त्रिकोणमिति: ज्या, कोज्या, और स्पर्शज्या

यहाँ त्रिकोणमिति पर अद्यतन अध्ययन नोट्स दिए गए हैं:

• त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जो त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों का अध्ययन करती है।
• त्रिकोणमिति विशेष रूप से समकोण त्रिभुजों से संबंधित है।
• त्रिकोणमितीय फलन ऐसे फलन हैं जो त्रिभुज के कोणों को उसकी भुजाओं के अनुपात से संबंधित करते हैं।

त्रिकोणमितीय अनुपात

• तीन प्राथमिक त्रिकोणमितीय अनुपात ज्या (sine), कोज्या (cosine) और स्पर्शज्या (tangent) हैं।
• ये अनुपात एक समकोण त्रिभुज के कोणों को उसकी भुजाओं की लंबाई से संबंधित करते हैं।

ज्या (sin)

• किसी कोण की ज्या को कोण की विपरीत भुजा की लंबाई और कर्ण की लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• sin(θ) = विपरीत / कर्ण

कोज्या (cos)

• किसी कोण की कोज्या को कोण के आसन्न भुजा की लंबाई और कर्ण की लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• cos(θ) = आसन्न / कर्ण

स्पर्शज्या (tan)

• किसी कोण की स्पर्शज्या को कोण की विपरीत भुजा की लंबाई और कोण की आसन्न भुजा की लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• tan(θ) = विपरीत / आसन्न
• स्पर्शज्या को sin(θ) / cos(θ) के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

व्युत्क्रम ज्या (csc)

• व्युत्क्रम ज्या, ज्या का व्युत्क्रम है।
• csc(θ) = कर्ण / विपरीत

व्युत्क्रम कोज्या (sec)

• व्युत्क्रम कोज्या, कोज्या का व्युत्क्रम है।
• sec(θ) = कर्ण / आसन्न

व्युत्क्रम स्पर्शज्या (cot)

• व्युत्क्रम स्पर्शज्या, स्पर्शज्या का व्युत्क्रम है।
• cot(θ) = आसन्न / विपरीत
• व्युत्क्रम स्पर्शज्या को cos(θ) / sin(θ) के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

उन्नयन और अवनमन कोण

• उन्नयन और अवनमन कोणों का उपयोग ऊंचाई और दूरी से जुड़ी समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।

उन्नयन कोण

• उन्नयन कोण, क्षैतिज से ऊपर किसी वस्तु को देखते समय दृष्टि रेखा और क्षैतिज के मध्य बनने वाला कोण है।

अवनमन कोण

• अवनमन कोण, क्षैतिज से नीचे किसी वस्तु को देखते समय दृष्टि रेखा और क्षैतिज के मध्य बनने वाला कोण है।

त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग

• त्रिकोणमिति के इंजीनियरिंग, नौवहन, भौतिक विज्ञान और खगोल विज्ञान सहित विभिन्न क्षेत्रों में अनेक अनुप्रयोग हैं।

ऊंचाई और दूरी की समस्याएं

• त्रिकोणमिति का उपयोग दुर्गम वस्तुओं, जैसे इमारतों, पहाड़ों और जहाजों की ऊंचाई और दूरी निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

नौवहन

• इसका उपयोग जहाजों और विमानों की स्थिति को कोणों और दूरियों का उपयोग करके निर्धारित करने के लिए नौवहन में किया जाता है।

इंजीनियरिंग

• इंजीनियर कोणों और बलों की गणना करके संरचनाओं, पुलों और सड़कों को डिजाइन करने के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग करते हैं।

भौतिक विज्ञान

• त्रिकोणमिति का उपयोग भौतिक विज्ञान में तरंग गति, प्रकाशिकी और यांत्रिकी का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है, जो सदिशों और प्रक्षेप्य गति के घटकों से संबंधित है।

खगोल विज्ञान

• खगोलविद तारों और ग्रहों की दूरी मापने और उनकी गतिविधियों का विश्लेषण करने के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग करते हैं।

समकोण त्रिभुजों को हल करना

• समकोण त्रिभुज को हल करने का मतलब है तीनों कोणों और तीनों भुजाओं की माप ज्ञात करना।

त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करना

• एक कोण (समकोण के अलावा) और एक भुजा दिए जाने पर, अन्य भुजाओं को ज्ञात करने के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग किया जा सकता है।
• दो भुजाएँ दिए जाने पर, कोणों को ज्ञात करने के लिए व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का उपयोग किया जा सकता है।

पाइथागोरस प्रमेय

• एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण की लंबाई का वर्ग अन्य दो भुजाओं की लंबाइयों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
• a² + b² = c², जहाँ c कर्ण है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ ऐसे समीकरण हैं जो शामिल चरों के सभी मानों के लिए सत्य होते हैं।
• ये सर्वसमिकाएँ त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सरल बनाने और त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में उपयोगी हैं।

पाइथागोरस सर्वसमिकाएँ

• sin²(θ) + cos²(θ) = 1
• 1 + tan²(θ) = sec²(θ)
• 1 + cot²(θ) = csc²(θ)

व्युत्क्रम सर्वसमिकाएँ

• csc(θ) = 1 / sin(θ)
• sec(θ) = 1 / cos(θ)
• cot(θ) = 1 / tan(θ)

भागफल सर्वसमिकाएँ

• tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
• cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)

कोण योग और अंतर सर्वसमिकाएँ

• sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)
• cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)
• tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B)) / (1 ∓ tan(A)tan(B))

ज्या का नियम (Law of Sines)

• ज्या का नियम बताता है कि त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई का उसके विपरीत कोण की ज्या का अनुपात तीनों भुजाओं के लिए स्थिर होता है।
• a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
• दो कोण और एक भुजा (AAS या ASA) या दो भुजाएँ और एक गैर-शामिल कोण (SSA) दिए जाने पर त्रिभुजों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है।

कोज्या का नियम (Law of Cosines)

• कोज्या का नियम त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को उसके कोणों में से एक की कोज्या से संबंधित करता है।
• a² = b² + c² - 2bc * cos(A)
• b² = a² + c² - 2ac * cos(B)
• c² = a² + b² - 2ab * cos(C)
• तीन भुजाएँ (SSS) या दो भुजाएँ और शामिल कोण (SAS) दिए जाने पर त्रिभुजों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है।