त्रिकोणमिति का परिचय

त्रिकोणमिति (Trigonometry)

• त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जो त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों का अध्ययन करती है।
• त्रिकोणमिति विशेष रूप से समकोण त्रिभुजों (एक कोण 90 डिग्री वाले त्रिभुज) के लिए उपयोगी है।
• त्रिकोणमिति त्रिकोणमितीय अनुपातों पर आधारित है, जो एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात हैं।
• प्राथमिक त्रिकोणमितीय अनुपात sine (sin), cosine (cos), और tangent (tan) हैं।

साइन (Sine)

• एक समकोण त्रिभुज में एक कोण का साइन (sin), कोण के विपरीत भुजा की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात होता है।
• sin(θ) = लंब / कर्ण

कोसाइन (Cosine)

• एक समकोण त्रिभुज में एक कोण का कोसाइन (cos), कोण के आसन्न भुजा की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात होता है।
• cos(θ) = आधार / कर्ण

टैंजेंट (Tangent)

• एक समकोण त्रिभुज में एक कोण का टैंजेंट (tan), कोण के विपरीत भुजा की लंबाई और कोण के आसन्न भुजा की लंबाई का अनुपात होता है।
• tan(θ) = लंब / आधार
• टैंजेंट को sin(θ) / cos(θ) के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय अनुपात (Reciprocal Trigonometric Ratios)

• कोसेकेंट (cosecant / csc), सेकेंट (secant / sec), और कोटैंजेंट (cotangent / cot) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय अनुपात हैं।

कोसेकेंट (Cosecant)

• कोसेकेंट (csc) साइन का व्युत्क्रम है।
• csc(θ) = कर्ण / लंब = 1 / sin(θ)

सेकेंट (Secant)

• सेकेंट (sec) कोसाइन का व्युत्क्रम है।
• sec(θ) = कर्ण / आधार = 1 / cos(θ)

कोटैंजेंट (Cotangent)

• कोटैंजेंट (cot) टैंजेंट का व्युत्क्रम है।
• cot(θ) = आधार / लंब = 1 / tan(θ)
• कोटैंजेंट को cos(θ) / sin(θ) के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

मानक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Standard Angles)

• कुछ कोण जैसे 0°, 30°, 45°, 60° और 90° को त्रिकोणमिति में मानक कोण माना जाता है।
• इन कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों के विशिष्ट मान होते हैं जिनका अक्सर उपयोग किया जाता है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Trigonometric Identities)

• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ त्रिकोणमितीय फलनों को शामिल करने वाले समीकरण हैं जो चर के उन सभी मानों के लिए सत्य हैं जिनके लिए फलनों को परिभाषित किया गया है।
• इनका उपयोग त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सरल बनाने और त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है।

पाइथागोरस प्रमेय (Pythagorean Identity)

• sin²(θ) + cos²(θ) = 1
• यह सर्वसमिका पाइथागोरस प्रमेय से प्राप्त की गई है।
• इस सर्वसमिका के रूपांतरों में शामिल हैं: sin²(θ) = 1 - cos²(θ) और cos²(θ) = 1 - sin²(θ)।

अन्य महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएँ (Other Important Identities)

• 1 + tan²(θ) = sec²(θ)
• 1 + cot²(θ) = csc²(θ)

कोण योग और अंतर सर्वसमिकाएँ (Angle Sum and Difference Identities)

• साइन का योग: sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
• साइन का अंतर: sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)
• कोसाइन का योग: cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)
• कोसाइन का अंतर: cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)
• टैंजेंट का योग: tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A)tan(B))
• टैंजेंट का अंतर: tan(A - B) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B))

द्वि-कोण सर्वसमिकाएँ (Double Angle Identities)

• ये योग सर्वसमिकाओं के विशेष मामले हैं।
• sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
• cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) = 2cos²(θ) - 1 = 1 - 2sin²(θ)
• tan(2θ) = (2tan(θ)) / (1 - tan²(θ))

अर्ध-कोण सर्वसमिकाएँ (Half Angle Identities)

