त्रिकोणमिति का परिचय

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त्रिकोणमिति का परिचय

• त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है जो त्रिभुजों के किनारों और कोणों के बीच संबंधों का अध्ययन करती है।
• त्रिकोणमिति सबसे निकटता से समकोण त्रिभुजों से जुड़ी है, जहां किनारों के अनुपात त्रिकोणमितीय कार्यों को निर्धारित करते हैं।
• त्रिकोणमिति का उपयोग इंजीनियरिंग, भौतिकी, खगोल विज्ञान और नेविगेशन जैसे क्षेत्रों में बड़े पैमाने पर किया जाता है।
• "त्रिकोणमिति" शब्द ग्रीक शब्द "ट्रिगोनोन" (त्रिभुज) और "मेट्रोन" (माप) से आया है।

मूल त्रिकोणमितीय फलन

• प्राथमिक त्रिकोणमितीय फलन ज्या (साइन - sin), कोज्या (कोसाइन - cos), और स्पर्शज्या (टैंजेंट - tan) हैं।
• ये फलन एक समकोण त्रिभुज के कोणों को उसकी भुजाओं के अनुपात से जोड़ते हैं।
• कोण θ वाले एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें, जहाँ:
  • θ के विपरीत भुजा "विपरीत" भुजा है।
  • θ के आसन्न भुजा "आसन्न" भुजा है।
  • सबसे लंबी भुजा, समकोण के विपरीत, "कर्ण" है।
• ज्या (साइन) को विपरीत भुजा और कर्ण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: sin(θ) = विपरीत / कर्ण।
• कोज्या (कोसाइन) को आसन्न भुजा और कर्ण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: cos(θ) = आसन्न / कर्ण।
• स्पर्शज्या (टैंजेंट) को विपरीत भुजा और आसन्न भुजा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: tan(θ) = विपरीत / आसन्न।
• इन अनुपातों को याद रखने के लिए एक सामान्य स्मरक SOH CAH TOA है:
  • SOH: Sine = Opposite / Hypotenuse (ज्या = विपरीत / कर्ण)
  • CAH: Cosine = Adjacent / Hypotenuse (कोज्या = आसन्न / कर्ण)
  • TOA: Tangent = Opposite / Adjacent (स्पर्शज्या = विपरीत / आसन्न)

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन

• व्युत्क्रम फलन हैं कोसेकेंट (cosec), सेकंड (sec), और कोटैंजेंट (cot)।
• कोसेकेंट (cosec) ज्या का व्युत्क्रम है: csc(θ) = 1 / sin(θ) = कर्ण / विपरीत।
• सेकंड (sec) कोज्या का व्युत्क्रम है: sec(θ) = 1 / cos(θ) = कर्ण / आसन्न।
• कोटैंजेंट (cot) स्पर्शज्या का व्युत्क्रम है: cot(θ) = 1 / tan(θ) = आसन्न / विपरीत।

सामान्य कोण और मान

• कुछ कोण त्रिकोणमितीय समस्याओं में बार-बार आते हैं, जैसे 0°, 30°, 45°, 60° और 90°।
• sin(0°) = 0, cos(0°) = 1, tan(0°) = 0
• sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = 1/√3
• sin(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1
• sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3
• sin(90°) = 1, cos(90°) = 0, tan(90°) = अपरिभाषित

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ त्रिकोणमितीय फलनों से युक्त समीकरण हैं जो चरों के सभी मानों के लिए सत्य हैं।
• पाइथागोरस सर्वसमिकाएँ मौलिक हैं:
  • sin²(θ) + cos²(θ) = 1
  • 1 + tan²(θ) = sec²(θ)
  • 1 + cot²(θ) = csc²(θ)
• भागफल सर्वसमिकाएँ:
  • tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
  • cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)
• व्युत्क्रम सर्वसमिकाएँ:
  • csc(θ) = 1 / sin(θ)
  • sec(θ) = 1 / cos(θ)
  • cot(θ) = 1 / tan(θ)
• कोण योग और अंतर सर्वसमिकाएँ:
  • sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
  • sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)
  • cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)
  • cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)
  • tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A)tan(B))
  • tan(A - B) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B))
• दुगुना कोण सर्वसमिकाएँ:
  • sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
  • cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) = 2cos²(θ) - 1 = 1 - 2sin²(θ)
  • tan(2θ) = (2tan(θ)) / (1 - tan²(θ))
• आधा कोण सर्वसमिकाएँ:
  • sin(θ/2) = ±√((1 - cos(θ)) / 2)
  • cos(θ/2) = ±√((1 + cos(θ)) / 2)
  • tan(θ/2) = ±√((1 - cos(θ)) / (1 + cos(θ))) = sin(θ) / (1 + cos(θ)) = (1 - cos(θ)) / sin(θ)

