टेलर का प्रमेय

ज़रूर, यहाँ पाठ से तैयार किए गए अध्ययन नोट्स हैं:

टेलर का प्रमेय

• मान लीजिए कि $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ एक खुले अंतराल $I$ पर $n+1$ बार विभेदित है और $a \in I$ है। तो $\forall x \in I$, $f(x) = \underbrace{f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n}_{T_n(x)} + R_n(x)$

• जहाँ $T_n(x)$, $a$ पर केंद्रित $n$ डिग्री का टेलर बहुपद है और $R_n(x)$ शेषफल पद है।

• इसके अतिरिक्त, कुछ $c$ के लिए $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ है जो $a$ और $x$ के बीच है। यह शेषफल का लैग्रेंज का रूप है।

प्रमाण

• $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$। $x \in I$, $x \neq a$ तय करें।

• मान लीजिए $F(t) = f(x) - f(t) - f'(t)(x-t) -... - \frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^n$

• मान लीजिए $G(t) = \frac{(x-t)^{n+1}}{(x-a)^{n+1}} [f(x) - T_n(x)]$

• तो $F(a) = f(x) - T_n(a) = f(x) - [f(a) + f'(a)(x-a) +... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n] = R_n(x)$

• $F(x) = f(x) - f(x) = 0$

• $G(a) = \frac{(x-a)^{n+1}}{(x-a)^{n+1}} [f(x) - T_n(x)] = R_n(x)$

• $G(x) = 0$

• $\therefore F(a) = G(a)$ और $F(x) = G(x)$। अंतराल $[a, x]$ पर $F(t) - G(t)$ पर माध्य मान प्रमेय लागू करें (या $[x, a]$ यदि $x < a$)।

• $\therefore$ $a$ और $x$ के बीच कुछ $c$ मौजूद है जैसे कि $F'(c) = G'(c)$।

• $F'(t) = -f'(t) - f''(t)(x-t) + f'(t) - \frac{f'''(t)}{2!}(x-t)^2 + f''(t)(x-t) -... - \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n + \frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^{n-1} = -\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n$

• $G'(t) = \frac{-(n+1)(x-t)^n}{(x-a)^{n+1}} [f(x) - T_n(x)]$

• तो $-\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^n = \frac{-(n+1)(x-c)^n}{(x-a)^{n+1}} [f(x) - T_n(x)]$

• $\implies f(x) - T_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$

• $\therefore R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$

दावा

• यदि $|R_n(x)| \rightarrow 0$ जैसे ही $n \rightarrow \infty$, तो $T_n(x) \rightarrow f(x)$ जैसे ही $n \rightarrow \infty$, तो $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$। यह $a$ पर केंद्रित $f$ की टेलर श्रृंखला है।

उदाहरण 1

• मान लीजिए $f(x) = sin(x)$, $a = 0$।

• $f'(x) = cos(x)$, $f''(x) = -sin(x)$, $f'''(x) = -cos(x)$, $f^{(4)}(x) = sin(x)$

• $f(0) = 0$, $f'(0) = 1$, $f''(0) = 0$, $f'''(0) = -1$, $f^{(4)}(0) = 0$

• $T_n(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +...$

• $f^{(n+1)}(x) = \pm sin(x)$ या $\pm cos(x)$। तो किसी भी $c$ के लिए $|f^{(n+1)}(c)| \leq 1$।

• $|R_n(x)| = |\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}| \leq \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \rightarrow 0$ जैसे ही $n \rightarrow \infty$।

• $\therefore sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +...$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए।