त्रिकोणमिति का परिचय

- त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जो त्रिभुजों के कोणों और भुजाओं के बीच संबंधों का अध्ययन करती है।
- यह ज्यामिति, नेविगेशन, भौतिकी और इंजीनियरिंग जैसे क्षेत्रों के लिए मौलिक है।
- इन संबंधों को परिभाषित करने के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग किया जाता है।

### समकोण त्रिभुज
- त्रिकोणमिति मुख्य रूप से समकोण त्रिभुजों से संबंधित है, जिसमें एक कोण 90 डिग्री का होता है।
- समकोण के विपरीत भुजा को कर्ण कहा जाता है, जो सबसे लंबी भुजा होती है।
- अन्य दो भुजाओं को पैर कहा जाता है, और उनके नाम (विपरीत और आसन्न) संदर्भ कोण पर निर्भर करते हैं।
- संदर्भ कोण के विपरीत भुजा को विपरीत भुजा कहा जाता है।
- संदर्भ कोण के अगली भुजा (कर्ण के अलावा) को आसन्न भुजा कहा जाता है।

### त्रिकोणमितीय अनुपात
- प्राथमिक त्रिकोणमितीय अनुपात एक समकोण त्रिभुज के कोणों को उसकी भुजाओं के अनुपात से संबंधित करते हैं।
- साइन (sin) विपरीत भुजा का कर्ण से अनुपात है: sin(θ) = विपरीत / कर्ण।
- कोसाइन (cos) आसन्न भुजा का कर्ण से अनुपात है: cos(θ) = आसन्न / कर्ण।
- टैंजेंट (tan) विपरीत भुजा का आसन्न भुजा से अनुपात है: tan(θ) = विपरीत / आसन्न।
- इन अनुpaaton को अक्सर SOH CAH TOA के रूप में याद किया जाता है।

### व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय अनुपात
- कोसेकेंट (csc) साइन का व्युत्क्रम है: csc(θ) = कर्ण ​​/ विपरीत = 1 / sin(θ)।
- सेकेंट (sec) कोसाइन का व्युत्क्रम है: sec(θ) = कर्ण ​​/ आसन्न = 1 / cos(θ)।
- कोटेंजेंट (cot) टैंजेंट का व्युत्क्रम है: cot(θ) = आसन्न / विपरीत = 1 / tan(θ)।

### सामान्य कोण
- कुछ कोण त्रिकोणमिति में बार-बार आते हैं और उनके त्रिकोणमितीय अनुपात सुप्रसिद्ध हैं।
- sin(0°) = 0, cos(0°) = 1, tan(0°) = 0
- sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = 1/√3
- sin(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1
- sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3
- sin(90°) = 1, cos(90°) = 0, tan(90°) अपरिभाषित है

### पाइथागोरस प्रमेय
- पाइथागोरस प्रमेय एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं से संबंधित है: a² + b² = c², जहाँ a और b पैर हैं और c कर्ण है।
- इसका उपयोग अज्ञात भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए किया जाता है यदि अन्य दो भुजाएँ ज्ञात हों।

### त्रिकोणमितीय पहचान
- त्रिकोणमितीय पहचान समीकरण हैं जो चर के सभी मानों के लिए सत्य हैं।
- sin²(θ) + cos²(θ) = 1 (पाइथागोरस पहचान)
- tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
- cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)
- 1 + tan²(θ) = sec²(θ)
- 1 + cot²(θ) = csc²(θ)

### उदग्र और अवनमन कोण
- उदग्र कोण क्षैतिज से ऊपर की ओर दृष्टि रेखा तक का कोण है।
- अवनमन कोण क्षैतिज से नीचे की ओर दृष्टि रेखा तक का कोण है।
- इन कोणों का उपयोग ऊंचाइयों और दूरियों से जुड़े अनुप्रयोगों में किया जाता है।

### ज्या का नियम
- ज्या का नियम बताता है कि किसी भी त्रिभुज (केवल समकोण त्रिभुजों के अलावा) के लिए, भुजा की लंबाई का उसके विपरीत कोण की ज्या के अनुपात स्थिर होता है।
- a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), जहाँ a, b, c भुजा की लंबाई हैं और A, B, C विपरीत कोण हैं।
- त्रिभुजों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है जब दो कोण और एक भुजा (AAS या ASA) या दो भुजाएँ और एक गैर-शामिल कोण (SSA) दिया जाता है। SSA मामले में शून्य, एक या दो संभावित समाधान हो सकते हैं।

