ es la energía potencial eléctrica y $q$ es la carga eléctrica.

• Corriente eléctrica: Es el flujo de carga eléctrica a través de un material, causado por el movimiento de los electrones.

• Se mide en amperios (A), y se calcula con la fórmula: $I = \frac{q}{t}$, donde $I$ es la corriente, $q$ es la carga eléctrica y $t$ es el tiempo.

• Resistencia eléctrica: Es la oposición de un material al paso de la corriente eléctrica, medida en ohmios ($\Omega$).

• Ley de Ohm: Relaciona la tensión, corriente y resistencia en un circuito: $V = IR$, donde $V$ es la tensión, $I$ es la corriente y $R$ es la resistencia.

Algoritmo QuickSort

• QuickSort es un algoritmo de ordenamiento recursivo basado en "divide y vencerás".

1. Seleccionar un pivote: Se elige un elemento como pivote.
2. Particionar: Se reorganiza la lista con elementos menores a la izquierda y mayores a la derecha del pivote.
3. Recursión: Se aplica recursivamente a las sublistas menores y mayores que el pivote.

Implementación (Python)

def quicksort(lista):
  if len(lista) 

Cinética Química

• La cinética química estudia las velocidades de las reacciones químicas.
• Examina cómo las condiciones experimentales influyen en la velocidad, los mecanismos de reacción, los estados de transición y los modelos matemáticos.

Factores que Afectan las Velocidades de Reacción

• Naturaleza de los reactivos:
  • Las reacciones iónicas en solución acuosa son rápidas, mientras que las que involucran enlaces covalentes son más lentas.
• Estado físico:
  • Reactivos en la misma fase reaccionan más rápido, mientras que en diferentes fases la reacción está limitada al área de contacto.
• Temperatura:
  • A mayor temperatura, las moléculas tienen más energía térmica, lo que aumenta la velocidad de reacción.
  • Las moléculas se mueven y chocan más frecuentemente.
  • Las moléculas chocan con más energía.
  • La constante de velocidad aumenta exponencialmente con la temperatura.
• Concentración:
  • A mayor concentración de reactivos, las colisiones son más frecuentes y la reacción es más rápida.
• Presión:
  • A mayor presión en reacciones gaseosas, aumenta la concentración de gas y la velocidad de reacción.
• Catalizador:
  • Los catalizadores aceleran la reacción al disminuir la energía de activación o cambiar el mecanismo. No se consumen ni aparecen en la ecuación general.

Velocidad de Reacción

• Para la reacción $aA + bB \rightarrow cC + dD$, la ecuación de velocidad es: $v = -\frac{1}{a}\frac{d[A]}{dt} = -\frac{1}{b}\frac{d[B]}{dt} = \frac{1}{c}\frac{d[C]}{dt} = \frac{1}{d}\frac{d[D]}{dt}$
  • $[X]$ es la concentración de la sustancia X.
  • $t$ es el tiempo.
  • $v$ es la velocidad de reacción (mol/(L·s)). - Las velocidades de desaparición de reactivos son negativas, mientras que las de aparición de productos son positivas. Los coeficientes estequiométricos aseguran que la velocidad sea la misma independientemente del reactivo o producto monitoreado.

Ley de Velocidad

• Relaciona la velocidad de reacción con la concentración de los reactivos. Para la reacción $aA + bB \rightarrow cC + dD$, la ley de velocidad es: $v = k[A]^x [B]^y$
  • $k$ es la constante de velocidad.
  • $x$ e $y$ son los órdenes de reacción con respecto a los reactivos A y B, respectivamente.

Lecture 12: February 28, 2023

• La clase anterior se discutió el problema del camino más corto de una sola fuente.
• Se puede resolver utilizando el algoritmo de Dijkstra en tiempo $O(m + n \log n)$ para pesos de borde no negativos.
• Para pesos de borde generales, podemos usar el algoritmo Bellman-Ford en tiempo $O(mn)$ aunque sea más lento.

Todos los pares de caminos más cortos

• Objetivo:* Calcular las distancias del camino más corto entre todos los pares de vértices.
• Entrada:* Un grafo dirigido $G = (V, E)$ con pesos de borde $w: E \rightarrow R$.
• Salida:* Una matriz $n \times n$ $D$ donde $D[u, v]$ es la distancia del camino más corto de $u$ a $v$.

Solución 1: Ejecutar Bellman-Ford $n$ veces

• Ejecute Bellman-Ford desde cada vértice $u \in V$.
• Complejidad temporal: $n \cdot O(mn) = O(mn^2)$.
• Complejidad espacial: $O(n^2)$.

Solución 2: Algoritmo de Floyd-Warshall

• Un algoritmo de programación dinámica.
• Sea $D[u, v, k]$ la distancia del camino más corto de $u$ a $v$ utilizando solo los vértices ${1, 2, \dots, k}$ como vértices intermedios.
• Caso base:* $k = 0$

$D[u, v, 0] = \begin{cases} 0 & \text{si } u = v \ w(u, v) & \text{si } (u, v) \in E \ \infty & \text{de lo contrario} \end{cases}$

• Caso recursivo:* $k \geq 1$

$D[u, v, k] = \min(D[u, v, k-1], D[u, k, k-1] + D[k, v, k-1])$

• Respuesta final:* $D[u, v, n]$ para todo $u, v \in V$.

Algoritmo de Floyd-Warshall: Implementación

for u in V:
    for v in V:
        D[u, v, 0] = infinity
        if u == v:
            D[u, v, 0] = 0
        if (u, v) in E:
            D[u, v, 0] = w(u, v)

for k in range(1, n + 1):
    for u in V:
        for v in V:
            D[u, v, k] = min(D[u, v, k-1], D[u, k, k-1] + D[k, v, k-1])

Algoritmo de Floyd-Warshall: Análisis

• Complejidad temporal: $O(n^3)$.
• Complejidad espacial: $O(n^3)$.

Algoritmo de Floyd-Warshall: Optimización del espacio

• Podemos reducir la complejidad espacial a $O(n^2)$ sobrescribiendo los valores anteriores de $D[u, v, k-1]$ con $D[u, v, k]$.

for u in V:
    for v in V:
        D[u, v] = infinity
        if u == v:
            D[u, v] = 0
        if (u, v) in E:
            D[u, v] = w(u, v)

for k in range(1, n + 1):
    for u in V:
        for v in V:
            D[u, v] = min(D[u, v], D[u, k] + D[k, v])

Ciclos negativos

¿Cómo detectar si un grafo tiene un ciclo negativo?

• Después de ejecutar Floyd-Warshall, verifique si $D[u, u] < 0$ para cualquier $u \in V$.
• Si es así, entonces hay un ciclo negativo en el grafo.

Cierre transitivo

• Dado:* Un grafo dirigido $G = (V, E)$.
• Objetivo:* Calcular la matriz de accesibilidad $R$ donde $R[u, v] = 1$ si hay un camino de $u$ a $v$; y $0$ de otra manera.
• Podemos usar Floyd-Warshall para calcular el cierre transitivo.
• Establezca $w(u, v) = 1$ si $(u, v) \in E$, e $\infty$ de lo contrario.
• Después de ejecutar Floyd-Warshall, $R[u, v] = 1$ si $D[u, v] < \infty$; y $0$ de otra manera.

Resumen

• Todos los pares de caminos más cortos se pueden resolver utilizando Bellman-Ford en tiempo $O(mn^2)$ o Floyd-Warshall en tiempo $O(n^3)$.
• Floyd-Warshall se puede optimizar en el espacio para usar el espacio $O(n^2)$.
• Floyd-Warshall se puede usar para detectar ciclos negativos y calcular el cierre transitivo de un grafo.

Ejercicios adicionales 2

Ejercicio 1

Resolver:

$4x + 20 = 8$

$4x = -12$

$x=\frac{-12}{4}$

$x = -3$

Ejercicio 2

Resolver:

$-9x + 11 = 2$

$-9x = -9$

$x = \frac{-9}{-9}$

$x = 1$

Ejercicio 3

Resolver:

$3x - 18 = -3$

$3x= 15$

$x = \frac{15}{3}$

$x = 5$

Ejercicio 4

Resolver:

$-x + 5 = -2$

$-x = -7$

$x=7$

Ejercicio 5

Resolver:

$-4x - 1 = -17$

$-4x = -16$

$x = \frac{-16}{-4}$

$x = 4$

Ejercicio 6

Resolver:

$6x + 3 = 3$

$6x = 0$

$x = \frac{0}{6}$

$x = 0$

Sistemas Multiprocesador

• Un sistema multiprocesador es un sistema informático con dos o más CPU.
• Comparten acceso completo a la RAM común. Se comunican a velocidades de RAM.
• También se llaman "multiprocesadores de memoria compartida". Todas las CPU pueden ejecutar el kernel.
• Procesamiento simétrico múltiple (SMP).

