त्रिकोणमिति का परिचय

• गणित एक विस्तृत विषय है जिसमें मात्रा, संरचना, स्थान और परिवर्तन का अध्ययन शामिल है।

त्रिकोणमिति

• त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जो त्रिभुजों के कोणों और भुजाओं के बीच के संबंधों से संबंधित है।
• यह विशेष रूप से समकोण त्रिभुजों और त्रिकोणमितीय फलनों जैसे कि ज्या (sine), कोज्या (cosine), स्पर्शज्‍या (tangent), कोटिज्या (cotangent), छेदक (secant) और व्युत्क्रम छेदक (cosecant) पर केंद्रित है।
• त्रिकोणमिति का उपयोग खगोल विज्ञान, सर्वेक्षण और नेविगेशन सहित विज्ञान, इंजीनियरिंग और वास्तुकला के विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है।
• कोणों को आमतौर पर डिग्री या रेडियन में मापा जाता है।
• त्रिकोणमितीय फलनों को इकाई वृत्त का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ कोण को वृत्त के केंद्र से मापा जाता है और त्रिकोणमितीय फलनों के मान वृत्त पर बिंदुओं के निर्देशांक से प्राप्त होते हैं।
• पाइथागोरस प्रमेय त्रिकोणमिति में एक मूलभूत अवधारणा है, जो समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच संबंध बताता है: a² + b² = c², जहाँ c कर्ण (hypotenuse) है।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ त्रिकोणमितीय फलनों को शामिल करने वाली समीकरणें हैं जो कोणों के सभी मानों के लिए सत्य हैं। इनका उपयोग त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सरल बनाने और त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है।

कलन (Calculus)

• कलन गणित की वह शाखा है जो निरंतर परिवर्तन का अध्ययन करती है।
• यह दो मुख्य शाखाओं पर आधारित है: अवकल कलन (differential calculus) और समाकल कलन (integral calculus)।
• अवकल कलन परिवर्तन की तात्कालिक दर से संबंधित है, जैसे कि वक्र का ढलान या समय के सापेक्ष किसी वस्तु का वेग।
• समाकल कलन क्षेत्रफल और संचय से संबंधित है, जैसे कि वक्र के नीचे का क्षेत्रफल या समय के साथ पदार्थ की मात्रा।
• सीमाएँ कलन में एक मूलभूत अवधारणा हैं, जो हमें किसी फ़ंक्शन के व्यवहार का अध्ययन करने की अनुमति देती हैं क्योंकि इनपुट एक निश्चित मान के करीब आता है।
• अवकलज (Derivatives) एक फ़ंक्शन की परिवर्तन दर को मापते हैं और टेंगेंट रेखाओं, अधिकतम और न्यूनतम मानों और फ़ंक्शन की अवतलता को खोजने के लिए उपयोग किए जाते हैं।
• समाकल (Integrals) का उपयोग फ़ंक्शन के वक्र के नीचे के क्षेत्रफल, आयतन और अन्य संचय को खोजने के लिए किया जाता है।
• कलन का उपयोग भौतिकी, इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र और कंप्यूटर विज्ञान सहित विज्ञान, इंजीनियरिंग और अर्थशास्त्र के विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से किया जाता है।
• कलन फलनों के मॉडलिंग और अनुकूलन के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है, जिससे हमें वास्तविक दुनिया की समस्याओं का विश्लेषण और समाधान करने की अनुमति मिलती है।

ज्यामिति

• ज्यामिति गणित की वह शाखा है जो आकार, आकार, बिंदुओं, रेखाओं, सतहों और ठोस वस्तुओं के सापेक्ष स्थिति और स्थान के गुणों से संबंधित है।
• यूक्लिडियन ज्यामिति ज्यामिति का शास्त्रीय रूप है जो अभिधारणाओं और प्रमेयों पर आधारित है।
• विश्लेषणात्मक ज्यामिति निर्देशांक का उपयोग करके ज्यामितीय आकृतियों का अध्ययन करने के लिए बीजगणित का उपयोग करती है।
• विभेदक ज्यामिति वक्रों और सतहों के गुणों से संबंधित है, उनका अध्ययन करने के लिए कलन का उपयोग करती है।
• टोपोलॉजी ज्यामितीय आकृतियों के गुणों से संबंधित है जो निरंतर विरूपण के तहत नहीं बदलते हैं।
• ज्यामिति का उपयोग कला, वास्तुकला और इंजीनियरिंग सहित विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है।
• ज्यामितीय अवधारणाएँ हमारे आसपास की दुनिया को समझने और उसका प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक हैं।

संख्यात्मक विश्लेषण

• संख्यात्मक विश्लेषण गणित की वह शाखा है जो गणितीय समस्याओं के अनुमानित समाधान को खोजने के लिए संख्यात्मक एल्गोरिदम के डिजाइन और विश्लेषण से संबंधित है।
• इसका उपयोग उन समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है जिनके लिए विश्लेषणात्मक समाधान खोजना मुश्किल या असंभव है।
• संख्यात्मक विश्लेषण में शामिल विषयों में शामिल हैं:
  • समीकरणों का मूल खोजना
  • रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का समाधान
  • अंतर समीकरणों का संख्यात्मक एकीकरण
  • अनुकूलन
  • प्रक्षेप और प्रतिगमन
• संख्यात्मक एल्गोरिदम को कंप्यूटर द्वारा निष्पादित किया जाता है, और परिणाम की सटीकता एक महत्वपूर्ण विचार है।
• संख्यात्मक विश्लेषण का उपयोग विज्ञान, इंजीनियरिंग और वित्त सहित विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है।
• यह गणितीय मॉडलों के सिमुलेशन और अनुकूलन के लिए एक आवश्यक उपकरण है।

बीजगणित

• बीजगणित गणित की वह शाखा है जो प्रतीकों और उनके हेरफेर से संबंधित है।
• यह गणितीय व्यंजकों और समीकरणों को हल करने के लिए चरों और संक्रियाओं का उपयोग करता है।
• बीजगणित में प्राथमिक अवधारणाओं में शामिल हैं:
  • चर
  • स्थिरांक
  • व्यंजक
  • समीकरण
  • असमानताएँ
• बीजगणितीय संक्रियाओं में शामिल हैं:
  • जोड़ना
  • घटाना
  • गुणा
  • भाग
  • घातांक
  • मूलों को निकालना
• बीजगणित का उपयोग समस्याओं को मॉडल और हल करने और गणितीय संबंधों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है।
• यह विज्ञान, इंजीनियरिंग और अर्थशास्त्र सहित विभिन्न क्षेत्रों के लिए एक मूलभूत उपकरण है।
• बीजगणितीय अवधारणाओं का उपयोग उच्च स्तर के गणित को विकसित करने के लिए किया जाता है, जैसे कि कलन, रैखिक बीजगणित और सार बीजगणित।