ज्या और कोज्या का नियम

• ज्या का नियम और कोज्या का नियम उन त्रिभुजों को हल करने के लिए उपयोग किए जाते हैं जो समकोण त्रिभुज नहीं हैं (तिरछे त्रिभुज)।
• ज्या का नियम:
  • किसी भी त्रिभुज ABC में, भुजाओं a, b और c के साथ कोण A, B और C के विपरीत क्रमशः:
  • a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
• कोज्या का नियम:
  • c² = a² + b² - 2ab cos(C)
  • b² = a² + c² - 2ac cos(B)
  • a² = b² + c² - 2bc cos(A)

रेडियन और चाप की लंबाई

• रेडियन कोणों को मापने के लिए एक वैकल्पिक इकाई है, जहाँ π रेडियन 180 डिग्री के बराबर होता है।
• डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए, π/180 से गुणा करें।
• रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए, 180/π से गुणा करें।
• चाप की लंबाई (s) एक वृत्त की परिधि के साथ एक केंद्रीय कोण θ (रेडियन में) द्वारा अंतरित दूरी है।
• चाप की लंबाई के लिए सूत्र s = rθ है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है।

त्रिकोणमितीय ग्राफ

• त्रिकोणमितीय फलनों को उनके आवधिक स्वभाव को दिखाते हुए एक समन्वय तल पर ग्राफ़ किया जा सकता है।
• ज्या फलन, y = sin(x), की अवधि 2π है, आयाम 1 है, और -1 और 1 के बीच दोलन करता है।
• कोज्या फलन, y = cos(x), की भी अवधि 2π और आयाम 1 है लेकिन ज्या फलन की तुलना में π/2 इकाइयाँ बाईं ओर स्थानांतरित हो गई हैं।
• स्पर्शज्या फलन, y = tan(x), की अवधि π है और x = (π/2) + nπ पर ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी हैं, जहाँ n एक पूर्णांक है।
• त्रिकोणमितीय ग्राफ के परिवर्तन में शामिल हैं:
  • आयाम परिवर्तन: y = A sin(x) या y = A cos(x), जहाँ A आयाम है।
  • अवधि परिवर्तन: y = sin(Bx) या y = cos(Bx), जहाँ अवधि 2π/B है।
  • कलांतर: y = sin(x - C) या y = cos(x - C), जहाँ C कलांतर है।
  • लंबवत बदलाव: y = sin(x) + D या y = cos(x) + D, जहाँ D लंबवत बदलाव है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन

• व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन त्रिकोणमितीय फलनों को "पूर्ववत" करते हैं।
• व्युत्क्रम ज्या फलन, arcsin(x) या sin⁻¹(x), वह कोण देता है जिसकी ज्या x है। इसका डोमेन [-1, 1] है, और इसकी सीमा [-π/2, π/2] है।
• व्युत्क्रम कोज्या फलन, arccos(x) या cos⁻¹(x), वह कोण देता है जिसकी कोज्या x है। इसका डोमेन [-1, 1] है, और इसकी सीमा [0, π] है।
• व्युत्क्रम स्पर्शज्या फलन, arctan(x) या tan⁻¹(x), वह कोण देता है जिसकी स्पर्शज्या x है। इसका डोमेन (-∞, ∞) है, और इसकी सीमा (-π/2, π/2) है।

त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग

• नेविगेशन: कोणों और दूरियों का उपयोग करके पदों और दिशाओं का निर्धारण करना।
• भौतिकी: प्रक्षेप्य गति, तरंगों और दोलनों का विश्लेषण करना।
• इंजीनियरिंग: संरचनाओं, सर्किट और यांत्रिक प्रणालियों को डिजाइन करना।
• खगोल विज्ञान: तारों और ग्रहों की दूरी मापना।
• सर्वेक्षण: भूमि मापना और नक्शे बनाना।