¿Por qué multiprocesadores?

• Puede aumentar el rendimiento: múltiples CPU para manejar múltiples tareas
• También puede acelerar tareas únicas, suponiendo que una tarea se puede paralelizar.

Áreas de investigación

• Protocolos de coherencia de caché
• Bloqueo
• Programación

Terminología

• Speedup: relación del tiempo de ejecución en un solo procesador al tiempo de ejecución en un multiprocesador
• Speedup ideal: speedup lineal con el número de procesadores
• Ley de Amdahl: el speedup está limitado por la porción serial del programa

$$ \text{Speedup} = \frac{1}{(1 - P) + \frac{P}{N}} $$

donde:

• P es la proporción del programa que se puede paralelizar
• N es el número de procesadores

Ley de Amdahl (cont.)

• Ejemplo: si el 5 % de tu programa no se puede paralelizar, el speedup máximo que puedes obtener es 20, sin importar cuántos procesadores uses.

$$ \text{Speedup} = \frac{1}{0.05 + \frac{0.95}{N}} \le 20 $$

Implicaciones de la ley de Amdahl

• La programación paralela vale la pena solo si los programas tienen poco trabajo en serie; de lo contrario, se desperdician recursos en muchos procesadores.
• La programación paralela también tiene sobrecargas (comunicación, etc.), por lo que la situación es aún peor.

Coherencia de caché

• Cada CPU tiene una caché
• Pueden existir copias de datos en múltiples cachés
• Si una CPU modifica los datos en su caché:
• Otras cachés deben ser informadas
• La memoria principal debe ser informada
• Los protocolos de coherencia de caché mantienen la consistencia.

Protocolos de coherencia de caché

• Protocolos de snooping:
• Cada caché monitorea (snooping) el bus
• Si una CPU escribe en una línea de caché, otras cachés invalidan sus copias
• Simple, pero no escala bien
• Protocolos basados en directorio:
• Un directorio realiza un seguimiento de qué cachés tienen qué datos
• Cuando una CPU escribe en una línea de caché, el directorio informa a las otras cachés
• Más complejo, pero escala mejor

Protocolos de snooping

• Los protocolos de snooping utilizan una máquina de estados para cada línea de caché.
• Invalidación de escritura:
• Cuando una CPU quiere escribir en una línea de caché, primero invalida todas las demás copias
• Acceso exclusivo
• Actualización de escritura:
• Cuando una CPU escribe en una línea de caché, actualiza todas las demás copias
• Acceso compartido

Invalidación de escritura

• Estados:
• Inválido: la línea de caché no es válida
• Compartido: la línea de caché es válida y puede estar presente en otras cachés
• Modificado: la línea de caché es válida y exclusiva
• Transiciones:
• Lectura de la CPU: Inválido -> Compartido
• Escritura de la CPU: Inválido -> Modificado, Compartido -> Modificado
• Lectura del bus: Modificado -> Compartido
• Escritura del bus: Compartido -> Inválido, Modificado -> Inválido

Protocolos basados en directorio

• Cada línea de caché en la memoria principal tiene una entrada de directorio
• La entrada de directorio contiene:
• Qué cachés tienen una copia de la línea
• Si la línea está sucia (modificada)
• Cuando una CPU solicita una línea de caché:
• El directorio comprueba si alguna otra caché tiene una copia sucia
• Si es así, le pide a esa caché que vuelva a escribir los datos en la memoria
• El directorio luego envía los datos a la CPU solicitante
• Cuando una CPU escribe en una línea de caché:
• El directorio invalida todas las demás copias

Bloqueo

• Necesita exclusión mutua para proteger los datos compartidos
• Spinlocks
• La CPU gira en un bucle hasta que se adquiere el bloqueo
• Derrochador si el bloqueo se mantiene durante mucho tiempo
• Bloqueos de bloqueo
• La CPU se bloquea hasta que se adquiere el bloqueo
• Más eficiente, pero con mayor sobrecarga

Programación

• ¿Cómo programar hilos en múltiples CPU?
• Compartición de espacio: asigne cada hilo a una CPU específica
• Simple, pero puede conducir a un desequilibrio
• Compartición de tiempo: cambie los hilos entre las CPU
• Más complejo, pero puede equilibrar la carga

Programación (cont.)

