त्रिकोणमितीय अनुपात और कार्य

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Questions and Answers

साइन और कोसाइन फ़ंक्शनों के ग्राफ में परिवर्तनशीलता (periodicity) क्या दर्शाती है?

साइन और कोसाइन फ़ंक्शनों का ग्राफ 360 डिग्री (2π रेडियान) पर दोहराता है, जिसका अर्थ है कि ये फ़ंक्शन नियमित अंतराल पर अपनी मानों को दोहराते हैं।

यूनिट सर्कल के संदर्भ में, किसी बिंदु (x, y) की पहचान कैसे की जाती है?

यूनिट सर्कल में किसी बिंदु (x, y) के गुणांक को उस कोण के कोसाइन और साइन के रूप में समझा जा सकता है।

आरकसाइन (arcsin) फ़ंक्शन की रेंज क्या है?

आरकसाइन फ़ंक्शन की रेंज -90° से 90° के बीच होती है।

रेडियन को डिग्री में परिवर्तित करने की प्रक्रिया क्या है?

रेडियन को डिग्री में परिवर्तित करने के लिए हमें उसे $180/ ext{π}$ से गुणा करना होता है। Signup and view all the answers

साइन और कोसाइन के कानूनों का उपयोग किस प्रकार के त्रिकोण में किया जाता है?

साइन और कोसाइन के कानून का उपयोग गैर-सीधा त्रिकोण में अज्ञात भुजाओं और कोणों को खोजने के लिए किया जाता है। Signup and view all the answers

एक समकोण त्रिभुज में, साइन (sin) का अनुपात क्या होता है?

साइन (sin) वह अनुपात है जो कोण के विपरीत पक्ष और कर्ण के बीच होता है। Signup and view all the answers

कोसाइन (cos) और टैन (tan) के बीच संबंध क्या है?

कोसाइन (cos) और टैन (tan) के बीच संबंध 'tan = sin/cos' के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। Signup and view all the answers

कोणीय फ़ंक्शन के लिए युनिट सर्कल का क्या महत्व है?

युनिट सर्कल कोणीय फ़ंक्शन जैसे साइन, कोसाइन, और टैन के मान को प्रत्येक कोण के लिए परिभाषित करता है। Signup and view all the answers

साइन और कोसाइन के बीच का पायथागोरस पहचान क्या है?

साइन और कोसाइन का पायथागोरस पहचान है: $sin²θ + cos²θ = 1$. Signup and view all the answers

ट्रिग्नोमेट्री का उपयोग किन किन क्षेत्रों में किया जाता है?

ट्रिग्नोमेट्री का उपयोग नेविगेशन, सर्वेक्षण, अभियांत्रिकी, खगोल विज्ञान, और भौतिकी में किया जाता है। Signup and view all the answers

समकोण त्रिभुजों को हल करने में कौन से अनुपात का उपयोग किया जाता है?

समकोण त्रिभुजों को हल करने में साइन, कोसाइन, और टैन अनुपात का उपयोग किया जाता है। Signup and view all the answers

सहायक कोण पहचान क्या है?

सहायक कोण पहचान है: $sin(90° - θ) = cos θ$. Signup and view all the answers

डबल कोण पहचान का उदाहरण क्या है?

डबल कोण पहचान का एक उदाहरण है: $sin(2θ) = 2 sin θ cos θ$. Signup and view all the answers

Study Notes

Fundamental Trigonometric Ratios

Sine (sin): The ratio of the side opposite to an angle to the hypotenuse in a right-angled triangle.
Cosine (cos): The ratio of the side adjacent to an angle to the hypotenuse in a right-angled triangle.
Tangent (tan): The ratio of the side opposite to an angle to the side adjacent to the angle in a right-angled triangle.
These ratios are defined for angles in a right-angled triangle.

Relationship between Trigonometric Ratios

The reciprocal identities:
- cosecant (csc) = 1/sin
- secant (sec) = 1/cos
- cotangent (cot) = 1/tan

Trigonometric Functions

Trigonometric functions extend the definitions of sine, cosine, and tangent to all angles, not just those in right-angled triangles, using the unit circle.
The unit circle defines the values of sin θ, cos θ, and tan θ for any angle θ.

Important Angles and their Trigonometric Values

Common angles (0°, 30°, 45°, 60°, 90° and their multiples ) and their corresponding sine, cosine, and tangent values are crucial for computations. These can be memorized or derived from special right triangles.

Trigonometric Identities

Basic identities: Relate different trigonometric ratios. sin²θ + cos²θ = 1, and variations. Examples include:
- sin(x +y) = sin x cos y + cos x sin y
- cos(x +y) = cos x cos y - sin x sin y
Pythagorean Identities: Fundamental relationships connecting sin θ, cos θ, and sec²θ, csc²θ.
Complementary Angle Identities: Relationships between trigonometric functions and their complements (e.g., sin(90° - θ) = cos θ).
Double angle identities: Relate trigonometric functions of an angle to those of twice the angle (e.g., sin(2θ) = 2 sin θ cos θ).

Applications of Trigonometry

Trigonometry is crucial in numerous applications in many fields, including:
- Navigation: Determining distances and directions.
- Surveying: Calculating heights and distances of inaccessible objects.
- Engineering: Designing structures and calculating forces.
- Astronomy: Calculating distances and positions of celestial objects.
- Physics: Solving problems involving vectors and motion.

Solving Right-Angled Triangles

Using known sides and/or angles, find unknown sides and angles.
Use trigonometric ratios (sin, cos, tan) to solve for unknowns, understanding associated inverse trigonometric functions (arcsin, arccos, arctan).

Graphs of Trigonometric Functions

Understanding the periodic behavior of sine, cosine, and tangent functions is critical.
Graphs show how the functions repeat over intervals of 360 degrees (2π radians), or periods.
Features like amplitude, phase shift, and vertical shift are key concepts when observing the graphs of sine, cosine and tangent functions.

Inverse Trigonometric Functions

Inverse functions (arcsin, arccos, arctan) are crucial for finding the angle associated with a given trigonometric ratio.
Understanding range and domain restrictions (e.g., -90° ≤ arcsin x ≤ 90°) is important.

Unit Circle

The unit circle is a circle with a radius of 1 centered at the origin. The coordinates (x, y) of any point on the unit circle correspond to cosine and sine of an angle.

Radians

Radians are a unit of measuring angles.
One radian is the angle subtended at the center of a circle by an arc that has the same length as the radius of the circle.
Converting between degrees and radians is necessary for many trigonometric calculations.

Law of Sines and Law of Cosines

These laws help solve triangles with non-right angles to find unknown sides and angles.
Important for non-right triangles in geometry and applications.

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Description

यह प्रश्नोत्तरी त्रिकोणमितीय अनुपात, कार्य और उनके महत्वपूर्ण कोणों के मानों पर आधारित है। आप साइन, कोसाइन और टैंजेंट के बीच के संबंधों को जानेंगे। इस परीक्षा का उद्देश्य त्रिकोणमिति की मूलभूत अवधारणाएँ समझना है।