त्रिकोणमिति और बीजगणित

Trigonometry

• Definitions:

  • Study of relationships between angles and sides of triangles.
  • Key functions: sine (sin), cosine (cos), tangent (tan).

• Right Triangle Ratios:

  • sin(θ) = opposite/hypotenuse
  • cos(θ) = adjacent/hypotenuse
  • tan(θ) = opposite/adjacent

• Unit Circle:

  • Circle with radius 1 centered at the origin.
  • Key angles: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°.

• Laws:

  • Law of Sines: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C).
  • Law of Cosines: c² = a² + b² - 2ab*cos(C).

Algebra

• Fundamental Concepts:

  • Variables, constants, coefficients, expressions, equations.

• Operations:

  • Addition, subtraction, multiplication, division of algebraic expressions.

• Types of Equations:

  • Linear: Ax + B = 0.
  • Quadratic: Ax² + Bx + C = 0; solutions via factoring, completing the square, or quadratic formula.

• Functions:

  • Definition: a relation that assigns exactly one output for each input.
  • Types: linear, quadratic, polynomial, rational, exponential, logarithmic.

Geometry

• Basic Shapes:

  • Triangle: Sum of angles = 180°; area = 1/2 * base * height.
  • Quadrilaterals: Area formulas vary (e.g., rectangle = length * width, trapezoid = 1/2 * (b1 + b2) * height).
  • Circle: Circumference = 2πr; area = πr².

• Theorems:

  • Pythagorean Theorem: a² + b² = c² for right triangles.
  • Congruence and similarity criteria for triangles.

• Coordinate Geometry:

  • Points defined as (x, y).
  • Slope of a line: m = (y2 - y1)/(x2 - x1).

Calculus

• Fundamental Concepts:

  • Limits: Understanding behavior of functions as inputs approach a value.

• Derivatives:

  • Rate of change; slope of the tangent line at a point.
  • Rules: Power rule, product rule, quotient rule, chain rule.

• Integrals:

  • Area under the curve.
  • Fundamental Theorem of Calculus connects differentiation and integration.

• Applications:

  • Optimization problems.
  • Motion analysis through position, velocity, and acceleration functions.

Statistics

• Descriptive Statistics:

  • Mean: Average of a data set.
  • Median: Middle value.
  • Mode: Most frequently occurring value.

• Inferential Statistics:

  • Making predictions or inferences about a population based on sample data.

• Probability:

  • Measure of the likelihood of an event.
  • Basic rules: Addition and multiplication rules.

• Distributions:

  • Normal distribution: bell-shaped curve characterized by mean and standard deviation.
  • Other distributions: binomial, Poisson, uniform.

त्रिकोणमिति

• त्रिभुजों के कोणों और पक्षों के बीच संबंधों का अध्ययन।

• प्रमुख फलन: साइन (sin), कोसाइन (cos), टैन्जेंट (tan)।

• सही त्रिभुज अनुपात:

  • sin(θ) = विपरीत/हाइपोटेन्यूज
  • cos(θ) = समसामानांतर/हाइपोटेन्यूज
  • tan(θ) = विपरीत/समसामानांतर

• यूनिट सर्कल:

  • त्रिज्या 1 वाला वृत्त, मूल के चारों ओर।
  • प्रमुख कोण: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°।

• कानून:

  • साइन का कानून: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)।
  • कोसाइन का कानून: c² = a² + b² - 2ab*cos(C)।

बीजगणित

• मूलभूत अवधारणाएँ:
  • चर, स्थिरांक, गुणांक, अभिव्यक्तियाँ, समीकरण।
• संचालन:
  • बीजगणितीय अभिव्यक्तियों की जोड़, घटाव, गुणा, विभाजन।
• समीकरण के प्रकार:
  • रैखिक: Ax + B = 0।
  • द्विघात: Ax² + Bx + C = 0; समाधान कारक द्वारा, वर्ग पूरा करके, या द्विघात सूत्र द्वारा।
• फलन:
  • परिभाषा: हर इनपुट के लिए सटीक एक आउटपुट सौंपती है।
  • प्रकार: रैखिक, द्विघात, बहुपद, अंशात्मक, घातीय, लोगारिद्मिक।