• Afinidad de caché: intente programar hilos en la misma CPU en la que se estaban ejecutando antes
• Aumenta la tasa de aciertos de caché
• Equilibrio de carga: mueva hilos entre las CPU para equilibrar la carga
• Reduce el tiempo de inactividad

Resumen

• Los multiprocesadores pueden aumentar el rendimiento y acelerar tareas únicas
• Los protocolos de coherencia de caché mantienen la consistencia entre las cachés
• El bloqueo proporciona exclusión mutua
• Los algoritmos de programación determinan cómo se asignan los hilos a las CPU

Teoría Algorítmica de Juegos - Semestre de Verano 2023

Clase 4: Óptimo Social

Definición 4.1 (Minimización de Costos)

Un óptimo social es un estado $s \in S$ que minimiza $\sum_{i \in N} c_i(s)$.

Definición 4.2 (Máximo Bienestar Social)

Un óptimo social es un estado $s \in S$ que maximiza $\sum_{i \in N} v_i(s)$.

4.1 (Funciones de Costos Afines)

Definición 4.3 (Función de Costo Afín)

Función de costo para el jugador $i \in N$ es $c_i(x) = a_i \cdot x + b_i$ con $a_i, b_i \in \mathbb{R}$.

Lema 4.4

En un juego con funciones de costo afines, cada equilibrio de Nash es un óptimo social.

Demostración

Sea $s = (s_i, s_{-i})$ un equilibrio de Nash.

$\Rightarrow c_i(s_i, s_{-i}) \leq c_i(s'i, s{-i})$ para todo $s'_i \in S_i$ y todo $i \in N$.

Suponga que $s$ no es un óptimo social.

Entonces existe $s^* \in S$ con $\sum_{i \in N} c_i(s^*) < \sum_{i \in N} c_i(s)$.

Sea $i$ un jugador con $s^*_i \neq s_i$.

Defina $s' = (s^*i, s{-i})$.

Entonces $\sum_{i \in N} c_i(s') = c_i(s^*i, s{-i}) + \sum_{j \neq i} c_j(s_{-j}) < \sum_{i \in N} c_i(s_i, s_{-i})$.

$\Rightarrow c_i(s^*i, s{-i}) < c_i(s_i, s_{-i})$.

$\Rightarrow$ Contradicción al hecho de que $s$ es equilibrio de Nash.

Teorema 4.5

En un juego con funciones de costo afines, cada estado que minimiza el costo social es un equilibrio de Nash.

Demostración

Sea $s \in S$ un estado que minimiza $\sum_{i \in N} c_i(s)$.

Suponga que $s$ no es un equilibrio de Nash.

Entonces existe un jugador $i \in N$ y una estrategia $s'i \in S_i$ tal que $c_i(s'i, s{-i}) < c_i(s_i, s{-i})$.

Entonces $\sum_{j \in N} c_j(s'i, s{-i}) = c_i(s'i, s{-i}) + \sum_{j \neq i} c_j(s_{-j}) < c_i(s_i, s_{-i}) + \sum_{j \neq i} c_j(s_{-j}) = \sum_{j \in N} c_j(s_i, s_{-i})$.

$\Rightarrow$ Contradicción al hecho de que $s$ es un óptimo social.

(Juegos de Enrutamiento)

Definición 4.6 (Juego de Enrutamiento)

Un juego de enrutamiento es una tupla $(G, r, c)$ donde:

• $G = (V, E)$ es un grafo dirigido.
• $r = (r_1,..., r_k)$ con $r_i = (s_i, t_i, d_i)$.
• $s_i$ es el nodo de inicio.
• $t_i$ es el nodo de destino.
• $d_i$ es la cantidad de flujo.
• $c = (c_e)_{e \in E}$ es una función de costo para cada arista $e \in E$.

Definición 4.7 (Flujo Válido)

Un flujo $f = (f_p)_{p \in P}$ es válido si para todo $i = 1,..., k$:

• $\sum_{p \in P_i} f_p = d_i$.
• $f_p \geq 0$ para todo $p \in P$.

Definición 4.8 (Flujo en una Arista)

La cantidad de flujo en la arista $e \in E$ es $f_e = \sum_{p: e \in p} f_p$.

Definición 4.9 (Costo de un Camino)

$$c_p(f) = \sum_{e \in p} c_e(f_e)$$

Definición 4.10 (Costo de un Jugador)

El costo de un jugador $i$ es el costo del camino utilizado por el jugador $i$.

