त्रिकोणमिति

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Questions and Answers

त्रिकोणमिति क्या है और इसका अध्ययन किस प्रकार के त्रिकोणों पर केंद्रित है?

त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जो त्रिकोणों के भुजाओं और कोणों के बीच के संबंधों का अध्ययन करती है, विशेष रूप से समकोण त्रिकोणों पर।

साइन और कोसाइन का अनुपात कैसे परिभाषित किया जाता है?

साइन (sin) का अनुपात विपरीत भुजा और कर्ण के बीच होता है, जबकि कोसाइन (cos) का अनुपात सन्निकट भुजा और कर्ण के बीच होता है।

पाइथागोरस की पहचान क्या है और इसे कैसे व्यक्त किया जाता है?

पाइथागोरस की पहचान कहती है कि $sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1$। यह समकोण त्रिकोण में साइन और कोसाइन के बीच संबंध को दर्शाता है।

इकाई वृत्त (Unit Circle) का त्रिकोणमिति में क्या महत्व है?

इकाई वृत्त त्रिकोणमिति में महत्वपूर्ण है क्योंकि यह कोणों के लिए साइन और कोसाइन को परिभाषित करने का आधार प्रदान करता है। Signup and view all the answers

सामान्य कोणों जैसे $30°$, $45°$, और $60°$ के लिए साइन और कोसाइन के मान क्या हैं?

$30°$ के लिए $sin(30°) = rac{1}{2}, cos(30°) = rac{ ext{ extsqrt{3}}}{2}$; $45°$ के लिए $sin(45°) = cos(45°) = rac{ ext{ extsqrt{2}}}{2}$; $60°$ के लिए $sin(60°) = rac{ ext{ extsqrt{3}}}{2}, cos(60°) = rac{1}{2}$। Signup and view all the answers

त्रिकोणमितीय पहचानों में युग्म और विषम सूत्र क्या हैं?

युग्म सूत्रों में $sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)$ और $cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)$ शामिल हैं। Signup and view all the answers

त्रिकोणमिति के अनुपात (reciprocal functions) क्या हैं?

अनुपात में cosecant (csc), secant (sec) और cotangent (cot) शामिल हैं, जहाँ $csc(θ) = 1/sin(θ)$, $sec(θ) = 1/cos(θ)$, और $cot(θ) = 1/tan(θ)$। Signup and view all the answers

त्रिकोणमितीय कार्यों का चक्रवृत्तीय गुण क्या है?

त्रिकोणमितीय कार्यों का चक्रवृत्तीय गुण परिधि में चक्रीय विशेषताएँ है: साइन और कोसाइन का समयाकाल $2π$ है, जबकि टैंजेंट का समयाकाल $π$ है। Signup and view all the answers

यदि सकारात्मक कोण $ heta$ के लिए $ an( heta) = rac{1}{ an(30°)}$, तो $ heta$ का मान क्या होगा?

45° Signup and view all the answers

यदि एक समकोण त्रिकोण में इस कोण को $ heta$ कहते हैं और इसे $c$ की लंबाई दी गई है, तो $c$ के संबंध में $ ext{sec}( heta)$ का मान क्या होगा?

Hypotenuse / Adjacent Signup and view all the answers

एक त्रिकोण के लिए, यदि $a/sin(A) = b/sin(B)$ सच है, तो इसे किस नियम के द्वारा समझाया जा सकता है?

साइन का नियम Signup and view all the answers

यदि $ ext{sin}^2(θ) + ext{cos}^2(θ) = 1$ सत्य है, तो यह किस परिभाषा को दर्शाता है?

त्रिकोणमितीय पहचान Signup and view all the answers

यदि $ heta = 270°$ है, तो $ ext{cos}( heta)$ का मान क्या होगा?