### कोसाइन का नियम
- कोसाइन का नियम किसी भी त्रिभुज की भुजाओं और कोणों से संबंधित है।
- a² = b² + c² - 2bc * cos(A)
- b² = a² + c² - 2ac * cos(B)
- c² = a² + b² - 2ab * cos(C)
- त्रिभुजों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है जब तीन भुजाएँ (SSS) या दो भुजाएँ और शामिल कोण (SAS) दिया जाता है।

### इकाई वृत्त
- इकाई वृत्त एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या 1 है जो निर्देशांक समतल में मूल पर केंद्रित है।
- इसका उपयोग सभी वास्तविक संख्याओं के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, न कि केवल एक समकोण त्रिभुज में कोणों के लिए।
- इकाई वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक (cos θ, sin θ) होते हैं, जहाँ θ धनात्मक x-अक्ष और मूल को बिंदु से जोड़ने वाली रेखा द्वारा बनाया गया कोण है।

### रेडियन माप
- रेडियन कोणों को मापने के लिए एक वैकल्पिक इकाई है।
- एक रेडियन एक वृत्त के केंद्र में चाप द्वारा अंतरित कोण है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है।
- डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए, π/180 से गुणा करें।
- रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए, 180/π से गुणा करें।
- π रेडियन = 180 डिग्री।

### वास्तविक संख्याओं के त्रिकोणमितीय फलन
- इकाई वृत्त का उपयोग करके, त्रिकोणमितीय फलनों को सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित किया जा सकता है।
- कोण θ को बिंदु (1, 0) से शुरू होकर इकाई वृत्त की परिधि के साथ तय की गई दूरी के रूप में व्याख्या किया जाता है।
- साइन और कोसाइन फलन 2π की अवधि के साथ आवधिक होते हैं।

### त्रिकोणमितीय फलनों के रेखांकन
- y = sin(x) का रेखांकन एक तरंग है जो -1 और 1 के बीच दोलन करती है।
- y = cos(x) का रेखांकन भी एक तरंग है जो -1 और 1 के बीच दोलन करती है, लेकिन यह साइन फलन की तुलना में π/2 से स्थानांतरित हो जाती है।
- y = tan(x) के रेखांकन में x = (2n+1)π/2 पर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी होती हैं, जहाँ n एक पूर्णांक है।
- sin(x) और cos(x) का आयाम 1 है।
- sin(x) और cos(x) का आवर्तकाल 2π है।
- tan(x) का आवर्तकाल π है।

### व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन
- व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन वह कोण ज्ञात करते हैं जो दिए गए त्रिकोणमितीय अनुपात के अनुरूप होता है।
- y = arcsin(x) या y = sin⁻¹(x) वह कोण देता है जिसका साइन x है। arcsin(x) की सीमा [-π/2, π/2] है।
- y = arccos(x) या y = cos⁻¹(x) वह कोण देता है जिसका कोसाइन x है। arccos(x) की सीमा [0, π] है।
- y = arctan(x) या y = tan⁻¹(x) वह कोण देता है जिसका टैंजेंट x है। arctan(x) की सीमा (-π/2, π/2) है।

### त्रिकोणमितीय समीकरण
- त्रिकोणमितीय समीकरणों में त्रिकोणमितीय फलन शामिल होते हैं और समीकरण को संतुष्ट करने वाले चर के मानों को खोजने की आवश्यकता होती है।
- समाधानों में अक्सर त्रिकोणमितीय पहचान, बीजगणितीय तकनीकों और त्रिकोणमितीय फलनों की आवधिक प्रकृति को समझना शामिल होता है।
- आवधिकता के कारण, त्रिकोणमितीय समीकरणों के आम तौर पर अनंत समाधान होते हैं। ब्याज के अंतराल पर अक्सर प्रतिबंध लगाए जाते हैं (उदाहरण के लिए [0, 2π) पर सभी समाधान खोजें)।

### द्वि-कोण सूत्र
- sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
- cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) = 2cos²(θ) - 1 = 1 - 2sin²(θ)
- tan(2θ) = (2tan(θ)) / (1 - tan²(θ))

### योग और अंतर सूत्र
- sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
- sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)
- cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)
- cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)
- tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A)tan(B))
- tan(A - B) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B))