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Questions and Answers
साइन (sin) को परिभाषित किया जाता है: विपरीत भुजाएँ / कर्ण।
True
टैन्जेंट (tan) का मान 90° पर अमान्य है।
True
कोसाइन (cos) का मान 30° पर $ rac{1}{ oot{3}}$ है।
False
व्यावहारिक अनुप्रयोग में, त्रिकोणमिति का उपयोग भौतिकी में तरंग गति के अध्ययन के लिए भी किया जाता है।
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पाइथागोरस पहचान के अनुसार, $ ext{sin}^2( heta) + ext{cos}^2( heta) = 0$ होता है।
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टैन्जेंट (tan) का मान 45° पर 1 होता है।
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कोटैन्जेंट (cot) को परिभाषित किया जाता है: विपरीत भुजाएँ / अगल-बगल भुजाएँ।
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डबल एंगल सूत्रों में $ ext{sin}(2 heta) = 2 ext{sin}( heta) ext{cos}( heta)$ शामिल होता है।
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विभिन्न एंगल योग और अंतर पहचान सूत्र की सहायता से त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल नहीं किया जा सकता।
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Study Notes
Trigonometric Ratios
- Definition: Ratios of the lengths of sides of a right triangle.
-
Primary Ratios:
- Sine (sin): Opposite side / Hypotenuse
- Cosine (cos): Adjacent side / Hypotenuse
- Tangent (tan): Opposite side / Adjacent side
-
Reciprocal Ratios:
- Cosecant (csc): 1/sin = Hypotenuse / Opposite
- Secant (sec): 1/cos = Hypotenuse / Adjacent
- Cotangent (cot): 1/tan = Adjacent / Opposite
-
Common Angles:
- 0°: sin(0) = 0, cos(0) = 1, tan(0) = 0
- 30°: sin(30) = 1/2, cos(30) = √3/2, tan(30) = 1/√3
- 45°: sin(45) = √2/2, cos(45) = √2/2, tan(45) = 1
- 60°: sin(60) = √3/2, cos(60) = 1/2, tan(60) = √3
- 90°: sin(90) = 1, cos(90) = 0, tan(90) = undefined
Applications of Trigonometry
- Surveying: Calculating distances and angles in land measurement.
- Navigation: Determining course directions and distances using angles.
- Engineering: Analyzing forces and structures using torque and angles.
- Physics: Studying wave motion, oscillations, and projectile motion.
- Astronomy: Measuring distances to stars and calculating orbital paths.
Identities and Equations
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Fundamental Identities:
- Pythagorean Identity: sin²(θ) + cos²(θ) = 1
- Reciprocal Identities:
- sin(θ) = 1/csc(θ)
- cos(θ) = 1/sec(θ)
- tan(θ) = 1/cot(θ)
-
Angle Sum and Difference Identities:
- sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)
- cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)
- tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b)) / (1 ∓ tan(a)tan(b))
-
Double Angle Formulas:
- sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
- cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) = 2cos²(θ) - 1 = 1 - 2sin²(θ)
- tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan²(θ))
-
Solving Trigonometric Equations:
- Use identities to simplify and isolate variables.
- Common methods include factoring, substitution, and using inverse functions.
त्रिकोणमितीय अनुपात
- परिभाषा: एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के अनुपात।
-
प्राथमिक अनुपात:
- साइन (sin): विपरीत भुजा / कर्ण
- कोसाइन (cos): समीपवर्ती भुजा / कर्ण
- टेंजेंट (tan): विपरीत भुजा / समीपवर्ती भुजा
-
प्रतिलोम अनुपात:
- कोसेकेंट (csc): 1/sin = कर्ण / विपरीत
- सेकेंट (sec): 1/cos = कर्ण / समीपवर्ती
- कोटैजेंट (cot): 1/tan = समीपवर्ती / विपरीत
-
सामान्य कोण:
- 0°: sin(0) = 0, cos(0) = 1, tan(0) = 0
- 30°: sin(30) = 1/2, cos(30) = √3/2, tan(30) = 1/√3
- 45°: sin(45) = √2/2, cos(45) = √2/2, tan(45) = 1
- 60°: sin(60) = √3/2, cos(60) = 1/2, tan(60) = √3
- 90°: sin(90) = 1, cos(90) = 0, tan(90) = परिभाषित नहीं
त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग
- सर्वेक्षण: भूमि माप में दूरी और कोण की गणना।
- नौवहन: कोणों द्वारा पाठ्य दिशाओं और दूरियों का निर्धारण।
- अभियांत्रिकी: बलों और संरचनाओं का विश्लेषण टोक़ और कोणों का उपयोग करके।
- भौतिकी: तरंग गति, दोलन और प्रक्षिप्ति गति का अध्ययन।
- खगोल विज्ञान: तारे तक की दूरी मापना और कक्षीय पथ की गणना।
पहचानों और समीकरण
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मूल पहचान:
- पायथागोरस पहचान: sin²(θ) + cos²(θ) = 1
- प्रतिलोम पहचान:
- sin(θ) = 1/csc(θ)
- cos(θ) = 1/sec(θ)
- tan(θ) = 1/cot(θ)
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कोण योग और अंतर पहचान:
- sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)
- cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)
- tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b)) / (1 ∓ tan(a)tan(b))
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दुगुना कोण सूत्र:
- sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
- cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) = 2cos²(θ) - 1 = 1 - 2sin²(θ)
- tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan²(θ))
-
त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान:
- पहचानों का उपयोग करके सरल बनाना और चर को पृथक करना।
- सामान्य विधियों में बंटवारा, प्रतिस्थापन और प्रतिकारी कार्यों का उपयोग शामिल है।
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Description
इस क्विज में त्रिकोणमिति के विभिन्न अनुपातों का अध्ययन किया जाएगा। आप बुनियादी और प्रतिलोम अनुपातों को समझेंगे, जैसे कि साइन, कोसाइन और टेंजेंट। इसके साथ ही, विभिन्न सामान्य कोणों के लिए इन अनुपातों की गणना भी कर सकते हैं। इसे हल करने के बाद, आप व्यावहारिक अनुप्रयोगों जैसे सर्वेक्षण और अभ инженерिंग में त्रिकोणमिति का महत्व जानेंगे।