• ये सर्वसमिकाएँ कोण के आधे के त्रिकोणमितीय फलनों को कोण के फलनों के रूप में व्यक्त करती हैं।
• sin(θ/2) = ±√((1 - cos(θ)) / 2)
• cos(θ/2) = ±√((1 + cos(θ)) / 2)
• tan(θ/2) = ±√((1 - cos(θ)) / (1 + cos(θ))) = sin(θ) / (1 + cos(θ)) = (1 - cos(θ)) / sin(θ)

गुणन-से-योग सर्वसमिकाएँ (Product-to-Sum Identities)

• ये सर्वसमिकाएँ आपको त्रिकोणमितीय फलनों के उत्पादों को योग या अंतर के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देती हैं।
• sin(A)cos(B) = 0.5[sin(A + B) + sin(A - B)]
• cos(A)sin(B) = 0.5[sin(A + B) - sin(A - B)]
• cos(A)cos(B) = 0.5[cos(A + B) + cos(A - B)]
• sin(A)sin(B) = 0.5[cos(A - B) - cos(A + B)]

योग-से-गुणन सर्वसमिकाएँ (Sum-to-Product Identities)

• ये सर्वसमिकाएँ आपको त्रिकोणमितीय फलनों के योग या अंतर को उत्पादों के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देती हैं।
• sin(A) + sin(B) = 2sin((A + B) / 2)cos((A - B) / 2)
• sin(A) - sin(B) = 2cos((A + B) / 2)sin((A - B) / 2)
• cos(A) + cos(B) = 2cos((A + B) / 2)cos((A - B) / 2)
• cos(A) - cos(B) = -2sin((A + B) / 2)sin((A - B) / 2)

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना (Solving Trigonometric Equations)

• त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में चर के उन मानों को खोजना शामिल है जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
• त्रिकोणमितीय फलन को अलग करने के लिए बीजगणितीय तकनीकों और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करें।
• सभी संभावित समाधान खोजने के लिए त्रिकोणमितीय फलन की अवधि पर विचार करें।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Functions)

• व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन उस कोण को खोजते हैं जो दिए गए त्रिकोणमितीय अनुपात के अनुरूप होता है।
• arcsin(x) या sin⁻¹(x) वह कोण ज्ञात करता है जिसका साइन x है।
• arccos(x) या cos⁻¹(x) वह कोण ज्ञात करता है जिसका कोसाइन x है।
• arctan(x) या tan⁻¹(x) वह कोण ज्ञात करता है जिसका टैंजेंट x है।
• व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के डोमेन को यह सुनिश्चित करने के लिए प्रतिबंधित किया गया है कि वे एकल-मान वाले हों।

ज्या का नियम (Law of Sines)

• ज्या का नियम किसी भी त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को उसके कोणों के ज्या से संबंधित करता है।
• a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), जहाँ a, b और c भुजाओं की लंबाई हैं और A, B और C विपरीत कोण हैं।
• त्रिभुजों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है जब दो कोण और एक भुजा (AAS या ASA) या दो भुजाएँ और उनमें से एक के विपरीत कोण (SSA) दिए गए हों। SSA स्थिति में शून्य, एक या दो संभावित समाधान हो सकते हैं।

कोज्या का नियम (Law of Cosines)

• कोज्या का नियम किसी भी त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को उसके कोणों में से एक की कोसाइन से संबंधित करता है।
• a² = b² + c² - 2bc * cos(A)
• b² = a² + c² - 2ac * cos(B)
• c² = a² + b² - 2ab * cos(C)
• त्रिभुजों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है जब तीन भुजाएँ (SSS) या दो भुजाएँ और शामिल कोण (SAS) दिए गए हों।

त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग (Applications of Trigonometry)

• नौवहन: दिशा और दूरी का निर्धारण
• भौतिकी: प्रक्षेप्य गति का विश्लेषण, तरंग परिघटना
• इंजीनियरिंग: संरचनाओं का डिजाइन, विद्युत परिपथ
• सर्वेक्षण: भूमि मापना, मानचित्र बनाना
• कंप्यूटर ग्राफिक्स: यथार्थवादी चित्र और एनिमेशन बनाना