ज्यामिति

• मूल आकृतियाँ:
  • त्रिभुज: कोणों का योग = 180°; क्षेत्रफल = 1/2 * आधार * ऊँचाई।
  • चतुर्भुज: क्षेत्रफल के सूत्र भिन्न होते हैं (जैसे, आयत = लंबाई * चौड़ाई, त्रैपेज़ियम = 1/2 * (b1 + b2) * ऊँचाई)।
  • वृत्त: परिधि = 2πr; क्षेत्रफल = πr²।
• सिद्धांत:
  • पायथागोरस का सिद्धांत: a² + b² = c² सही त्रिभुजों के लिए।
  • त्रिभुजों के समता और समानता के मानदंड।
• निर्देशांक ज्यामिति:
  • बिंदुएँ (x, y) के रूप में परिभाषित।
  • रेखा की ढाल: m = (y2 - y1)/(x2 - x1)।

कलन

• मूलभूत अवधारणाएँ:
  • सीमाएँ: जब इनपुट एक मान की ओर बढ़ते हैं, तो फलनों का व्यवहार।
• व्युत्पत्ति:
  • परिवर्तन की दर; किसी बिंदु पर टेंजन्ट रेखा की ढाल।
  • नियम: पावर नियम, उत्पाद नियम, भाग नियम, श्रृंखला नियम।
• इंटीग्रल:
  • आकृति के नीचे का क्षेत्रफल।
  • कलन का मूल सिद्धांत, व्युत्पत्ति और इंटीग्रेशन को जोड़ता है।
• अनुप्रयोग:
  • अनुकूलन समस्याएँ।
  • स्थिति, वेग, और त्वरण का विश्लेषण।

सांख्यिकी

• विवरणात्मक सांख्यिकी:
  • औसत: डेटा सेट का औसत।
  • मध्य मान: मध्य मूल्य।
  • मोड: सबसे अधिक बार होने वाला मान।
• संबंधात्मक सांख्यिकी:
  • नमूना डेटा के आधार पर जनसंख्या के बारे में भविष्यवाणी या निष्कर्ष निकालना।
• संभाव्यता:
  • किसी घटना की घटित होने की संभावना का माप।
  • मूल नियम: जोड़ने और गुणा करने के नियम।
• वितरण:
  • सामान्य वितरण: बेल के आकार का वक्र, जिसे मध्यम और मानक विचलन द्वारा वर्णित किया जाता है।
  • अन्य वितरण: बायनॉमियल, पोइस्सन, समान।

कार्बनिक रसायन विज्ञान

• परिभाषा: कार्बन युक्त यौगिकों की संरचना, गुण, संघटन, प्रतिक्रियाएँ, और संश्लेषण का अध्ययन।

मुख्य अवधारणाएँ

• कार्बन बंधन:

  • कार्बन चार कोवलेन्ट बंधन बना सकता है।
  • एकल, दोहरी, और तीनगুণ बंधन बना सकता है।

• हाइड्रोकार्बन:

  • केवल कार्बन और हाइड्रोजन से बने यौगिक।
  • प्रकार: अल्केन (संतृप्त), अल्कीन (दोहरी बंधन वाला), और अल्काइन (तीनगुण बंधन वाला)।

• कार्यात्मक समूह:

  • विशिष्ट परमाणुओं के समूह जो कार्बनिक अणुओं को विशेष गुण या प्रतिक्रिया क्षमता देते हैं (जैसे -हाइड्रॉक्सिल -OH, -कार्बोक्सिल -COOH, -एमिनो -NH2)।

• आइसोमेरिज़्म:

  • संरचनात्मक आइसोमेर: परमाणुओं का विभिन्न संयोजन (जैसे सीधे श्रृंखला बनाम शाखित)।
  • भौगोलिक आइसोमर: विभिन्न स्थानिक व्यवस्थाएँ (सिस-ट्रांस, E-Z विन्यास)।
  • स्टेरेओआइसोमर: समान संयोजन लेकिन स्थान में विभेदित (एनेन्टीओमर्स, डायस्टेरेओमर्स)।

प्रतिक्रियाएँ

• अधिग्रहण प्रतिक्रियाएँ: दोहरी या तीनगुण बंधन में परमाणुओं का जोड़ना।
• प्रतिस्थापन प्रतिक्रियाएँ: एक परमाणु या समूह का दूसरे से प्रतिस्थापन।
• उन्मूलन प्रतिक्रियाएँ: परमाणुओं का हटाना, जिससे दोहरी या तीनगुण बंधन का निर्माण होता है।
• पुनर्व्यवस्था प्रतिक्रियाएँ: यौगिक के भीतर परमाणुओं या समूहों का पुनर्व्यवस्था करना।

प्रमुख कार्बनिक यौगिकों के वर्ग

• अल्केन: संतृप्त हाइड्रोकार्बन (C-C बंधन) जैसे मीथेन, एथेन।
• अल्कीन: असंतृप्त हाइड्रोकार्बन (C=C बंधन) जैसे इथिलीन।
• अल्काइन: असंतृप्त हाइड्रोकार्बन (C≡C बंधन) जैसे एसिटिलीन।
• सुगंधित यौगिक: बेंजीन रिंग्‍स वाले यौगिक जैसे टोल्यूएन, फेनॉल।
• अल्कोहल: हाइड्रॉक्सिल (-OH) समूह वाले यौगिक जैसे एथेनॉल।
• कार्बोक्सिल एसिड: कार्बोक्सिल (-COOH) समूह वाले यौगिक जैसे एसीटिक एसिड।
• एमाइन: एमिनो समूह (-NH2) वाले यौगिक जैसे एनिलीन।

नामकरण

• IUPAC नामकरण: संरचना के आधार पर कार्बनिक यौगिकों का व्यवस्थित नामकरण।
  • सबसे लंबी कार्बन श्रृंखला को पहचानना, कार्यात्मक समूहों का नामकरण करना और श्रंखला को संख्याबद्ध करना ताकि उच्च प्राथमिकता वाले कार्यात्मक समूह को प्राथमिकता मिले।

संश्लेषण और यांत्रिक प्रक्रियाएँ

• रेट्रोसिंथेटिक विश्लेषण: जटिल यौगिकों के संश्लेषण की योजना बनाने की रणनीति, जिसे सरल पूर्ववर्तियों में तोड़कर किया जाता है।
• यांत्रिकी: प्रतिक्रिया की विस्तृत कदम-दर-कदम विवरण, अक्सर मध्यवर्ती और संक्रमण अवस्थाओं के साथ।

स्पेक्ट्रोस्कोपी तकनीकें

• NMR (न्यूक्लियर मैग्नेटिक रेज़ोनेंस): नाभिक के चुंबकीय गुणों के आधार पर संरचनात्मक विशेषताओं की पहचान के लिए प्रयुक्त।
• IR (इन्फ्रारेड स्पेक्ट्रोस्कोपी): अणु के कंपन के आधार पर कार्यात्मक समूहों की पहचान करता है।
• मास स्पेक्ट्रोमेट्री: द्रव्यमान से चार्ज अनुपात के विश्लेषण द्वारा आणविक वजन और संरचना का निर्धारण करता है।

कार्बनिक रसायन विज्ञान के आवेदन

• फार्मास्यूटिकल्स: दवाओं का डिज़ाइन और संश्लेषण।
• प्लास्टिक्स: विभिन्न अनुप्रयोगों के लिए पॉलीमर का विकास।
• कृषि: कीटनाशकों और उर्वरकों का निर्माण।
• जैव रसायन: प्रोटीन, न्यूक्लिक एसिड, और कार्बोहाइड्रेट्स जैसे बायोमॉलिक्यूल्स का अध्ययन।