4.3 (Precio de la Anarquía)

Definición 4.11 (Precio de la Anarquía)

El precio de la anarquía es la relación entre el peor equilibrio de Nash y el óptimo social.

$$PoA = \frac{\text{Costo del peor equilibrio de Nash}}{\text{Costo del óptimo social}}$$

Negociación Algorítmica y Ejecución de Órdenes.

• La negociación algorítmica es la ejecución de órdenes utilizando instrucciones automatizadas y preprogramadas, considerando variables tales como:

  • Precio
  • Tiempo
  • Volumen

Términos relacionado

• Negociación automatizada: Sistema que ejecuta órdenes automáticamente.
• Negociación de caja negra: Negociación algorítmica donde el algoritmo no se revela.
• Negociación de alta frecuencia (HFT): Subconjunto de la negociación algorítmica caracterizado por altas tasas de rotación y altas relaciones orden-a-negociación.
• Negociación de programas: Generalmente se refiere a la compra o venta simultánea de al menos 15 acciones diferentes valoradas en $1 millón o más.
• Acceso directo al mercado: Un cliente accede directamente al libro de órdenes de la bolsa.
• Co-ubicación: Colocación de un servidor físicamente cerca de los servidores de una bolsa.

Beneficios de la negociación algorítmica

• Costos de transacción reducidos.
• Velocidad de ejecución mejorada.
• Error reducido.
• Impacto en el mercado reducido.
• Eficiencia del mercado aumentada.

Estrategias de la negociación algorítmica

Precio promedio ponderado por volumen (VWAP)

• VWAP = $\frac{\sum_{i=1}^{n} p_i q_i}{\sum_{i=1}^{n} q_i}$
  • Donde:
    • $p_i$ = Precio de transacción para la $i$-ésima negociación
    • $q_i$ = Cantidad negociada para la $i$-ésima negociación

Déficit de implementación (IS)

• El déficit de implementación mide la diferencia entre los rendimientos de un portafolio real (o implementado) y un portafolio simulado.
• Déficit de implementación = Rendimiento del portafolio en papel - Rendimiento del portafolio real
• Déficit de implementación = Costos de retraso + Costos de negociación + Costos de oportunidad + Tarifas
  • Costos de retraso: Costos que surgen del retraso en la negociación.
  • Costos de negociación: Costos explícitos de la negociación (corretaje, impuestos y tarifas de la bolsa) y el impacto en el precio.
  • Costos de oportunidad: Costos de las negociaciones perdidas.

Otras estrategias de la negociación algorítmica.

• TWAP: Precio promedio ponderado por tiempo.
• Porcentaje de volumen.
• Estrategias oscuras.
• Enrutamiento inteligente de órdenes.
• Arbitraje.

Colocación de órdenes

Tipos de órdenes

• Orden de mercado: Se ejecuta inmediatamente al mejor precio disponible.
• Orden limitada: Orden para comprar (vender) a un precio especificado o inferior (superior).
• Orden del día: Orden limitada que expira al final del día si no se cumple.
• Orden buena hasta cancelar (GTC): Orden limitada que permanece en efecto hasta que se completa o se cancela.
• Orden de stop: Orden que se convierte en una orden de mercado una vez que se alcanza un precio de stop especificado.
• Orden de stop-límite: Orden que se convierte en una orden limitada una vez que se alcanza un precio de stop especificado.
• Orden al cierre del mercado: Orden de mercado para ser ejecutada lo más cerca posible del cierre del mercado.
• Orden limitada al cierre: Orden limitada para ser ejecutada lo más cerca posible del cierre del mercado.

Instrucciones de la orden

• Orden todo o nada (AON): Orden que debe ser completada en su totalidad o no ser completada en absoluto.
• Orden completa o cancela (FOK): Orden que debe ser completada inmediatamente y en su totalidad o será cancelada.
• Orden inmediata o cancela (IOC): Orden que debe ser completada inmediatamente; cualquier porción no completada es cancelada.

Mercados oscuros

• Los mercados oscuros no muestran información de las órdenes.
• Tipos de mercados oscuros:
  • Redes de cruce independientes.
  • Mercados oscuros de corredores-distribuidores.
  • Mercados oscuros propiedad de la bolsa.

Cuestiones regulativas

• La contratación algorítmica está sujeta a la supervisión regulativa para garantizar la justicia, prevenir la manipulación del mercado y mantener la integridad del mercado.