0 Signup and view all the answers

Study Notes

Trigonometry

Definition: A branch of mathematics that studies the relationships between the sides and angles of triangles, particularly right triangles.
Basic Functions:
1. Sine (sin): Ratio of the length of the opposite side to the hypotenuse.
2. Cosine (cos): Ratio of the length of the adjacent side to the hypotenuse.
3. Tangent (tan): Ratio of the length of the opposite side to the adjacent side.
Reciprocal Functions:
1. Cosecant (csc): Reciprocal of sine (1/sin).
2. Secant (sec): Reciprocal of cosine (1/cos).
3. Cotangent (cot): Reciprocal of tangent (1/tan).
Key Ratios (for a right triangle):
- For angle θ:
  - ( \sin(θ) = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} )
  - ( \cos(θ) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} )
  - ( \tan(θ) = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} )
Pythagorean Identity:
- ( \sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1 )
Unit Circle:
- A circle with a radius of 1, centered at the origin (0,0) of the coordinate plane.
- Trigonometric functions can be defined in terms of coordinates on the unit circle:
  - ( \sin(θ) = y )
  - ( \cos(θ) = x )
Angle Measurement:
- Degrees: A full circle is 360 degrees.
- Radians: A full circle is ( 2π ) radians; conversion: ( 180° = π ) radians.
Common Angles:
- ( 0° ) or ( 0 ): ( (1, 0) )
- ( 30° ) or ( π/6 ): ( \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right) )
- ( 45° ) or ( π/4 ): ( \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) )
- ( 60° ) or ( π/3 ): ( \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) )
- ( 90° ) or ( π/2 ): ( (0, 1) )
Trigonometric Identities:
- Sum and Difference Formulas:
  - ( \sin(a ± b) = \sin(a)\cos(b) ± \cos(a)\sin(b) )
  - ( \cos(a ± b) = \cos(a)\cos(b) ∓ \sin(a)\sin(b) )
- Double Angle Formulas:
  - ( \sin(2θ) = 2\sin(θ)\cos(θ) )
  - ( \cos(2θ) = \cos^2(θ) - \sin^2(θ) ) or ( 2\cos^2(θ) - 1 ) or ( 1 - 2\sin^2(θ) )
Applications:
- Used in physics (waves, oscillations), engineering (design, architecture), and computer graphics (modeling, animations).
Graphing:
- Trigonometric functions have periodic properties:
  - Sine and Cosine: Period of ( 2π )
  - Tangent: Period of ( π )
Inverse Trigonometric Functions:
- Used to find angles given ratios.
- Functions include:
  - ( \sin^{-1}(x) ) or ( \arcsin(x) )
  - ( \cos^{-1}(x) ) or ( \arccos(x) )
  - ( \tan^{-1}(x) ) or ( \arctan(x) )
Law of Sines:
- ( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} )
Law of Cosines:
- ( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) )
- Useful for non-right triangles.

त्रिकोणमिति

परिभाषा: यह गणित की एक शाखा है जो त्रिभुजों के भुजाओं और कोणों के बीच के संबंध का अध्ययन करती है, खासकर समकोण त्रिभुजों में।
मूल कार्य:
- साइन (sin): विपरीत भुजा की लंबाई का अनुपात विषमक की लंबाई से।
- कोसाइन (cos): आसन्न भुजा की लंबाई का अनुपात विषमक की लंबाई से।
- टैन्जेंट (tan): विपरीत भुजा की लंबाई का अनुपात आसन्न भुजा की लंबाई से।
प्रतिलोम कार्य:
- कोसेकेंट (csc): साइन का प्रतिलोम (1/sin)।
- सेकेंट (sec): कोसाइन का प्रतिलोम (1/cos)।
- कोटैन्जेंट (cot): टैन्जेंट का प्रतिलोम (1/tan)।
मुख्य अनुपात (समकोण त्रिभुज के लिए):
- कोण θ के लिए:
  - ( \sin(θ) = \frac{\text{विपरीत}}{\text{विषमक}} )
  - ( \cos(θ) = \frac{\text{आसन्न}}{\text{विषमक}} )
  - ( \tan(θ) = \frac{\text{विपरीत}}{\text{आसन्न}} )
पाइथागोरस पहचान:
- ( \sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1 )
एकक वृत्त:
- त्रिकोणमितीय कार्यों को एकक वृत्त पर स्थितियों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
  - ( \sin(θ) = y )
  - ( \cos(θ) = x )
- एकक वृत्त का त्रिज्या 1 और केन्द्र (0,0) पर होता है।
कोण मापन:
- डिग्री: एक पूरा वृत्त 360 डिग्री में होता है।
- रेडियन: एक पूरा वृत्त ( 2π ) रेडियन में होता है; रूपांतरण: ( 180° = π ) रेडियन।
- सामान्य कोण:
  - ( 0° ) या ( 0 ): ( (1, 0) )
  - ( 30° ) या ( π/6 ): ( \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right) )
  - ( 45° ) या ( π/4 ): ( \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) )
  - ( 60° ) या ( π/3 ): ( \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) )
  - ( 90° ) या ( π/2 ): ( (0, 1) )
त्रिकोणमितीय पहचानों:
- योग और अंतर सूत्र:
  - ( \sin(a ± b) = \sin(a)\cos(b) ± \cos(a)\sin(b) )
  - ( \cos(a ± b) = \cos(a)\cos(b) ∓ \sin(a)\sin(b) )
- दोगुणित कोण सूत्र:
  - ( \sin(2θ) = 2\sin(θ)\cos(θ) )
  - ( \cos(2θ) = \cos^2(θ) - \sin^2(θ) ) या ( 2\cos^2(θ) - 1 ) या ( 1 - 2\sin^2(θ) )
अनुप्रयोग:
- भौतिकी (तरंगें, दोलन), इंजीनियरिंग (डिजाइन, वास्तुकला), और कंप्यूटर ग्राफिक्स (मॉडलिंग, एनिमेशन) में उपयोग होता है।
ग्राफिंग:
- त्रिकोणमितीय कार्यों में आवर्तक गुण होते हैं:
  - साइन और कोसाइन: अवधि ( 2π )
  - टैन्जेंट: अवधि ( π )
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय कार्य:
- अनुपात दिए जाने पर कोण ज्ञात करने के लिए उपयोगी होते हैं।
- कार्यों में शामिल हैं:
  - ( \sin^{-1}(x) ) या ( \text{arcsin}(x) )
  - ( \cos^{-1}(x) ) या ( \text{arccos}(x) )
  - ( \tan^{-1}(x) ) या ( \text{arctan}(x) )
साइन का नियम:
- ( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} )
कोसाइन का नियम:
- ( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) )
- गैर-समकोण त्रिभुजों के लिए उपयोगी।

