Técnicas de Integración y Derivación

Study Notes

Integración por Sustitución: Cambiar una variable para simplificar la integral.
Integración por Partes: Utiliza la fórmula ∫u dv = uv - ∫v du, adecuada para funciones que son productos de otras funciones.
Integración de Fracciones Racionales: Descomponer la función en fracciones más simples.
- Método de fracciones parciales es común.
Integración de Funciones Trigonométricas: Aplicar identidades trigonométricas para simplificar la integral.
- Ejemplo: ∫sin²(x) dx utilizando la identidad sin²(x) = (1 - cos(2x))/2.
Sustitución Trigonométrica: Usar funciones trigonométricas para resolver integrales con raíces cuadradas.
Integrales Improprias: Considerar límites al infinito o discontinuidades en el intervalo de integración.

Teorema Fundamental del Cálculo: Establece la conexión entre la integración y la derivación.
- Si F es la función antiderivada de f, entonces: F'(x) = f(x).
Derivadas de Integrales Definidas:
- La derivada de una integral con límite variable se puede expresar como:
  - d/dx [∫a(x) to b(x) f(t) dt] = f(b(x)) * b'(x) - f(a(x)) * a'(x).
Aplicaciones de la Derivada de Integrales: Ayuda en problemas como la tasa de cambio de áreas y volúmenes.

Cálculo de Velocidades:
- La derivada de la posición respecto al tiempo da la velocidad.
Cálculo de Aceleraciones:
- La derivada de la velocidad respecto al tiempo proporciona la aceleración.
Flujo y Cantidades Relacionadas:
- Derivadas permiten evaluar cómo cambian parámetros en sistemas físicos, como el flujo de líquidos.
Optimización:
- Encontrar máximos y mínimos en contextos físicos, como maximizar el área o minimizar el tiempo.
Ciencias de la Tierra y Física Aplicada:
- Cálculos de fuerzas, energías y cambios en estados, usando derivadas de funciones integradas de energía, trabajo, etc.

### Técnicas de Integración

La integración por sustitución implica cambiar una variable para simplificar la integral.
La integración por partes utiliza la fórmula ∫u dv = uv - ∫v du, especialmente útil para funciones que son productos de otras funciones.
La integración de fracciones racionales se basa en descomponer la función en fracciones más simples.
El método de fracciones parciales es común en la integración de fracciones racionales.
La integración de funciones trigonométricas implica aplicar identidades trigonométricas para simplificar la integral.
Ejemplo: ∫sin²(x) dx se simplifica usando la identidad sin²(x) = (1 - cos(2x))/2.
La sustitución trigonométrica utiliza funciones trigonométricas para resolver integrales que contienen raíces cuadradas.
Las integrales impropias consideran límites al infinito o discontinuidades en el intervalo de integración.

El Teorema Fundamental del Cálculo establece la conexión entre integración y derivación.
Si F es la función antiderivada de f, entonces: F'(x) = f(x).
Las derivadas de integrales definidas se expresan como:
- d/dx [∫a(x) to b(x) f(t) dt] = f(b(x)) * b'(x) - f(a(x)) * a'(x).
Las derivadas de integrales son útiles para problemas relacionados con la tasa de cambio de áreas y volúmenes.

La derivada de la posición respecto al tiempo da la velocidad.
La derivada de la velocidad respecto al tiempo proporciona la aceleración.
Las derivadas permiten evaluar cómo cambian parámetros en sistemas físicos, como el flujo de líquidos.
Se utilizan para encontrar máximos y mínimos en contextos físicos, como maximizar el área o minimizar el tiempo.
Las derivadas son esenciales en ciencias de la tierra y física aplicada para cálculos de fuerzas, energías y cambios en estados, usando funciones integradas de energía, trabajo, etc.