त्रिकोणमिति का परिचय

त्रिकोण और उनके कोणों और भुजाओं के बीच के संबंधों का अध्ययन करने वाली गणित की शाखा, विशेष रूप से समकोण त्रिकोण।

मुख्य कार्य

साइन (sin)
- सूत्र: sin(θ) = परवर्तिका भुजा / कर्ण
कोसाइन (cos)
- सूत्र: cos(θ) = संलग्न भुजा / कर्ण
टैंगेंट (tan)
- सूत्र: tan(θ) = परवर्तिका भुजा / संलग्न भुजा

पूरक कार्य

कोसिकेंट (csc)
- सूत्र: csc(θ) = 1/sin(θ)
सेकेंट (sec)
- सूत्र: sec(θ) = 1/cos(θ)
कोटैंगेंट (cot)
- सूत्र: cot(θ) = 1/tan(θ)

पाइथागोरियन पहचान

मूलभूत संबंध:
- sin²(θ) + cos²(θ) = 1

कोण मापन

डिग्री और रेडियन:
- पूर्ण वृत्त: 360 डिग्री = 2π रेडियन
- सामान्य परिवर्तन:
  - 90° = π/2 रेडियन
  - 180° = π रेडियन
  - 270° = 3π/2 रेडियन

इकाई वृत्त

केन्द्र (0,0) पर साथ एक व्यास 1 का वृत्त।
वृत्त पर बिंदुओं के निर्देशांक:
- (cos(θ), sin(θ))

सामान्य कोण मान

0°, 30°, 45°, 60°, 90°:
- sin: 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1
- cos: 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0
- tan: 0, √3/3, 1, √3, अव्यवस्थित

त्रिकोणमिति के नियम

साइन का नियम
- a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
- त्रिकोण की भुजाओं को उनके कोणों के साइन से संबंधित करता है।
कोसाइन का नियम
- c² = a² + b² - 2ab * cos(C)
- किसी भी त्रिकोण के लिए पाइथागोरियन प्रमेय का सामान्यीकरण है।

त्रिकोणमितीय समीकरण

सामान्य रूप शामिल हैं:
- sin(θ) = k
- cos(θ) = k
- tan(θ) = k
समाधान अक्सर कोणों और आवर्ती गुणों के साथ होते हैं।

अनुप्रयोग

भौतिकी, इंजीनियरिंग, वास्तुकला और कंप्यूटर ग्राफिक्स जैसे विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग होता है।
तरंग पैटर्न, दोलन और वृत्तीय गति का विश्लेषण करने के लिए आवश्यक।

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Description

यह क्विज त्रिकोणमिति के मूल सिद्धांतों और कार्यों के बारे में है। इसमें साइन, कोसाइन, टेंजेंट, और उनके व्युत्क्रमानुपातों का विवरण शामिल है। यह क्विज उन छात्रों के लिए उपयुक्त है जो गणित के इस महत्वपूर्ण विषय को समझना चाहते हैं।